電磁気がとても苦手です・・・

問題は、体積電荷密度ρで帯電した円柱の中心から距離z離れた位置にある軸の電位を求めるんですが、今、円柱の長さがL、半径Rで、電場を導いてから電位を求めよと書いてあります(z>L/2として考えよとも書いてあります)。ガウスの法則が使えないので積分で計算しようとしたのですが上手くいきません。
ちなみに、問題はGliffithsのProblem2.27なんですが英語なので間違って解釈してる可能性もあります・・・

どなたか助けてください!!よろしくお願いします!!!

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A 回答 (6件)

他の回答者が指摘していないので、コメントしたいと思います。


>ガウスの法則が使えないので・・・
ガウスの法則はいつでも成立しています。
ガウスの法則は、divD=ρの積分形です。
電荷分布の対称性を考えて、積分面を定めることが肝心です。
軸上の電界を求めるのですから、問題の点を表面に含む円柱の
表面をガウス面とするとよいでしょう。ただし、電気力線と面が
直交しないので、注意してください。
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#4のものです。

式が一箇所間違えていましたので訂正します。
(誤) (1/4πε0)*dt*rdr*dθ*ρ/{(z-t)^2+r^2}*[(z-t)/{(z-t)^2+r^2}]

(正) (1/4πε0)*dt*rdr*dθ*ρ/{(z-t)^2+r^2}*[(z-t)/{(z-t)^2+r^2}^0.5]

最後の所に^0.5(つまり√)をつけるのを忘れていました。
これが無い次元がありません。
一部用語の使用方法にも問題がありますが多めに見てください。
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普通に積分をして計算可能です。

それなりに手間がかかるだけです。
まずは円柱座標をとり、軸方向にz座標を取る。
円柱内部の微小領域、z=t~t+dt,r=r~r+dr,θ=θ~θ+dθが作る求める点での電場のz成分は次のように求められます。

(1/4πε0)*dt*rdr*dθ*ρ/{(z-t)^2+r^2}*[(z-t)/{(z-t)^2+r^2}]
上の式の説明
(1/4πε0):電場を求める際のお約束
dt*rdr*dθ*ρ:微小領域の体積×電荷密度=電荷量
{(z-t)^2+r^2}:微小領域と電界を求める点の間の距離の2乗
[(z-t)/{(z-t)^2+r^2}]:微小領域から電界を求める点を結ぶ直線と中心軸となす角をφとしたときのcosφ

中心軸に垂直な成分は対象性からキャンセルしあうことは明らかなので無視する。
後は、これをt=-L/2~L/2,r=0~R,θ=0~2πの範囲で積分を行えばよい。
さほど難しい積分ではありません。
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この場合、円柱の中心に電荷が集中しているとすることができます。

使ってられる教科書のどこかに書いてありますので探してみて下さい。
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下記のURLでも同じように、解いていたのでたぶん切り取ったものとして考えればいいのではないでしょか。

 あっているか分かりませんが・・・。

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4047596.html
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体積=πLR^2


∫EndS=E∫dS
   =E2πrL
E2πrL=QL/ε0
QL=ρLπR^2
E=ρLπR^2/2πrLε0
=ρR^2/2rε0
みたいな感じかなぁ~。あんまり自信ない・・・。

この回答への補足

回答ありがとうございます!
円柱の長さが無限ではなく、有限の長さLとなっているのでおそらくガウスの法則が使えないと思うんです・・・
間違っていたらすみません!!

