物理の教科書を読んでいたら、このようなことが書かれていました。

fをxの関数として、
Δf(x)=f(x)-f(x_0)
としたときに
xの変化がx=x_0からわずかだった場合
Δf=δf+(1/2)δ^2f+…
という展開を行える。

どうしてこうなるのか理解できないので
解説をお願いします。

A 回答 (2件)

テイラー展開と思います。


f(x+dx)=f(x)+f(x)'dx+f(x)''dx^2/2!+f(x)'''dx^3/3!+・・・
という近似です。以下HPのグラフが直感的に分かりやすい説明がされていると思いますので参考に。

参考URL:http://letsphysics.blog17.fc2.com/blog-entry-90. …
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δf、δ^2fが説明されていないので正確には答えようがありませんが要はティラー展開によって、高次の項まで考慮する方法を説明しています。

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これが全くわかりません!
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cosxのx=π/4の周りのテイラー展開
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x1=0 x2=π/4 x3=π/2でのcosxの値から0≦x≦π/2でのラグランジュ補間式f(x)
f(x) = (4/π^2)・{2(x-π/4)(x-π/2)-√2・x(x-π/2)}

計算ミスなければ・・!?

Q物理です x^2+y^2<=1 x>=0 y>=0で与えられる重心を 求める問題で重心のx座標を

物理です
x^2+y^2<=1 x>=0 y>=0で与えられる重心を
求める問題で重心のx座標を
1/S∮(0→1)x√1-x^2となっているのですが
なぜこうなるのかがよく分かりません
解説お願いします

Aベストアンサー

重心は、任意の点の周りのモーメントを考えたときに、「微小部分の重量のモーメントの総和=全重量が重心位置にある場合のモーメント」となる点です。

 与えられたのは、半径 1 の 1/4 円の扇型です。その「微小部分」を、x座標を x ~ x+dx の「縦割り」部分にすると、面積は「高さ」が √(1 - x) 、幅が dx ですから
 ΔS = √(1 - x)*dx
です。
 この部分原点回りのモーメントの「腕の長さ」は x ですから、物理的な「力」を考えるために密度を ρ として、モーメントは
  ρ*xΔS = ρ*x√(1 - x)*dx
です。従って、「微小部分の重量のモーメントの総和」は
  ∫[0~1] ρ*x√(1 - x) dx    (1)
です。

 これに対して、「全重量が重心位置にある場合のモーメント」は、重心の x 座標を x0 とすると
  ρ*S*x0     (2)

(1)と(2)が等しくなるので
  ρ*S*x0 = ∫[0~1] ρ*x√(1 - x) dx

 従って
  x0 = (1/S)∫[0~1] x√(1 - x) dx

 S は 1/4 円なので
   S=(1/4)パイr^2 = パイ/4
ですね。

重心は、任意の点の周りのモーメントを考えたときに、「微小部分の重量のモーメントの総和=全重量が重心位置にある場合のモーメント」となる点です。

 与えられたのは、半径 1 の 1/4 円の扇型です。その「微小部分」を、x座標を x ~ x+dx の「縦割り」部分にすると、面積は「高さ」が √(1 - x) 、幅が dx ですから
 ΔS = √(1 - x)*dx
です。
 この部分原点回りのモーメントの「腕の長さ」は x ですから、物理的な「力」を考えるために密度を ρ として、モーメントは
  ρ*xΔS = ρ*x√(1 - x)*dx
です。従っ...続きを読む

Qテイラー展開とマクローリン展開の語源に関する質問

テイラー展開はマクローリン展開の拡張であり、
マクローリン展開はテイラー展開のある制約のもとで成り立つ式です。
テイラー展開とマクローリン展開はどちらが先に生まれたのでしょうか?
なぜほとんど同じものである公式に全く別の人の名前がついているのでしょうか?

