電磁気がとても苦手です・・・

問題は、体積電荷密度ρで帯電した円柱の中心から距離z離れた位置にある軸の電位を求めるんですが、今、円柱の長さがL、半径Rで、電場を導いてから電位を求めよと書いてあります(z>L/2として考えよとも書いてあります)。ガウスの法則が使えないので積分で計算しようとしたのですが上手くいきません。
ちなみに、問題はGliffithsのProblem2.27なんですが英語なので間違って解釈してる可能性もあります・・・

どなたか助けてください!!よろしくお願いします!!!

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A 回答 (6件)

他の回答者が指摘していないので、コメントしたいと思います。


>ガウスの法則が使えないので・・・
ガウスの法則はいつでも成立しています。
ガウスの法則は、divD=ρの積分形です。
電荷分布の対称性を考えて、積分面を定めることが肝心です。
軸上の電界を求めるのですから、問題の点を表面に含む円柱の
表面をガウス面とするとよいでしょう。ただし、電気力線と面が
直交しないので、注意してください。
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#4のものです。

式が一箇所間違えていましたので訂正します。
(誤) (1/4πε0)*dt*rdr*dθ*ρ/{(z-t)^2+r^2}*[(z-t)/{(z-t)^2+r^2}]

(正) (1/4πε0)*dt*rdr*dθ*ρ/{(z-t)^2+r^2}*[(z-t)/{(z-t)^2+r^2}^0.5]

最後の所に^0.5(つまり√)をつけるのを忘れていました。
これが無い次元がありません。
一部用語の使用方法にも問題がありますが多めに見てください。
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普通に積分をして計算可能です。

それなりに手間がかかるだけです。
まずは円柱座標をとり、軸方向にz座標を取る。
円柱内部の微小領域、z=t~t+dt,r=r~r+dr,θ=θ~θ+dθが作る求める点での電場のz成分は次のように求められます。

(1/4πε0)*dt*rdr*dθ*ρ/{(z-t)^2+r^2}*[(z-t)/{(z-t)^2+r^2}]
上の式の説明
(1/4πε0):電場を求める際のお約束
dt*rdr*dθ*ρ:微小領域の体積×電荷密度=電荷量
{(z-t)^2+r^2}:微小領域と電界を求める点の間の距離の2乗
[(z-t)/{(z-t)^2+r^2}]:微小領域から電界を求める点を結ぶ直線と中心軸となす角をφとしたときのcosφ

中心軸に垂直な成分は対象性からキャンセルしあうことは明らかなので無視する。
後は、これをt=-L/2~L/2,r=0~R,θ=0~2πの範囲で積分を行えばよい。
さほど難しい積分ではありません。
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この場合、円柱の中心に電荷が集中しているとすることができます。

使ってられる教科書のどこかに書いてありますので探してみて下さい。
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下記のURLでも同じように、解いていたのでたぶん切り取ったものとして考えればいいのではないでしょか。

 あっているか分かりませんが・・・。

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4047596.html
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体積=πLR^2


∫EndS=E∫dS
   =E2πrL
E2πrL=QL/ε0
QL=ρLπR^2
E=ρLπR^2/2πrLε0
=ρR^2/2rε0
みたいな感じかなぁ~。あんまり自信ない・・・。

この回答への補足

回答ありがとうございます!
円柱の長さが無限ではなく、有限の長さLとなっているのでおそらくガウスの法則が使えないと思うんです・・・
間違っていたらすみません!!

補足日時:2009/05/24 19:17
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