補足日時:2009/05/24 19:17
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Aベストアンサー

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Aベストアンサー

数式の言葉で厳密に考えれば良いのです。
 
導体球の表面の電荷密度をρ[C/(m^2)]とします。
そして、球の任意の位置(点Aとしましょう)を中心とした微小面積(面積ΔS[m^2])に注目します。ここに有る電荷Δqは
Δq=ρ・ΔS
となります。
 
この電荷が電場を作るのですね。空間の点P(AP間距離がr[m]だったとします)に、Aの電荷が作る電場ΔEは
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数式の言葉で厳密に考えれば良いのです。
 
導体球の表面の電荷密度をρ[C/(m^2)]とします。
そして、球の任意の位置(点Aとしましょう)を中心とした微小面積(面積ΔS[m^2])に注目します。ここに有る電荷Δqは
Δq=ρ・ΔS
となります。
 
この電荷が電場を作るのですね。空間の点P(AP間距離がr[m]だったとします)に、Aの電荷が作る電場ΔEは
ΔE=k・Δq/(r^2)  式(ア)
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Aベストアンサー

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こんにちは、いつも勉強させて頂いております。
少々難癖な問題に出会いました。添付の図と以下の問題文をご覧下さい

[問題]
図のような電荷の配置で、
(1) 電位がゼロになる領域はあるか? あるとすればどのような領域になるか説明せよ。但し、無限遠を除く。
(2)電場がゼロになる点は何点あるか? 但し、無限遠を除く。

[私の解法(案)]
(1) ある点の電位は添付の式(V =)で与えられる。この点が今R2から十分に離れたところに位置するとする。すると、|R1 – R| |R3 – R| |R2 – R| はほぼ同じになるため、Vは正の値である。そしてこの点をR2へ近づけると、|R2 – R|がゼロに近づき、式の右辺の負の項は無限大に近づく、一方で、|R1-R|と|R3-R|は各々|R1-R2|, |R3-R2|に近づくだけで両者とも有限の値である。したがって、Vは負の値となる。したがって、R2から十分に離れた点とR2に十分に近い点の間にV = 0 となる点が存在する。これはR2の周囲360oに共通していることのため、V = 0 となる点の集合は閉じた線分(おそらく楕円のような形)となる。

[疑問]
この操作(ある点をR2から十分離れたところから、R2へ十分近づける)の中で、V = 0となる点は、たった一度だけということは証明できるでしょうか?


(2) これは計算しようとするとかなり煩雑になるのですが、一般式だけで示させてもらいますと、ある点(a, b)にQの電荷があり、この電荷がある点(X, Y)に形成する電場のx軸成分とy軸成分をEx Eyとすると、それらは添付の式で表されます。この(a, b)にたいして、R1, R2, R3の座標を当てはめ、
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三つのEy の合計= 0
となる(X, Y)を求めれば、良いかと思っています。ただ式が煩雑すぎます。問題は、座標を求めろという訳ではなく、何点あるかということなので、
三つのEx の合計= 0, 三つのEyの合計 = 0
の解がいくつあるかという問題ということになります。

[疑問]
数学的な質問になりますが、この解の数はいくつになるのでしょうか。
何とかすれば、ExおよびEyの式は、それぞれが、(X + t)^2 + (Y + s)^2 = u^2の形になりそうなので、二つの円の交わりが解となり、解の数は2つとなりそうですが、
いかがでしょうか。


以上、数学寄りな質問になってしまったかもしれませんが、どうか宜しくお願いします。
私の文面が分かりづらい場合などご指摘頂ければ修正致しますゆえ、どうか回答の程、重ねてお願いします。

こんにちは、いつも勉強させて頂いております。
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(1) ある点の電位は添付の式(V =)で与えられる。この点が今R2から十分に離れたところに位置するとする。すると、|R1 – R| |R3 – R| |R2 – R| はほぼ同じになるため、V...続きを読む

Aベストアンサー

数学的補足です。

(1)(2)ともに定性的な結果は,電位と電場の形状をイメージするだけで,ほとんど自明です。

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Aベストアンサー

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2.最悪の将来像→それが人類に与える影響→あなたの取るであろう対応。
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Aベストアンサー

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Aベストアンサー

私も専門学校のときは人より早く描き終える方でした(^^;)
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QE/ρ,(E^1/2)/ρ,(E^1/3)/ρについて教えて下さい!!

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Aベストアンサー

E/ρ、 E^(1/2)/ρ、 E^(1/3)/ρ

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不勉強かも知れませんが、私には心当たりがありませんので。


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