半径aの半円と直線からなる細い針金でできた物体がある。ただし、針金は太さが無視でき、密度は一様で単位長さ当たりの質量がσである。
という物体の重心と直線部分の中心に垂直な軸まわりの慣性モーメントを求める問題なんですが、
横方向の重心xgは物体が対称なので0ということはすぐ分かるのですが、
縦方向の重心ygなんですが
半円の部分の重心を積分を使い求め、2a/π
直線部分の重心はその直線の中心なのでy方向で言えば0
これから
yg = (m1 * y1 + m2 * y2) / (m1 + m2)
の式を使って計算し、 2a/(π+2)
と求めたのですがこのような方法で大丈夫でしょうか?

それと慣性モーメントなんですが、こちらも半円部分と直線部分に分けて考え、それぞれの慣性モーメントを足し合わせて
Iz = σa^3(2/3 + π)
と求めたのですが求め方は合っていますか?

どうかよろしくお願いします。

A 回答 (1件)

なぜ回答がつかないのでしょう?


物体の形状に関する説明が不十分だからでしょうか。

常識的に解釈すれば、その求め方でよいと思います。
計算結果があっているかどうかについては言わないでおきますが。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
安心しました。

お礼日時:2009/05/25 21:49

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Qラケットの重心

ラケットの重心の違いは、どの様な影響が出るのでしょうか?

Aベストアンサー

ストリンガーの仕事をしています。

ものすごく簡単に言うと下記のようになります。
 重心がトップ寄り⇒少ない力でボールが飛ぶ
 重心がグリップ寄り⇒振り抜きが良くなる

重心がトップ寄りのラケット
・パワーの少ない人にお勧め
・スウィングスピードの遅い人にお勧め
・重量が軽いラケットに多い
・フェイス面積の大きいラケットに多い
重心がグリップ寄りのラケット
・パワーのある人にお勧め
・ラケットの振り抜きを重視する人にお勧め
・重量の重いラケットに多い
・フェイス面積の小さいラケットに多い

Q等速直線運動をしている物体から見た視点はなぜ慣性系といえるのでしょうか? 慣性の法則は満たしてはいる

等速直線運動をしている物体から見た視点はなぜ慣性系といえるのでしょうか?
慣性の法則は満たしてはいるとおもうのですが
運動方程式は満たしているのかよくわかりません。

Aベストアンサー

言い換えると、等速直線運動している観測者から見た場合、運動方程式は満たしているのか?・・・ですね(^^)
微分は使っていいのかな?(・・?)

まず、静止している観測者をS としておき、等速直線運動している観測者をS' としておきます。
S' の速度をv としましょう(^^)
時刻t=0 にSとS' は同じ位置にいたとします(もちろんS' はvで運動しています)
Sから見て、ある物体が力Fを受けて、加速度aで運動していたとします。・・・物体の運動方向は、簡単のため、S'の速度の向きと一致しているとします。
そして、その物体は時刻t=t では位置xにあったとしましょう。
すると、Sに対しては、もちろん、F=ma (m:物体の質量)が成り立ちます(^^)
ここで、
a=dV/dt=d^2x/dt^2  V:物体の速度
ですね。

今度は、S'からこの物体を見ることを考えます(^^)
時刻t=t では、S'から見た物体の位置x'は
x'=x-vt 
ですね(^^)
これをt で微分して、
dx'/dt=dx/dt-v
もう一度t で微分して、
d^2x'/dt^2=d^2x/dt^2 =a
つまり、Sから見た物体の加速度は、S' から見た物体の加速度と一致します。
という事は、S' から見て、ma =F でなければいけませんね。
これは、まさに運動方程式ですね(^^)
注意して欲しいのは、最後のma=F は運動方程式をS' に適用したのではなく(S'で運動方程式が成り立つ事を使ったのではなく)、
Sに対する運動方程式から F と maの値は等しい・・・だから、maとFを等号で結べるって事です。
というわけで、等速直線運動している観測者から見ても運動方程式は、静止している観測者と全く同じものが成立します(^^)

参考になれば幸いです(^^v)

言い換えると、等速直線運動している観測者から見た場合、運動方程式は満たしているのか?・・・ですね(^^)
微分は使っていいのかな?(・・?)

