答えが合っているか教えて下さい。
逆関数を求めよ。
y=-x^2+x(x≧0)
答えy=√(-x+2)
y=log_1/2x
答えy=(1/2)^x

A 回答 (3件)

実際に計算してみましょう


y=√(-x+2)の両辺を2乗して
y^2=-x+2
x=-y^2+2なのでこれはy=-x^2+2の逆関数ですね

ちなみに答えはx=-y^2+yで解の公式からy=の解を出して下さい

y=(1/2)^x
log_(1/2) y=xでこっちは合ってます
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y = -x^2 + x (x ≧ 0) について:



関数が「単射(知らなければ調べるべし)」でなければ、
逆関数は通常の一価関数にはなりません。その意味で、
-x^2 + x (x ≧ 0) には、逆関数がありません。

x へ代入したら、-x^2 + x の値が y になるような
y の関数ということでよければ、(「逆関数」とは呼べないのですが)
そういうものは無数にあります。

例 1)
x = (1/2) + √{ (1/4) - y } (y ≦ 1/4)
これの値域は、x ≧ 1/2 になる。

例 2)
x = (1/2) - √{ (1/4) - y } (0 ≦ y ≦ 1/4)
x = (1/2) + √{ (1/4) - y } (y < 0)

例 3)
x = (1/2) - √{ (1/4) - y } (0 ≦ y ≦ 1/4 の範囲の有理数)
x = (1/2) + √{ (1/4) - y } (y < 0 または y が無理数)

etc.
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>y=-x^2+x(x≧0)…(●)


>答えy=√(-x+2)
間違い。
逆関数の存在条件は、xとyが互いに一価関数の関係になければなりません。
一価関数でなければ、一価関数となるようにx,yのとりうる範囲を制限する必要があります。
x≧0の範囲の制限だけでは(●)の関係はxをyの関数x(y)と見たとき一価関数になっていませんので、逆関数は存在しません。

逆関数が存在する為には(●)のxの範囲をx≧1/2またはx≦1/2のいずれかに制限しておかなければなりませんね。

>y=log_1/2x
この書き方は誤解のもとなので底と真数を括弧をつけて区別して下さい。
y=log_[1/2} (x) (x>0)
>答えy=(1/2)^x
合っています。

対数の定義から
x=(1/2)^y
xとyを入れ替えて
y=(1/2)^x=2^(-x)=1/(2^x)
いずれの式の形でも良い。
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