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ちょっと表現の仕方がわからなかったのですが、下の積分の解き方に苦労しています。さらに、その積分したものを微分しないといけないのですが...

∫e^x.(f(t-x))^3 dx (積分区間は0からt)です。

部分積分で解いてみようと試みたのですが、なにせ不定関数も混ざっているので、ちょっとやりづらいんです…
どなたか上の積分の解き方を教えてはもらえないでしょうか。さらにその積分で出た解も微分したいのですが、それも踏まえてよろしくお願いします。

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eの積分」に関するQ&A: eの積分

A 回答 (8件)

#1です。


A#1は勘違いしていたようです。
間違いですのでA#1は削除してください。

#6さんの通りf(t-x)=f(y)とするy=t-xの置換をするやり方が正解ですね。
つまり、
g(t)=∫[0,t]exp(x)*(f(t-x))^3dxとおくと
g(t)=exp(t)∫[0,t]exp(-y)*(f(y))^3dy…(Ans.1)
となるので
g'(t)=g(t)+(f(t))^3
  =(f(t))^3+exp(t)∫[0,t]exp(-y)*(f(y))^3dy …(Ans.2)
ということですね。なお、最後の式の積分は
定積分なので積分変数のyは他の文字に置き換えても問題ないですね。

【正誤の確認法】f(x)に適当な具体的関数(たとえばf(x)=sin(x)など)に置き換えて実際に
g(t)やg'(t)を求めて見るとA#1の結果は正しくないことが確認できます。
お騒がせしました。
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#3です。


大きく勘違いしてました。
#6の人のようにしてください。
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∫[0~t]e^x・(f(t-x))^3 dx


t-x=y とおくと dx=-dy  x=0のときy=t , x=tのときy=0
与式=g(t)とおけば
g(t)=e^t・∫[0~t]e^(-y)・(f(y))^3 dy
依って
d/dt{g(t)}=e^t・∫[0~t]e^(-y)・(f(y))^3 dy + e^t・e^(-t)・{f(t)}^3
=g(t) + {f(t)}^3
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#4のものです。


#3についても教えてください。
d/dt∫[0,t]f(x)dx=f(t)
としていますが、f(x)の式の中にtが含まれる場合、この式は成り立たないと思いますがどうでしょうか。
f(x)の不定積分F(x)に0を代入したものがtを含んでいるためtで微分してもゼロにならないような気がするのですが。
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ちょっと混乱しているので質問させてください。


#1の回答で
>g(t)=(e^t)(f(0))^3+C
>g(0)=(f(0))^3+C
これって本当に成り立ちますか?g(x)はxの関数ではありますが、tも含んでいるために成り立たないような気がします。
第一、g(x)=(e^x)(f(0))^3+Cであるなら、g'(x)=(e^x)(f(t-x))^3は成り立たないような気がするのですが。
#2の変形をするのが正しいと思うのですが。
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一般に∫[0,t]f(x)dxはtの関数でそれをtで微分した


(d/dt)∫[0,t]f(x)dx

(d/dt)∫[0,t]f(x)dx=f(t)
となることは知っていると思う。だから
(d/dt)∫[0,t]e^x.(f(t-x))^3 dx=e^t.(f(t-t))^3=e^t.(f(0))^3
ということは
もとの不定積分∫e^x.(f(t-x))^3dxはxの関数で、xで微分したらe^x.(f(0))^3になるものだから、e^x.(f(0))^3+Cのはず。
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∫e^x (f(t-x))^3 dx = ∫e^(t-x)(f(x))^3 dx


= e^t ∫e^-(x) [f(x)]^3 dx
だけど, f(x) が分からないとこれ以上は進まないような気がする.
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g(x)=∫(e^x)(f(t-x))^3 dx…(△)とおくと


g'(x)=(e^x)(f(t-x))^3
g'(t)=(e^t)(f(0))^3…(●)
g(t)=(e^t)(f(0))^3+C
g(0)=(f(0))^3+C

∫[0,t](e^x)(f(t-x))^3 dx=g(t)-g(0)
={(e^t)-1}(f(0))^3…(Ans.(1))
(△)から
{∫[0,t](e^x)(f(t-x))^3 dx}'={g(t)-g(0)}'
=g'(t)=(e^t)(f(0))^3  …(Ans.(2))
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例えば、こんな感じで

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Aベストアンサー

こんばんわ。

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それも「インテグラル無しで面積を求められるやつ」とは・・・?

もしかして、次のような式のことですか?
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いずれにしても、
>積分公式よりS=~
といった表現では通用しません。
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この問題の解き方を教えてください><

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お願いします!