まず、静止している観測者をS としておき、等速直線運動している観測者をS' としておきます。
S' の速度をv としましょう(^^)
時刻t=0 にSとS' は同じ位置にいたとします(もちろんS' はvで運動しています)
Sから見て、ある物体が力Fを受けて、加速度aで運動していたとします。・・・物体の運動方向は、簡単のため、S'の速度の向きと一致しているとします。
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Q数学で言う重心

Q数学でいう重心って本当に重心なんですか??
A板を辺BCに平行に細かく分割して棒状にすると、一本一本の重心は中点になるよね。それらはAM上に並ぶ。
すると全体の重心はAM上にあるはずだ。

教えてほしいところ
・確かに、一本一本の重心は中点になり、AM上に並びますが、なぜそうなるとAM上に全体の重心があるといえるんですか??

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重心は,重力が物体に与える影響に関する限り,そこに質量が集中していると考えてよい。つまり,その物体は重心にあるおもりと置き換えることができる…というところまではよいでしょうか?

上を認めることができるのであれば,三角形が図のように底辺にむかうおもりの集合と考えてよいことはわかるとおもいます。先の回答ではこれをバットのような棒と考えましたが,底辺にむかっておもくなるおだんごのついた棒と考えましょう。上から1番目と2番目の2つのおだんごの重心はおだんごを結ぶ線上にありますね? 2つのおだんごのかわりに,2つの重心に2つぶんの質量をまとめた新しいおだんごと取り替えることができます。3番目と4番目も同じようにまとめることができます。最後に1個あまるなら何もやらずほうっておきます。全体でおだんごの数が約半分になりますが,相変わらずそれらはAM上にあります。同じように上から2つずつ選んで,重心に2つぶんの質量をまとめていきましょう。するとおだんごの数はさらに約半分になりますが,相変わらずおだんごたちはAM上にならんでいます。この操作をくりかえしていけば,最後に全体の重心にひとつにまとまった,三角形の質量に等しいおだんごが残ります。これもAM上にあることになるでしょう?

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Qホチキス(U字型の針金の慣性モーメント)

このような図のホチキス型の針金のx軸周りの慣性モーメントを求める問題の解き方が分かりません。期限が明日までなのでなるべく早くどなたか教えて頂けませんか?ちなみに答えは(5Ml^2)/9らしいです。お願いします。

Aベストアンサー

この手の問題では、対象物を、幾つかの「単純な形状の物体」の寄せ集めとして見ると良いでしょう。
 
本問では、添付図のように、A,B,Cの3つのパーツを組み合わせた物と見なせば、見易いでしょう。
 
Aは、回転軸からの距離が L の位置に、棒の全てが有りますから、棒というよりも、回転軸から L 離れた位置に、質量mの質点が有る場合と全く同じ扱いで良いです。その慣性質量Iは
 I=m・L^2
 
B,Cは、端点が回転軸に位置し、棒の向きが回転軸に対して垂直ですから、その慣性モーメントI'は
 I'=(1/3)m・L^2  ※
 
A,B,Cまとめた全体では
 I全=mL^2+2・{(1/3)m・L^2}
 =(5/3)・m・L^2
 
ところで、3つのパーツの質量合計がMですから、
 m=(1/3)・M 
なので
 I全=(5/3)・m・L^2
 =(5/3)・(M/3)・L^2
 =(5/9)・M・L^2
 
 
ちなみに、y軸の回りのモーメントも、同様に求められます。
この場合は、Aの場合は、回転軸が、Aの中心を通って棒に垂直ですから
 I=(1/12)・mL^2 ※
B,Cは回転軸から(L/2)離れた地点に有る質点と見なせて
 I'=m・(L/2)^2
∴I全=(1/12)・mL^2+2・{(1/4)・m・L^2}
 =(7/36)・M・L^2
 
※どちらも、よく知られている慣性モーメントの「公式」みたいなものなので、その算出過程(積分計算します)は省略しました。これを知りたい場合は、サイトを探せばいくらでも見つかります。

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 I=m・L^2
 
B,Cは、端点が回転軸に位置し、棒の向きが回転軸に対して垂直ですから、その慣性モーメントI'は
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Q水平対向の低重心がエクシーガ・フォレスターに?

