ローラン展開はテイラー展開とは異なり、留数や特異点でも式を展開することが可能なものですが、
これの使い方がどうしても分かりません。
もちろん書籍で調べたり、ネットで検索してもどうしても分からなかったので教えて下さい。


http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/lecture/complex- …

級数展開して、それぞれの級数の係数の計算の仕方についてですが、
上記のページの上から4つめの式に表されるように、元の式を(z-c)^{n+1}で割ったものを|z-c|=Rで積分することで求められますが、
このRという定数はどこからやってくるのでしょうか?

それとこの積分はf(z)の式によっては解くのが非常に難しい積分になることもあり得ますが、
そういう場合にはどうやって計算するのでしょうか?

具体的な計算を見てみたいのですが、
リンク先である
http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/lecture/complex- …

では、露わに上記の積分の計算を行わずに、ローラン展開を行っています。
書籍などを見てみても、上記の積分をしている例題が見つかりませんでした。

一体ローラン展開はどうやってやれば良いのでしょうか?

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (3件)

質問が3つあるので(クエスチョンマーク3つ),


上から (1), (2), (3) と番号を付け,(1) -> (3) -> (2) の順で答えます.

(1)
R は任意の正数でよいです.

k番目の係数 a_k がこれで計算できる理由を考えればよいのですが,
 ∫[|z-c|=R] dz/(z-c)^k = 2πi (k = 1), 0 (k ≠ 1)
という式が,任意の整数 R について成り立ちます.
(コーシーの積分定理と合わせて確認してください).
f(z) = Σ[n=-∞,∞] a_n (z-c)^n という式があれば,
(z-c)^{k+1} で割って積分すると,上の積分の式から a_k の項以外が
全部消える,という理屈なので,R は任意です.

(3)
「ローラン展開の一意性」というものがあります.
これは「ローラン展開可能な関数のローラン展開は一意」というもので,
どのような方法で展開しても正しい展開が得られることを保証します.
その例題では,1/(1-z) = 1 + z + z^2 + ... という
良く知られた等式を用いてローラン展開を計算していますが,
積分を計算するのは面倒なので,試験などで出てくる問題では
こういう方法を組み合わせて展開することのほうが多いです.
複素積分を陽に計算するのは最終手段です.

(2)
1/(1-z) などの組合せも使えず,複素積分もよくわからない.
そんな場合は事実上「お手上げ」で,諦めるしかありません.
(近似値で良ければ数値計算するとかになります).
実際,ローラン展開の係数が陽に分かっていない関数は大量にあるので,
そういうものが出てきたとき,改めて考えるのが吉だと思います.
    • good
    • 0
この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

陽に計算しないというのが普通なのですね。

後、3つお聞きしてもよろしいでしょうか?

1.少し勘違いしているかも知れませんが、∫[|z-c|=R] dz/(z-c)^k = 2πi (k = 1), 0 (k ≠ 1)
の計算というのは留数定理を用いて計算してa_kを計算するのではないのでしょうか?
中に特異点があり、その周りで積分するということは留数さえ分かっていれば計算出来ると思うのですが、この計算は難しいのでしょうか?
(もしかすると解析学が分かっていないかも知れません。)

2.このローラン展開というのは特異点以外では計算することは出来ないのでしょうか?

3.ローラン展開はテイラー展開を一般化したものでローラン展開に何か極限をとることでテイラー展開になるのではないかと思うのですが、これは可能でしょうか?
それともテイラー展開とは全く異なるものであると考えるしかないのでしょうか?

上記の3つの質問、よろしくお願いいたします。

お礼日時:2009/05/24 23:20

No.1へのコメントについて:


1.
留数を求めるのとローラン級数展開を求めるのは,同じようなものです.
ローラン展開できる関数なら留数は簡単に求まりますし(対応する項を見るだけ),
留数が簡単に計算できる関数なら,大体ローラン展開も簡単に求まります.
#つまり,留数が簡単に計算できない関数がたくさんあるということです.

2,3はNo.2さんと同じです.
    • good
    • 0

2と3にまとめて答えると,


特異点のまわりでなくてもローラン展開は可能だけど, その結果はテイラー展開と一致します. そういう意味の「一般化」であって, 極限は関係ありません. というか, 何について極限をとるんだろう?
    • good
    • 0

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Qテイラー展開とローラン展開

テイラー展開とローラン展開の問題の解き方がよく分かりません。どちらにもマクローリン展開を用いるようなのですが・・・。例えば、z=-iを中心に関数f(z)=1/zをテイラー展開及びローラン展開するにはどうすれば良いのでしょうか?式をできるだけ詳しく説明して頂けると助かります。

Aベストアンサー

遅くなったかもしれませんが、補足の説明です。

>z=aにおいて正則な関数f(z)についてはテイラー展開という考え方でいいのでしょうか?