Aベストアンサー

追記:

件の教科書に引用されたマクローリンの論文には、
f(x) = Σ[n=0→∞] { (d/dt)^n f(t) [t=a] }/(n !)・(x-a)^n
という、いわゆるテイラー展開について書いてあり、
テイラーの教科書のほうは、それを
x = a + h で置換して、h の冪級数として扱っていた
そうなので、
「テイラー展開」と「マクローリン展開」の用語は、
歴史のどこかで入れ替わってしまったことになります。
歴史って、そんなものですが。

マクローリン、テイラーより以前に、テイラーの定理を証明した
例としては、ジェームズ・グレゴリが知られています。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%82%A7%E3%83%BC%E3%83%A0%E3%82%BA%E3%83%BB%E3%82%B0%E3%83%AC%E3%82%B4%E3%83%AA%E3%83%BC
映画俳優ではないほうの人です。

QV=V0+at → X=V0t+1/2at^2 ?

タイトルの前者の単位は〔m/s〕ですよね
で、後者の単位は〔m〕ですよね

僕は、〔m/s〕を〔m〕に直したいなら〔s〕をかければいいと思ったので
t(V0+at)をしました
けれどそれだと、後者の式の"1/2"が抜けてしまいます
一体この"1/2"がどこから出てきたのかが疑問です

学校の先生に質問しても、積分がどうとやらといっていてよくわかりませんでした

v-tグラフの面積を利用して出すときは、加速度が斜めで出てくるから
三角形の公式を利用したときに"1/2"を使うということは分かりました
けれど、こうして式で考えようとすると、なぜ1/2が出てくるのかよくわかりません
単純にtをかけるだけではダメなのでしょうか

どなたか分かる方いたら解説お願いします

Aベストアンサー

時刻"0"から"t"までのt秒間に進んだ距離を考える場合、その中間時刻"t/2"の時の速度で"t"秒間進んだ、と考えましょう。
時刻"0"の時の速度でt秒とか、時刻"t"の時の速度でt秒よりも正しそうな気がしませんか?

時刻"t/2"の時の速度はV0+a(t/2)=V0+(1/2)atです。この速度でt秒なら
{V0+(1/2)at}t=V0t+(1/2)at^2
となります。

これは等加速度運動の場合だから成り立つのであり、常に成り立つわけではありません。
ただ、t秒間での移動距離=t秒間での平均速度 × t は必ず成り立ちます。

Qテイラー展開

テイラー展開で
~近傍のテイラー展開の値を求めよ。
とかありますよね?
ここで近傍とはいかにも抽象的だと思うんです。
どの程度までを近傍と言うのでしょうか?
またまた例えば1近傍と2近傍でテイラー展開する
意味はなんなんでしょうか?
なにか実用例がありませんか?
(1近傍でないとテイラー展開しても意味ない場合とか。)
お願いします。

Aベストアンサー

> テイラー展開の値を求めよ。
という言い方はしません.
「テイラー展開を求めよ。」とは言いますが.

> またまた例えば1近傍と2近傍でテイラー展開する
> 意味はなんなんでしょうか?

1近傍でテイラー展開なら x-1 のべき級数にするのだし,
2近傍なら x-2 のべき級数にするわけです.

1/(1+x) を例にしましょう.
0近傍でテーラー展開なら
(1)  1/(1+x) = 1 - x + x^2 - x^3 + ...
これは無限等比級数の和を逆に書いたもの( -1<x<1 でないと意味がない).

1近傍でテーラー展開なら,x-1=y とおくと見やすくて
(2)  1/(1+x) = 1/(2+y) = (1/2) {1/(1+z)}    (z=y/2 とした)
    = (1/2){1 - z + z^2 -z^3 + ...}
    = (1/2) - (1/4)(x-1) + (1/8)(x-1)^2 - (1/16)(x-1)^3 + ...
2近傍なら,同様のやりかたで
(3)  1/(1+x) = (1/3) - (1/9)(x-2) + (1/27)(x-2)^2 - (1/81)(x-2)^3 + ...