基本、車高の高く正面から見た断面2次モーメントの重心位置が高いくるまエクシーガやフォレスターに水平対向エンジンで重量を下部にしたところで、重心位置は相殺されるので、乗り心地は普通のミニバンやステーションワゴンと同じじゃないでしょうか?インプレッサやレガシイのような、セダンと車高が同じような(断面2次モーメントの重心位置が低い)クルマに水平対向の低い重心のエンジンは意味があると思うのですが、間違いでしょうか?

Aベストアンサー

 ごもっとも。

 車両は、低重心であればあるほどよいことだらけで、低いに越したことはありません。これは車両運動力学という物理学の範疇の話なので、否定も回避も出来ません。(『重心が高い方がよいこともある』などということは全くありません。ロールセンタ高という数値を適正に設定すると、重心が高くてもカーブでの傾きは減少させられますが、それでは左右荷重移動量が増え、タイヤの摩擦力の総和が減少し旋回性能が低下します。またロールセンタ高を上げるとジャッキングアップフォースという力が大きくなり旋回時に横転し易くなります。高い重心高のクルマは、ナニをやっても低い重心高と同様の安定性は得られません。ホイールへの対地キャンバの付与は、この『左右荷重移動量』『ジャッキングアップフォース』の問題とは全く別の話で、対策にはなりません。)

 で、回答です。

>インプレッサやレガシイのような、セダンと車高が同じような(断面2次モーメントの重心位置が低い)クルマに水平対向の低い重心のエンジンは意味があると思うのですが、間違いでしょうか?

 重心の低下は、エクシーガやフォレスター、インプレッサやレガシイ、どちらにも等しく意味がある、ということです。
 全体の重心点が高いクルマでも、高いクルマなりに『重心点を下げる』設計上の努力は、走行安定性の向上に効果的です。

・・・・といいつつ最後に、御質問を根底から覆す様な話です。
 これは、『スバル教』信者にとっては、信じたくない・聞きたくない事かもしれませんが。
 そもそも水平対向エンジンだけで、そんなに劇的に重心点が下がると思いますか?

 エンジンブロックを除くとエンジンで最も重い単体部品はクランクシャフトで、クランクシャフト先端に取り付けられているクランクプーリの位置は、車載状態のエンジン重心点を想像する上で重要な手がかりになります。

 で、スバル車のエンジンルームをよくのぞいてみてください。『ネクタイが巻き込まれるほど』クランクプーリが高い位置にありますね。(フツーの直列エンジンやV型エンジンでは、クランクプーリはエンジンルームの底の方に沈んでおり、ネクタイが届きそうもありません。)

 つまりナニを言いたいか?というと。
 水平対向エンジン本体は、確かに直列やV型より低重心です。それは間違いありませんが、しかしスバル各車は、それほど低い位置にエンジン本体を搭載していない、ということです。
 理由はいろいろ考えられますが、実車を観察する限り、巨大なオイルパン、それと複雑な取り回しの排気管のレイアウトなどが障害になりそれほど低い位置にエンジンが置けなかった、というのが真相の様な気がします。(同じ水平対向でもドライサンプでオイルパンを持たないポルシェは、クランクケースを路面に打ち付けそうなほど低い位置にエンジンを搭載しており、排気管は左右フェンダ内に逃げ込む様に、横方向にレイアウトされています。)