先に点z=aを考えるのではなく、領域から考えたほうがよいのでは?
関数f(z)がどの領域(z平面や与えらている領域D)で正則なのかという風に・・・。

>関数f(x)がz=aで極もしくは真性特異点をもつ場合にはローラン展開、という考え方でいいのでしょうか?

除去可能な孤立特異点、(p位の)極、孤立真性特異点はローラン展開した後で判別するものですから、ローラン展開も領域を意識したほうがいいと思います。
例えば、環状領域は0<|z|<+∞、0<|z-1|<1などと表されます。

>また、ローラン展開をする際は必ずマクローリン展開(u=z-aとおく等してz=0でテイラー展開)を用いるのでしょうか?

必ずしもそうとは言えません。与えられた関数によるでしょう。
例として

f(z)={(z^2)-1}/{(z+1)(2z-1)}の0<|z-(1/2)|<(1/2)
でのローラン展開を求めると、
f(z)=(z-1)/(2z-1)=(1/2)*{1-1/(2z-1)}=(1/2)-(1/4)*{1/(z-1/2)}
従って、f(z)=(1/2)-(1/4)*(z-(1/2))^(-1)

というように、テイラー展開を用いなくてもローラン展開が出来るものもあります。
(途中の計算は確認してください。)

また、領域を意識する必要性は#1のローラン展開の例で領域を0<|z-1|<1
に変えると当然一意性があるので違ったローラン展開になります。(g(z)=-1/zとおいて計算する。)

自分の授業の話ですが複素解析学ではマクローリン展開と言わなかったような気がします。(教授の好みかもしれません。)

それでは頑張って下さい。

遅くなったかもしれませんが、補足の説明です。

>z=aにおいて正則な関数f(z)についてはテイラー展開という考え方でいいのでしょうか?

先に点z=aを考えるのではなく、領域から考えたほうがよいのでは?
関数f(z)がどの領域(z平面や与えらている領域D)で正則なのかという風に・・・。

>関数f(x)がz=aで極もしくは真性特異点をもつ場合にはローラン展開、という考え方でいいのでしょうか?

除去可能な孤立特異点、(p位の)極、孤立真性特異点はローラン展開した後で判別するものですから、ロ...続きを読む

Qローラン級数の一意性の証明

「ローラン級数は一意的に定められる」という定理を見つけましたが、
その証明の方法がわかりません。

わかる方、教えて頂けないでしょうか。
(べき級数の一意性の定理の証明は下記リンク先でわかりました)
http://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture/misc/series1/node9.html

Aベストアンサー

一意性の証明だけ・・・
Σでνは-∞から∞ですが,略記しています。級数の収束は前提とします。

f(z)=Σa(ν)(z-a)^ν となんらかの方法で展開されたとすると
(1/2πi)∫(f(z)/(z-a)^(n+1))dz=(1/2πi)∫{Σ(a(ν)(z-a)^ν/(z-a)^(n+1))}dz
=(1/2πi)Σ∫{(a(ν)(z-a)^ν/(z-a)^(n+1))}dz=a(n)
なんとなれば,一般に∫(z-a)^mdz=0 (m≠-1), 2πi (m=-1) なので,
項別積分は,ν=nで2πi ,他は0になるから。
もちろん,先頭の(1/2πi)∫(f(z)/(z-a)^(n+1))dz はLaurent展開の(z-a)^n の係数です。

おおまかなことしか書けなくて申し訳ありませんが,何かこのような証明だったとおもいます。参考まで。

Q複素解析 留数って何ですか?

こんばんは、大学2年生です。現在、複素解析を授業でやっているのですが留数って何ですか?授業中に

f(z)=e二乗/(z-1)(z-2) (z=2)について証明しろと問題が
出されたのですが理解できず困ってます。

アドバイスお願いします。

Aベストアンサー

留数とは
Res[f,a]=1/2πi*∫f(z)dz  …(1)

の積分によって求められる値が留数だ!ってまず覚えてください。
この式は領域D内にある、特異点を含む単一曲線を示していると考えてください。

(z=2)は特異点ですよね?
ローラン展開しないとf(z)は分母が0になっちゃいますよね?
それが特異点なのです。だからz=1も特異点です。
ここでまた大事なのが特異点の極といわれるものです。この式の場合はどっちも(z-1)^1(z-2)^1なのでどっちも1位の極です。
    (z-1)^2(z-2)^1ではz=1では2位、z=2では1位の極となります。極は一般にはk位の極などといいます。
f(z)の特異点における留数を求めたい場合は、f(z)と求めたい特異点の極を求める必要があります。


Res[f,a]=1/2πi*∫f(z)dz  
    =1/(k-1)!*lim(z→a) d^(k-1)/dz^(k-1)[(z-a)^k*f(z)]
に極、f式を代入して簡単に求められます。

Q大学の研究生制度について

大学によっても、違うと思いますが、
研究生制度というものは、入学金や授業料と
いうものは正規の学生とは違うものでしょうか?

