標準偏差と平均偏差について質問させてください。

平均偏差を求める際は
 (a) |サンプルA-平均値|/サンプル数 + |サンプルB-平均値|/サンプル数...
という計算式になると思います。

では何故、標準偏差は
 (b) (サンプルA-平均値)^2^(1/2)/サンプル数 + (サンプルB-平均値)^2^(1/2)/サンプル数...
とせず
 (c) {(サンプルA-平均値)^2/サンプル数 + (サンプルB-平均値)^2/サンプル数...}^(1/2)
となるのでしょうか。

よく「微分ができないから、平均偏差を使わず、標準偏差を使う」というお話を伺いますが
(b)の方法でも同様に微分ができないのでしょうか。

稚拙な質問で申し訳ありませんが、お時間のある際にでもどなたかお答えいただければ幸いです。

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A 回答 (1件)

こんばんは。



(b)のやり方ですと、
(b) = (サンプルA-平均値)^2^(1/2)/サンプル数 + (サンプルB-平均値)^2^(1/2)/サンプル数...
 = |サンプルA-平均値|^2^(1/2)/サンプル数 + |サンプルB-平均値|^2^(1/2)/サンプル数...
 = |サンプルA-平均値|/サンプル数 + |サンプルB-平均値|/サンプル数...
 = (a)
となってしまいますね。


なぜ(c)のようにするかと言えば、
たとえば、
平均の長さがA、誤差(標準偏差)がa の棒(木材)

平均の長さがB、誤差(標準偏差)がb の棒(木材)
があるとしましょう。
この2本をつなげて長い棒を作る場合、平均の長さは、言わずもがな A+B となりますが、
合成した誤差(標準偏差)は、a+b とはなりません。
Aの長さにプラスのずれがあったとき、必ずBの長さもプラスになるとは限らないからです。
Aの長さがプラスにずれたとして、そのときのBのずれは、プラスのときもあれば、マイナスのときもあれば、ゼロのときもあります。
それら全てを考慮して確率論的に考えると、(式を用いた細かい説明は省きますが)
A+B の標準偏差は、√(a^2 + b^2)
になるのです。
(「誤差の伝播」とも言います。)


以上、ご参考になりましたら幸いです。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ご回答、ありがとうございます!

完全には理解していないのですがイメージがつきました。
「誤差の伝播」というキーワードを頂いただけでとても前進しました。
教えていただいた事を元に、今後理解を深めようと思います。

お礼日時:2009/05/24 23:41

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Aベストアンサー

幾何的証明は図を描けば明らかなので、代数的証明を。


|a-b|≧|b|-|a|が成立すれば、
|a|≧|b|-|a-b|>|b|-(1/2)|b|=(1/2)|b|
となるので、|a-b|≧|b|-|a|を証明することにします。


a=a1+ia2、b=b1+ib2、とおくと、
(|a-b|)^2-(|b|-|a|)^2
=(a1-b1)^2+(a2-b2)^2-(a1^2+a2^2+b1^2+b2^2-2|a||b|)
=2(|a||b|-a1b1-a2b2)

ここで、
(|a||b|)^2-(a1b1+a2b2)^2
=(a1^2+a2^2)(b1^2+b2^2)-(a1^2*b1^2+a2^2*b2^2+2a1a2b1b2)
=a1^2*b2^2+a2^2*b1^2-2a1a2b1b2
=(a1b2-a2b1)^2≧0
なので、
(|a-b|)^2-(|b|-|a|)^2≧0

∴|a-b|≧|b|-|a|



なお、|a||b|-(a1b1+a2b2)≧0 は、
内積 a・b=a1b1+a2a2=|a||b|cosθ≦|a||b|
からでも証明可能です。

幾何的証明は図を描けば明らかなので、代数的証明を。


|a-b|≧|b|-|a|が成立すれば、
|a|≧|b|-|a-b|>|b|-(1/2)|b|=(1/2)|b|
となるので、|a-b|≧|b|-|a|を証明することにします。


a=a1+ia2、b=b1+ib2、とおくと、
(|a-b|)^2-(|b|-|a|)^2
=(a1-b1)^2+(a2-b2)^2-(a1^2+a2^2+b1^2+b2^2-2|a||b|)
=2(|a||b|-a1b1-a2b2)

ここで、
(|a||b|)^2-(a1b1+a2b2)^2
=(a1^2+a2^2)(b1^2+b2^2)-(a1^2*b1^2+a2^2*b2^2+2a1a2b1b2)
=a1^2*b2^2+a2^2*b1^2-2a1a2b1b2
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Aベストアンサー

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f'(x)が連続な単調関数ならば上の式を満たす唯一のCが、
必ずA≦C≦Bの範囲にあることを利用して
いろいろな平均を作ることができます。

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f(x)=1/x (x>0) とすると相乗平均
f(x)=ln(x) とするとご質問の対数平均が出て来ます。

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これを解くと
C=(A-B)/ln(A/B)
となります。

これらの平均の使い分けについては分かりませんが…。

Aベストアンサー

|A|・|B|=|AB| ○

|A|/|B|=|A/B|  ○

|A|+|B|≠|A+B|  ×  等号が成立することもあります。

|A|ー|B|≠|AーB| ×     〃


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