 さらに、実車の計測値の話をしましょう。
 車両マルマル1台の重心位置を測定する巨大な装置がありまして、これにスバル各車をかけてみると、確かに重心高は低めに出ますが、他社と比べて圧倒的に低いというほどでもありません。(だいたい10%未満の重心高の差しかありません。極論すると、この程度の重心高の差なら、サスペンション側の工夫でどうにでもなる、というレベルです。)

 最初に申し上げた様に、純粋な力学的側面では低重心化が悪いことは全くありませんし、理論的に数値を追及する姿勢はいかにも元ヒコーキ屋でインテリな感じがしてカッコよいですが、排気系の取り回しやプロペラシャフトの直線化、プラグ交換などの整備性に対する劣悪な環境、などなど設計や組立で余計な苦労を強いられてまで水平対向を採用したところで、ロードカーとしてどれほど明確なアドバンテージが得られているのか、ちょっと疑問です。
 水平対向のメリットは十分理解出来ますが、スバルはその前に『まずヘッド周りからのオイル漏れを何とかしてから出直せ』ってところでしょうか?(古いインプレッサでよく発生するヘッド周りのオイル滲みは、水平対向レイアウトが主な原因と言えます。)

 ごもっとも。

 車両は、低重心であればあるほどよいことだらけで、低いに越したことはありません。これは車両運動力学という物理学の範疇の話なので、否定も回避も出来ません。(『重心が高い方がよいこともある』などということは全くありません。ロールセンタ高という数値を適正に設定すると、重心が高くてもカーブでの傾きは減少させられますが、それでは左右荷重移動量が増え、タイヤの摩擦力の総和が減少し旋回性能が低下します。またロールセンタ高を上げるとジャッキングアップフォースという力が大き...続きを読む

Q重心の慣性モーメント

質量がM、長さが2aの棒の慣性モーメントは重心がどこにあっても1/3Ma^2ですか?違ければこの場合の慣性モーメントの求め方を教えてください。

Aベストアンサー

重心が異なれば、慣性モーメントの値は違ってきます。
ですが、もしかしたら回転軸の間違いではないでしょうか?
1/3Ma^2という値は、棒の中心を回転軸にとったときの
慣性モーメントの値です。これが、棒の端を回転軸にとるなら値は違ってきます。
慣性モーメントIは,棒の場合、密度ρ(r)として
I=∫ρ(r)r^2drで与えられます。密度が一様ならば、
仮に棒の中心を軸に取ったとして
I=∫ρr^2dr[r=-a~a]=(ρ/3){a^3-(-a^3)}
=2/3ρa^3=(2aρ)/3・a^2=1/3Ma^2です。

棒の端を回転軸にとるなら
I=∫ρr^2dr[r=0~2a]です。

"重心がどこにあっても"というのは、密度が一様でない
ことに相当しますけど、そのときはρ(r)が与えられる
はずです。そしたらI=∫ρr^2drで計算できます。
このrは、回転軸からどれだけ離れているか、をあらわすものです。回転軸から距離rのところの
微小質量ρ(r)drに、r^2をかけて、それをすべての領域
で加え合わせたものというイメージです。

重心が異なれば、慣性モーメントの値は違ってきます。
ですが、もしかしたら回転軸の間違いではないでしょうか?
1/3Ma^2という値は、棒の中心を回転軸にとったときの
慣性モーメントの値です。これが、棒の端を回転軸にとるなら値は違ってきます。
慣性モーメントIは,棒の場合、密度ρ(r)として
I=∫ρ(r)r^2drで与えられます。密度が一様ならば、
仮に棒の中心を軸に取ったとして
I=∫ρr^2dr[r=-a~a]=(ρ/3){a^3-(-a^3)}
=2/3ρa^3=(2aρ)/3・a^2=1/3Ma^2です。

棒の端を回転軸にとるなら
I=∫ρr^2dr[r=0~...続きを読む

Q四面体の重心

三角形の重心は2等分線を2:1に分けるとは習いました。けれど四面体の重心はどう分けるのでしょう?
つまり四面体のひとつの頂点から重心に直線を引くと
その延長線は底面の三角形の重心につながりますが
その直線は重心によってどう内分されているのでしょうか?習ったようですが忘れてしまいました。
どなたかわかりやすい解説、web等教えてください。