また社会人研究生などは、つねに研究室に
いられないと思うのですが、どういうシステムで
研究を進めていくのでしょうか?

とりとめのない質問で申し訳ありませんが
よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

学部研究生と大学院研究生がありますが、私は後者で2年程度学費を支払いました。国立では大学院の学費と同額、しかも免除や半額免除は当然ありません。

また、私は、海外で滞在している期間も支払いました。支払わないと学籍がなくなるし、海外渡航届も提出させられました。学割は利かないし、目的を持っていないと無駄に授業料と無料奉仕になります。

社会人で研究室に籍を置く人は、週3日は会社の研究所で、2日だけ大学で共同研究とか、学位論文を取るために5年もいた人も知っています。その後、学位を諦め、別の仕事に転職したり、大学の講師として大学に戻った人もいます。

学部の研究生の大半は大学院浪人でした。希望の研究室に入室するためにもう1年その研究室で奉仕し、次の年度の受験をしたり、人によっては、学部に受験しなおし、国家資格を取るために別の学部に入学する準備期間として利用した人もいます。

大学院に入学するにも、専門が違うと、難しいので、その専門の学部のある大学の研究室で基礎の勉強をしながら受験するのは珍しくはないみたいです。

文系でも心理関係の大学院に入学するために心理学研究室に学部研究生で勉強し、その間に論文を発表して大学院に入学できるように実績を作る人もいますし、学校の先生で研究生として籍を置いて論文を完成させて学位を狙う人もいます。学位は取れる人が少ないみたいですが、まれに論文博士になる人もいますので、努力次第かも知れません。

学部研究生と大学院研究生がありますが、私は後者で2年程度学費を支払いました。国立では大学院の学費と同額、しかも免除や半額免除は当然ありません。

また、私は、海外で滞在している期間も支払いました。支払わないと学籍がなくなるし、海外渡航届も提出させられました。学割は利かないし、目的を持っていないと無駄に授業料と無料奉仕になります。

社会人で研究室に籍を置く人は、週3日は会社の研究所で、2日だけ大学で共同研究とか、学位論文を取るために5年もいた人も知っています。その後、学位...続きを読む

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q【応用解析】特異点 留数 位数について

特異点、留数、位数の求め方(考え方)を教えてください。
例えば
f(z)=1/(z*sinz)
についてその3つの解説お願い特異点、留数、位数の求め方を教えてください。
自分で考えたのは
特異点はz=0,sinz=0→z=nπ(nは整数)(これもあやふや)
位数はz=0は一次なので1位、sinz=nπはよく分からない
留数は1位とk位(k≧2)の場合の公式があるのでそこに入れるらしい(あやふや)
こんな感じです。
宜しくお願いします。

Aベストアンサー

特異点・留数・極の定義からもう一度見直しましょう。そうすればわかるはずです。

こちらの関数
f(z)=1/(z*sinz)
についてですが、分母零点が特異点になるのはおわかりのようですので、大体いいと思います。しかしこれは複素関数なので、
sinz = 0 (zは複素数)
を解くときに、nπ(nは整数)以外の零点が存在しないことを確認しなければなりません。オイラーの公式を使って、sinzを指数関数で表記すればできます。

極におけるその位数とは、特異点で複素関数をローラン展開したとき、その展開がマイナス何乗の項まで存在するか、ということです。位数が無限大になる「真性特異点」というものもあります。
したがって、この関数はz=0においては1位の極ではありません。もういちどよく考えてください。

留数とは、特異点のローラン展開におけるマイナス1乗の係数のことです。求めたい留数においてそれが何位の極なのかがわかれば、その計算方法も考えればわかるはずです。
留数がわかれば複素積分に応用できるので、留数は複素関数において重要な考えの一つです。

特異点・留数・極の定義からもう一度見直しましょう。そうすればわかるはずです。

こちらの関数
f(z)=1/(z*sinz)
についてですが、分母零点が特異点になるのはおわかりのようですので、大体いいと思います。しかしこれは複素関数なので、
sinz = 0 (zは複素数)
を解くときに、nπ(nは整数)以外の零点が存在しないことを確認しなければなりません。オイラーの公式を使って、sinzを指数関数で表記すればできます。

極におけるその位数とは、特異点で複素関数をローラン展開したとき、...続きを読む

Q複素解析で、極の位数の求め方

無限積分の値を求めるのに留数定理を使用するので、その際留数を求めることになりますが、
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/12cmplx/100cmp.html
によると、留数を求めるのに極の位数が必要だと書いています。

極は分数関数の分母を0にするような変数の値だと習いましたが、位数の求め方がわかりません。位数はどのようにして求めることができるのでしょうか?