> どの程度までを近傍と言うのでしょうか?
近傍というのは,上のような意味ですからどの程度までというのは意味がありません.
ただし,テイラー展開には収束半径がありまして,
展開の中心の値から余り離れると収束しなくなることがあります.
上の 1/(1+x) の0近傍の場合ですと,収束半径は1といいます.

> 1近傍でないとテイラー展開しても意味ない場合とか。
x=1 付近の関数の性質を調べるのでしたら1近傍で展開しないと役に立ちませんが,
そういうこととでしょうか?
あるいは,上の 1/(1+x) ですと x=-1 近傍ではテーラー展開できませんが
(x=-1 とおくと困ってしまう),
そういうことですか?

最後に,テーラー展開を形式的に作れてもそれが収束するとは限りませんし(上の例),
収束しても元の関数を表さない場合もあります.
後者の例は exp[-1/x^2] など.

> テイラー展開の値を求めよ。
という言い方はしません.
「テイラー展開を求めよ。」とは言いますが.

> またまた例えば1近傍と2近傍でテイラー展開する
> 意味はなんなんでしょうか?

1近傍でテイラー展開なら x-1 のべき級数にするのだし,
2近傍なら x-2 のべき級数にするわけです.

1/(1+x) を例にしましょう.
0近傍でテーラー展開なら
(1)  1/(1+x) = 1 - x + x^2 - x^3 + ...
これは無限等比級数の和を逆に書いたもの( -1<x<1 でないと意味がない).

1近傍でテーラー展開なら...続きを読む

QF(r)=f(r)r/r のときF(x)=f(r)x/rとなる理由

時間があるので大学1年の物理を再度、深く勉強しなおしているのですが、教科書に当たり前のように書いてあることが分からなくて、しかも聞ける人もいないので質問させていただきました。

教科書の 「中心力F(r)=f(r)r/r が保存力か調べる」とあり(最後のr/rとは位置ベクトルrの単位ベクトルのことです)そのすぐ次の行には「F(x)=f(r)x/rとなるので…」と説明が始まってます。なぜF(x)がこのように求まるのでしょうか?教えてください。

Aベストアンサー

keyguy さんのご回答の通りと思うのですが,
もう少しわかりやすく書いてみますか.

keyguy さんご指摘のように,ベクトルとスカラーの表記に問題があります.
ベクトル r を 【r】 のように書くことにします.

(1)  【F】(【r】) = f(r)【r】/r
ということですね.
x,y,z 方向の単位ベクトルをそれぞれ 【i】【j】【k】とすれば
(2)  【r】= x【i】+ y【j】+ z【k】
です.
つまり,(1)(2)を合わせてみると,
(3)  【F】(【r】) = f(r)x【i】/r + f(r)y【j】/r + f(r)z【k】/r
になっていて,これは【F】の x 成分が
(4)  f(r)x/r
であることを示しています.

Qlogx/(x-1) を x=1 においてテイラー展開せよ。

f(x) = logx/(x-1) を x=1 においてテイラー展開せよ。
という問題があるのですが解答では、g = logxとおいて、gのn階微分=...よりgのテイラー展開を求めて、その後、f(x)のテイラー展開を求めるのですが、この手順の意味が分かりません。

そもそもf(x)のテイラー展開の第一項目の、f(0)は、分母が0になるので、求められないよなぁと思ってしまいます。(多分その解決策としての上記の方法なのかもしれませんが)

Aベストアンサー

こんばんは。#1さんも指摘してくださっている通りlogxのテイラー展開を求めて、x-1で割るのが一般的な解法だと思います。
このまま解答を書いてもよいのですが、それでは質問者さんの勉強にはならないのでヒントを書きたいと思います。

1+r+r^2+r^3+… = 1/(1-r) 幾何級数

を利用して

1/x = 1/{1-(1-x)} = 1+(1-x)+(1-x)^2+(1-x)^3+…

の両辺を項別積分します。そうすると x=1 におけるlogxのテイラー展開となります。

(1-x)^n=(-1)^n・(x-1)^n として式を書き直して (x-1)で割れば

f(x) = logx/(x-1) の x=1 におけるテイラー展開となります。

※項別積分できる理由や幾何級数の収束半径などはご自分で調べてください。
質問や実際に解いてみた解答等は遠慮なく補足に書いてください。


 

Q直列共振回路 Q = f0 / Δf の求め方。

直列共振回路にあるQ = f0 / Δf を元の式から導きたいのですが自分の力ではどう考えたらいいのかわかりませんでした。
わかる人がいたら教えてくれませんか?