Aベストアンサー

四面体ABCDにおいて
直線CDに垂直な平面pに四面体ABCDを射影し
Aのpへの射影をA’とし
Bのpへの射影をB’とし
C(D)のpへの射影をC’と
四面体ABCDの重心のpへの射影をGとし
△ACDの重心のpへの射影をEとし
△BCDの重心のpへの射影をFとする

するとEは線分A’C’上にありFは線分B’C’上にあり
Gは直線A’Fと直線C’Eの交点であり
三角形の重心の性質からA’E:EC’=B’F:FC’=2:1である
従ってA’C’:EC’=B’C’:FC’=3:1である
従って△C’A’B’∽△C’EFでありその相似比は3:1である
従ってEF〃A’B’である
従って△GEF∽△GB’A’でありその相似比はEF:B’A’=1:3である
従ってA’G:GF=B’G:GE=3:1(求めるもの)である

Q重心と慣性モーメントの矛盾を判定

重心と慣性モーメントを(x,y,z),(Ixx,Iyy,Izz,Ixy,Iyz,Izx)と与えたときに、重心とカンセイモーメントが矛盾していないかを判別する式があるのですが、それを教えてくれませんか。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

重心を基点とするそれぞれのモーメントを合算して0になれば無矛盾

Q座るときの体の重心位置の求め方

座るときの体の重心位置の求め方

170cmの人が椅子(50cm又は60cmの高さ)に座るまでの、体の重心位置の流れを知りたいのですが、どのように求めればよいのでしょうか?

人それぞれの体型や体のゆがみがあると思いますが、平均体型での重心位置でよいです。

どなたか教えて頂きたいです。

Aベストアンサー

おおざっぱでいいなら、別の方法として、こんなのはどうでしょう?

上腕、下腕、脛、腿、胴体、頭の10個のパーツに分けて考えて、それぞれの重さと重心をあらかじめ計っておけば、どの体制になっても、10個パーツの重心の平均をとれば全体の重心が求まります。

それぞれのパーツの重心をどうやって計るのかはわかりませんけど・・・

Q2物体の慣性モーメント

力学の授業で出された慣性モーメントの問題がさっぱりわかりません。

質量M、長さLの剛体棒の先に質量Mの質点を取り付け、
質点を取り付けていないほうの剛体棒の先端を回転軸とした場合の慣性モーメントはどうなるのでしょうか?
下記に自分なりの解答を考えましたが、全く自身ありませんのでご教授よろしくお願いいたします。


剛体棒の慣性モーメント=ML^2/3
なのですが、質点は半径が無いため2MR^2/5が使えません。

そこで、別の方法を試みました。
この合体した剛体の重心は回転軸から計って3L/4だと思うのですが(この重心の計算も自身ありませんので間違っていたらご指摘ください)、
ここを原点として∫ρx^2 dx  (ρ=2M/L:合体剛体の密度、積分区間:[-3L/4,L/4]
を計算して、平行軸の定理から、これに2M(3L/4)^2を足せばいいでしょうか?

説明がわかりにくくて申し訳ありませんが、よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

こんばんは。

棒の慣性モーメントと質点の慣性モーメントを足すだけです。

慣性モーメントは、
I=Σ[k=1→n]m・rk^2
これを素直に適用するだけです。


【棒】
棒の線密度は、M/L なので、
棒の微小長さdrの質量はM/L・dr

棒の慣性モーメントは、M/L・dr を 0からLまで足し算(積分)すればよいので、
∫[r=0→L]M/L・r^2・dr = M/L・L^3/3 = ML^2/3
(ご質問文にあるとおり)


【質点】
質点の慣性モーメントは、
ML^2


【合計】
両者を足して
ML^2/3 + ML^2 = 4/3・ML^2 (できあがり)


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