Aベストアンサー

>極は分数関数の分母を0にするような変数の値だと習いましたが、
>位数の求め方がわかりません。
極がaのとき、分母をq(z)とおくと、q(z)を因数分解したとき
(z-a)^m
を因数として持つとき(q(z)=0がm重解を持つとき)
mを位数といいます。
位数mを求めるにはz=aが何重解かを求めればそれがmになります。

Qベクトル場の面積分に関してです

1.半球面S:x^2+y^2+z^2=9, z≧0上でのベクトル場f = (-2x, 2y, z)において、
  ∬s f・dS を求めよ。ただし単位法線ベクトルnは上向きに取る。
    (条件:面積分と極座標を用いなければならない)

2.半球面S:x^2+y^2+z^2=9, z≧0上でのベクトル場f = (2x, 2y, z)において、
  ∬s f・dS を求めよ。ただし単位法線ベクトルnは上向きに取る。
    (条件:ガウスの発散定理を用いなければならない)

この2問がどうしても解けないので教えていただけないでしょうか?
特に、1.に関しては「式変形の流れ」、2.に関しては、閉局面として扱って計算した後に底辺を除く必要があるので「底辺の計算方法」だけでも教えていただけると有難いです。

よろしくお願いします!

Aベストアンサー

ベクトルを表すために
r↑ = (x,y,z)
みたいな表記を使います.

1.
極座標(r,θ,φ)を用いると
x = r sin θ cos φ,
y = r sin θ sin φ,
z = r cos θ
であり,S上でrは一定値 r = 3 です.

∫[S] f↑・dS↑ = ∫[S] f↑・n↑ dS

なのですが,S上で
f↑・n↑
= f↑・r↑/r
= (-2x^2 + 2y^2 + z^2)/r
= (-2r^2 sin^2 θ cos^2 φ + 2r^2 sin^2 θ sin^2 φ + r^2 cos^2 θ)/r
= (-2sin^2 θ cos 2φ + cos^2 θ)r.

また,
dS = r^2 sin θ dθ dφ.
積分範囲はz ≧ 0なので,θは0からπ/2の値をとりうる.

以上より
∫[S] f↑・dS↑
= ∫[S] f↑・n↑ dS
= r^3 ∫[0,π/2] dθ ∫[0,2π] dφ (-2sin^2 θ cos 2φ + cos^2 θ)
= 2π r^3 /3
= 18π.

2.
Sに底面を合わせたものをEとし,Eを表面とする体積領域をVとすると,
ガウスの発散定理より

∫[E] f↑・dS↑
= ∫[V] div f↑ dV
= ∫[V] 5 dV
= 18π×5
= 90π.

で,求める積分は
∫[S] f↑・dS↑ = ∫[E] f↑・dS↑ - ∫[底面] f↑・dS↑
なのですが,底面での単位法線ベクトルは明らかにz軸に平行であるのに対し,
底面においてz = 0ですから,f↑は底面において f↑ = (2x,2y,0)となり
z軸に対して垂直です.
すなわち,底面においてf↑とn↑とは垂直なのです:
f↑・n↑ = 0.

したがって
∫[底面] f↑・dS↑ = ∫[底面] f↑・n↑ dS = 0
であり,求める積分は
∫[S] f↑・dS↑ = ∫[E] f↑・dS↑ = 90π.

ベクトルを表すために
r↑ = (x,y,z)
みたいな表記を使います.

1.
極座標(r,θ,φ)を用いると
x = r sin θ cos φ,
y = r sin θ sin φ,
z = r cos θ
であり,S上でrは一定値 r = 3 です.

∫[S] f↑・dS↑ = ∫[S] f↑・n↑ dS

なのですが,S上で
f↑・n↑
= f↑・r↑/r
= (-2x^2 + 2y^2 + z^2)/r
= (-2r^2 sin^2 θ cos^2 φ + 2r^2 sin^2 θ sin^2 φ + r^2 cos^2 θ)/r
= (-2sin^2 θ cos 2φ + cos^2 θ)r.

また,
dS = r^2 sin θ dθ dφ.
積分範囲はz ≧ 0なので,θは0からπ/2の値をとりうる.

以上より
∫[S] f↑・dS↑
= ∫[S] f↑...続きを読む


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング

おすすめ情報