Aベストアンサー

Qの定義は
http://ja.wikipedia.org/wiki/Q%E5%80%A4
にあるように,系に蓄えられているエネルギーと1回の振動で失われるエネルギーの比です。

そこから計算すれば,LCRの関係でQを表現できますから,その式のLCRを
半値幅の周波数で表現すればよいだけです。

http://www.ei.fukui-nct.ac.jp/~sawai/Lecture/Experiment/ElectricCircuit.doc
に演習問題みたいのがありますから,読めばわかると思います。

Qテイラー展開について

ふと疑問におもったのですが、偶関数のテイラー展開は、変数xの偶数乗のべきで級数展開できましたっけ?
あと、|x|( ||は絶対値 )はテイラー展開できますか?

Aベストアンサー

>正則とはどんな関数のことをいいますか?無限回微分可能ってことでしたっけ?
1回微分可能な複素関数ことですが、複素関数は1回微分可能だと必ず無限回微分可能になります。

テイラー展開についての話は(収束半径など)、複素関数として考えると非常にすっきりします。

Qp=p_0+ρ(y_1-y_2)gという式について

圧力の式についての質問です。
y_1とy_2は何を表していますか?

y_1を上の点、y_2を下の点とすると以下の通りつじつまが合わなくなってしまいます。

――――――――――――――――
深さhの点の水の圧力について考えるとき、y_1=h , y_2=0として
p=p_0+ρhg
となります。

次に、高さdの高山の頂上における点の圧力を考えたとき、
常識では大気圧よりも小さい圧力がその点ではかかります。
授業では、p=p_0+ρ(0-d)g=p_0-ρdg
と説明されましたが、y_1を上の点、y_2を下の点とすると
p=p_0+ρdg となってしまってつじつまが合わなくなってしまいます。

Aベストアンサー

おそらくは、その式自体が間違っています。
少なくとも、一般的ではありません。

間違っていないのであれば、まず、p_0の定義を明確にしてください。

それと、「上の点」とか「下の点」という用語も、定義する必要がありそうです。

> 深さhの点の水の圧力について考えるとき、y_1=h , y_2=0として
> p=p_0+ρhg
> となります。

普通に考えると、深さhの点が、(水面から見て)「下」ですね。
この時点で、y_1 が「上の点」ではなくなっています。

これに習って、y_1 が「下の点」と仮定しましょう。

高さdの高山の場合、地平(高度0の地点)が「下」。高さdの地点が「上」です。
先に、y_1 が「下の点」と仮定しましたから、
y1 = 0 (下)
y2 = d (上)
で、

p=p_0+ρ(y_1-y_2)g
=p_0 + ρ(0 - d)g
=p_0 - ρdg です。

「上」や「下」や、「方向」の考え方を整理しましょう。

あと、P_0 が水面、または、地表の圧力だとすると、これは、y_1, y_2 の一方が0の時にしか成立しません。(つまり、一般的ではない)

おそらくは、その式自体が間違っています。
少なくとも、一般的ではありません。

間違っていないのであれば、まず、p_0の定義を明確にしてください。

それと、「上の点」とか「下の点」という用語も、定義する必要がありそうです。

> 深さhの点の水の圧力について考えるとき、y_1=h , y_2=0として
> p=p_0+ρhg
> となります。

普通に考えると、深さhの点が、(水面から見て)「下」ですね。
この時点で、y_1 が「上の点」ではなくなっています。

これに習って、y_1 が「下の点」と仮定しましょう。

高さdの...続きを読む


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