まず、(a,bは定数)x=acosθ+bcosψを時間(t)で微分します。
するとdx/dt=-a(dθ/dt)sinθ-b(dψ/dt)sinψ-(1)と
なるのはなんとなく分かるのですが。
(1)式をさらに時間(t)で微分すると、
(d^2x/dt^2)=-a(d^2θ/dt^2)cosθ-b(d^2ψ/dt^2)sinψ-b(dψ/dt)^2cosψ-(2)になるのがまったく分かりません。
どうして(1)式をさらに時間微分するとψの項が2つ出現するのか
がまず?です。
何度も先生に聞いたりしましたが、よく分かりませんでした。
どなたか、解き方を教えて下さい。
よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

>(d^2x/dt^2)=-a(d^2θ/dt^2)cosθ-b(d^2ψ/dt^2)sinψ-b(dψ/dt)^2cosψ-(2)になるのがまったく分かりません。



この式は間違っていますので、誰も理解できるはずがありません。

正しい計算は以下のとおり。

d^2x/dt^2=-a{(dθ/dt)sinθ}'-b{(dψ/dt)sinψ}'
=-a{(dθ/dt)'sinθ+(dθ/dt)(sinθ)'}-b{(dψ/dt)'sinψ+(dψ/dt)(sinψ)'}
=-a{(d^2θ/dt^2)sinθ+(dθ/dt)^2(cosθ)}-b{(d^2ψ/dt^2)sinψ+(dψ/dt)^2(cosψ)}

後は括弧を外すなど式を整理するだけ。
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この回答へのお礼

やっぱり間違っていましたか・・
正しい計算まで示していただき本当に
ありがとうございます。
参考にしてもう一度、計算しようと
思います。回答ありがとうございます!

お礼日時:2009/05/24 14:58

ψの項が2つ出てくるのは、積の微分法です。


(fg)' = f'g + fg'

θの方からも2項出てくるはず。
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この回答へのお礼

そうですよね、もう一度トライしてみます。
回答ありがとうございます。

お礼日時:2009/05/24 14:56

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xy座標上の点pの原点からの距離、x座標、y座標と、pベクトルとx軸のなす角の関係。

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= f* df/dt

いま、f(θ)= dθ/dtですから、それを戻して
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Qn^1/2∫[θ=-π/2,π/2] (cosθ)^n dθの極限

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a(θ)=[log(cosθ)]/θ^2 +1/2 とおき、
θ√n=xとおくと、

n^1/2∫[θ=-π/2,π/2] (cosθ)^n dθ 
 = ∫[x=-√nπ/2,√nπ/2]exp(-(1/2)x^2+a(x/√n)x^2)dx

とかけます。
被積分関数の中の、a(x/√n)の部分は、

 a(x/√n)=n[log(cos(x/√n))]/x^2 +1/2

となります。cosを原点の周りで展開すると、

 cos(x/√n)=1-(1/2)x^2/n+O(x^4/n^2)

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 log(cos(x/√n))=log(1-x^2/(2n)+O(x^4/n^2))

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 log(cos(x/√n))=-x^2/(2n)-O(x^4/n^2)

となるので、結局、

 a(x/√n)=n[log(cos(x/√n))]/x^2 +1/2
     =n[-x^2/(2n)-O(x^4/n^2)]/x^2 +1/2
     =-1/2-O(x^2/n)+1/2
     =-O(x^2/n)

となります。これを元の被積分関数のexpに戻すと、
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 = ∫[x=-√nπ/2,√nπ/2]exp(-(1/2)x^2+a(x/√n)x^2)dx

とかけます。
被積分関数の中の、a(x/√n)の部分は、

 a(x/√n)=n[log(cos(x/√n))]/x^2 +1/2

となります。cosを原点の周りで展開すると、

 cos(x/√n)=1-(1/2)x^2/n+O(x^4/n^2)

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cos(α + β)=cos α・cos β-sin α・sin β
tan(α + β)=(tan α+tan β)/(1-tan α・tan β)

倍角定理
sin 2θ=2sinθ・cosθ
cos 2θ=2cos^2 θ-1=1-2sin^2 θ
tan 2θ=2tanθ/(1-tan^2 θ)

三倍角定理
sin 3θ=-4sin^3 θ+3sin θ
cos 3θ=4cos^3 θ-3cos θ

半角定理
sin^2 (θ/2)={(1-cos θ)/2}
cos^2 (θ/2)={(1+cos θ)/2}
tan^2 (θ/2)=(1-cos θ)/(1+cos θ)

和積定理
sin α+sin β=2・sin {(α+β)/2}・cos{(α-β)/2}
sin α-sin β=2・sin {(α-β)/2}・cos{(α+β)/2}
cos α+cos β=2・cos {(α+β)/2}・cos{(α-β)/2}
cos α-cos β=-2・sin {(α+β)/2}・sin{(α-β)/2}

