「-2≦a<3, 1≦b<4のとき a-bはどんな範囲を表すか?」

という問いで

答えが -6<a-b<2となっていました。

どのように計算すればこのような答えが得られるのでしょうか?
不等式のイコールを入れる入れないの判断もよく分からないので、そこも含めて回答頂けたら嬉しいです。

A 回答 (5件)

等号の問題を含め、一番分かりやすいのは、座標だろう。



-2≦a<3と 1≦b<4 をab平面上に図示する。
aを通常のx軸にとり、bを通常のy軸に取ると、4点A(-2、4)、B(-2、1)、C(3、1)、D(3、4)で作る長方形の周上と内部。但し、辺ADとCDの両辺上(端点A、Cも)を除く。
a-b=kとすると、直線:b=a-kにおけるb切片=-kの値の範囲を定めると良い。
この直線は傾きが1であるから、傾きを保ちながら、直線を上下に動かすと、上限は点Aを通る時、下限はCを通る時、従って、-6<a-b<2。
上限・下限であって、最大値と最小値とは違う。

座標を書くと、点AとCが除外されているから、答に等号が入らない事は理解できるだろう。
他にも、解法はあるが。。。。。。
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座標が分らなければ、aにしても、bにしても、1次関数である事に着目しょう。



a-bはaについて考えると、傾きが正の1次関数で、-2≦a<3であるから、-2-b≦a-b<3-b ‥‥(1)
そこで、今度は、3-bの上限と、-2-bの下限の範囲を考えよう。
先ず、3-bは傾きが負の1次関数から、1≦b<4より、3-b≦2. ‥‥(2)
同様にして、-2-bも傾きが負の1次関数から、-2-b>-2-4=-6 ‥‥(3)
以上から、-6<-2-b≦a-b<3-b≦2. → -6<a-b<2。
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この回答へのお礼

今見ました!! 親切に解説いていただきありがとうございます。
前の解説で完璧に理解できました! 自分もab平面で考えていたのですが、a-b=k とおくという発想がありませんでした。 それを見たら一瞬で答えがでたのでめでたしです。 力不足で申し訳ありませんでした。

お礼日時:2009/05/25 20:07

基本的には#1、2さんと同じですが、ちょっと違う考え方として



1≦b<4
→-4<-b≦-1

ですから
a-b=a+(-b)と考えれば
a-bが最大…aと-bが最大
a-bが最小…aと-bが最小

と考えれば分かりやすくなるかと
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結論から示せば



-2-4<a-b<3-1

です。
a-bの最小値は、一番小さいaの値から一番大きなbを引いた値となります。このとき b<4でなくb≦4ならば等号が入ります。
a-bの最大値は、一番大きなaの値から一番小さなbを引いた値になります。a<3でなく、a≦3なら等号が入ります。

つまり、
 aの最小値-bの最大値<a-b<aの最大値-bの最小値
です。
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この手の問題は、極端な場合を考えれば答えが出ます。



a-bが最大になるのは、最大のaから最小のbを引いた時。
 aは最大でも3に満たない。bは最小で1。
 ∴a-b<3-1

同様に、a-bが最小になるのは、最小のaから最大のbを引いた時。
 aは最小で-2。bは最大でも4に満たない。
 ∴a-b>-2-4
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