y=e^x-y/yのときdy/dxを求めよ。
という問題です。
y=e^x-y/yをlogになおしてlogy=x-y/yloge=x-y/yを解くと思うのですが、この先どう解くかわかりません。

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A 回答 (3件)

y=e^{(x-y)/y}


これの自然対数を取り、
ln(y)=(x-y)/y
y・ln(y)=x-y
y'・ln(y)+y・(y'/y)=1-y'
y'{2+ln(y)}=1
∴ dy/dx=1/{2+ln(y)}

この回答への補足

すみません。
せっかくご丁寧に回答してもらったのですが、
Inというのを習っていないので、使わずに解く方法はありますでしょうか?

補足日時:2009/05/24 14:53
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回答者にも分かる式の書き方をして下さい。


>y=e^x-y/y
この書き方では
y=(e^(x-y))/y
y=((e^x)-y)/y
y=e^((x-y)/y)
のどれだか分かりません。

y=e^((x-y)/y) (>0)
なら
y'=((x-y)/y)'*e^((x-y)/y)
=((x/y)-1)'*e^((x-y)/y)
=(x/y)'*e^((x-y)/y)
={(1/y)-(xy'/y^2)}*e^((x-y)/y)
y'+(xy'/y^2)*e^((x-y)/y)=(1/y)*e^((x-y)/y)
y'{1+(x/y^2)*e^((x-y)/y)}=(1/y)*e^((x-y)/y)
y'{1+(x/y)}=1 …(●)
y'=1/{1+(x/y)}=y/(x+1y)

>log(y)={(x-y)/y}log(e)=(x-y)/y
log(y)=(x/y)-1
y'/y=(x/y)'=(1/y)-x(y'/y^2)
y'=1-xy'/y
y'{1+(x/y)}=1
以降(●)と同じ。

この回答への補足

すみません。
y=e^((x-y)/y)です。
ちなみに略解では1/(2+logy)になっています。

補足日時:2009/05/24 14:06
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>y=e^x-y/y


これが、
y=e^{(x-y)/y}
の事なら、自然対数 lnを用いて
ln y=(x/y)-1
にしてから解くのでは?
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