積和定理
sin α・cos β=1/2{sin(α+β)+sin(α-β)}
sin α・sin β=1/2{cos(α-β)-cos(α+β)}
cos α・cos β=1/2{cos(α+β)+cos(α-β)}

合成定理
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  a=√(a^2+b^2)・cos α
  b=√(a^2+b^2)・sin α

微分定理
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(cos θ)’=-sin θ
(tan θ)’=1/cos^2 θ

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余弦定理
cos α=(b^2+c^2-a^2)/2bc

とりあえずこのぐらい知っておけばいいかと。

高校なら

加法定理
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cos(α + β)=cos α・cos β-sin α・sin β
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三倍角定理
sin 3θ=-4sin^3 θ+3sin θ
cos 3θ=4cos^3 θ-3cos θ

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Qa^3/(a-b)(a-c) +b^3/(b-c)(b-a) +c^3

a^3/(a-b)(a-c) +b^3/(b-c)(b-a) +c^3/(c-a)(c-b)を計算せよ。
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=-(b-c)(c-a){b^2+bc-a(c+a)}
=-(b-c)(c-a){b^2-a^2-(a-b)c}
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=(b-c)(c-a)(a^2-b^2+(a-b)c}
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Q三角関数の変換公式を完ぺきにマスターしたい

こんにちは。

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もし問題を解く中で全ての三角関数変換をマスターできるのなら幸いです。

お願いします。

Aベストアンサー

No.4の者です。

黄チャートは、白と青を中途半端にまぜこぜにしたようなものですのであまりおすすめはしません。
質問者さんはおそらくある程度レベルの高いところを目指されるでしょうから、青チャートがおすすめです。
青チャは、基礎的な部分の品ぞろえは黄チャとあまり変わりませんが、応用面の品ぞろえが段違いです。その応用もピンポイントすぎるテクニックではなく、旧帝早慶あたりの大学に手が届くレベルのものなので、学んで損はありません。
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まとめると、黄ではなく青チャートのほうがおすすめです。

Q微分の問題 d/dt(R dθ/dt sinθ) 

微分の問題でd/dt(R・dθ/dt ・sinθ) という問題がわかりません。

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Aベストアンサー

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R以外の部分は

d{(dθ/dt)sinθ}/dt

={d(dθ/dt)/dt}sinθ+(dθ/dt)dsinθ/dt←☆

=(d^2θ/dt^2)sinθ+(dθ/dt)(dsinθ/dθ)(dθ/dt)←dsinθ/dtに★

=(d^2θ/dt^2)sinθ+(dθ/dt)cosθ(dθ/dt)←dsinθ/dθ=cosθ

=(d^2θ/dt^2)sinθ+(dθ/dt)^2cosθ

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Q三角関数の加法定理・和積公式の拡張って?

三角関数の加法定理
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となりました。

三角関数の和積公式
sin(α) + sin(β) = 2sin{(α+β)/2}cos{(α-β)/2}
三角関数の積和公式
sin(α)cos(β) = (1/2){sin(α+β)+sin(α-β)}
も拡張して、
sin(α) + sin(β) + sin(γ) =(積の形)
sin(α)sin(β)sin(γ) = (和の形)
にできますでしょうか?

Aベストアンサー

 #2です。
 お礼をありがとうございます。

>n変数の公式は、すごく複雑ですね。どう応用があるのかわからない。

 まさに、その通りです。
 いつか必要になるかもしれないと思い求めておきましたが、いまだかつて役に立ったことがありません。^^;

>3変数のとき、
>sin(A)+sin(B)+sin(C)-sin(A+B+C) = 4sin((C+A)/2)sin((A+B)/2)sin((B+C)/2)
>において、A,B,Cの角度は三角形の角度、つまり、A+B+C=πとすると、少しは役立ちそうです。

 三角法の公式ですね。
 A+B+C=π とすると多くの公式が導かれます。また球面三角法にも発展するので測量などでよく使われていると聞いたことがあります。

 平面三角法で個人的に好きなのは、
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  tanA+tanB+tanC=tanA*tanB*tanC
といったところです。和と積がきれいに分かれているところに惹かれます。

 #2です。
 お礼をありがとうございます。

>n変数の公式は、すごく複雑ですね。どう応用があるのかわからない。

 まさに、その通りです。
 いつか必要になるかもしれないと思い求めておきましたが、いまだかつて役に立ったことがありません。^^;

>3変数のとき、
>sin(A)+sin(B)+sin(C)-sin(A+B+C) = 4sin((C+A)/2)sin((A+B)/2)sin((B+C)/2)
>において、A,B,Cの角度は三角形の角度、つまり、A+B+C=πとすると、少しは役立ちそうです。

 三角法の公式ですね。
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Qa^2(b -c) +b^2(c -a) +c^2(a -b) この式

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