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Aベストアンサー

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   = -2/( x+ 2 ) + ( 2*x + 2 )/( x^2 - 2*x + 4 )
この第一項は容易に積分できます。第二項を「( x^2 - 2*x + 4 )の微分/( x^2 - 2*x + 4 ) + 残り」の形に分解すると
   = -2/( x+ 2 ) + ( 2*x - 2 )/( x^2 - 2*x + 4 ) + 6/( x^2 - 2*x + 4 )
この第一項と第二項は容易に積分できます。

第三項は
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これを 部分分数に分解すると
   = -2/( x+ 2 ) + ( 2*x + 2 )/( x^2 - 2*x + 4 )
この第一項は容易に積分できます。第二項を「( x^2 - 2*x + 4 )の微分/( x^2 - 2*x + 4 ) + 残り」の形に分解すると
   = -2/( x+ 2 ) + ( 2*x - 2 )/( x^2 - 2*x + 4 ) + 6/( x^2 - 2*x + 4 )
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Q指数関数の積分なのですが、、、

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Q「微分」と「導関数」  「不定積分」と「原始関数」

高校で授業をしていてふと疑問に思ったことです。

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f(x)に対してf'(x)のことを「fの微分」とも呼びませんでしたっけ?

同じように積分に関してなんですが、
教科書では「F'(x)=f(x)であるF(x)をf(x)の不定積分または原始関数という」となっているんですが、
この「不定積分」と「原始関数」ってもともと別に定義していたように思うのです。

どうも、用語の使い分けが混乱しているので、
 「微分」と「導関数」
 「不定積分」と「原始関数」
この正式な使い分けについて、教えてほしいのです。
もっとも、高校ではあまり厳密にうだうだ言ってもかえって混乱するので、ある程度で流すわけですが。。。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

> f(x)に対してf'(x)のことを「fの微分」とも呼びませんでしたっけ?

そうはいいません「fを微分したもの」という言い方はします.
微分とは dy や dx を意味します(微小変化分ということだと思います).
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=236331
で議論がありました.

不定積分と原始関数はもう少し使い分けが微妙のようです.
実は私も授業であんまり区別していません.
例えば,
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8E%9F%E5%A7%8B%E9%96%A2%E6%95%B0
に説明があります.

Qexp(ikx)の積分

exp(ikx)のマイナス無限大から無限大までの
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iは虚数でkは定数です。

Aベストアンサー

それはδ関数になります。普通に積分しても答は出ません。

たとえば、

∫[-a→a] exp(ikx) dx = 2a [sin ka]/[ka] = 2a sinc(ka)

2a sinc(ka)は-∞から+無限大までkで積分すると
aによらず面積が2πになる関数で、a→+∞の極限をとったものを
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∫[-∞→∞] exp(ikx) dx = 2πδ(x)

Q不定積分の漸化式表現

(1)Jn=∫x(logx)^n dxとするときJnをJ(n-1)を用いて表す。
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Aベストアンサー

(1)
J(n)
=∫x(log x)^n dx
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=((x^2)(log x)^n)/2 - ∫((x^2)/2)n((log x)^(n-1))(1/x) dx
=((x^2)(log x)^n)/2 - (n/2)J(n-1)

(2)
I(n)
=∫(cos x)^n dx
=∫((cos x)^(n-1))(cos x) dx
=∫((cos x)^(n-1))(sin x)' dx
=((cos x)^(n-1))(sin x)+(n-1)∫((cos x)^(n-2))(sin x)^2 dx
=((cos x)^(n-1))(sin x)+(n-1)∫((cos x)^(n-2))(1-(cos x)^2) dx
=((cos x)^(n-1))(sin x)+(n-1)I(n-2)-(n-1)I(n)
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nI(n)=((cos x)^(n-1))(sin x)+(n-1)I(n-2)

Q一次関数の問題です。詳しい方、式と答え、考え方まで教えていただけるとう

一次関数の問題です。詳しい方、式と答え、考え方まで教えていただけるとうれしいです。

x=-2のときy=4、x=3のときy=-11となる一次関数を求めなさい。

Aベストアンサー

まずは、一次関数がy=ax+bで表されることは理解していますでしょうか?
だとれば、
x=-2,y=4を代入して、
4=-2a+b・・・・・ア
x=3,y=-11を代入して
-11=3a+b・・・・イ
アの両辺を3倍して
12=-6a+3b・・・・・ウ
イの両辺を2倍して
-22=6a+2b・・・・・エ
ウとエの両辺を足して
-10=5b
従って、b=-2
これをアに代入すると
4=-2a-2
従って、a=-3
よって求める一次関数は
y=-3x-2
以上

別の考え方、
(x1,y1)と(x2,y2)を通る一次関数の傾きであるaを求めるには
a=(y1-y2)/(x1-x2)
となるので、
a=(4+11)/(-2-3)=-3
傾きaが-3なので、
4=(-3)(-2)+bより
b=-2
よって、求める一次関数は
y=-3x-2

以上
考え方としては単純な二元一次方程式として解く方法と一次関数の原則に照らして傾きaを求めてからY軸との交点bを求めるのがもう一つ

Q次の不定積分の解き方

∫(a/(a^2+L^2)^3/2)da

は分母にも分子にも変数aがのっかっていてそしてかっこでくくられている場合どういう手順で解いていくのでしょうか。

Aベストアンサー

ヒント)
d{(a^2+L^2)^(-1/2)}/da=-a/(a^2+L^2)^(3/2)
積分は微分の逆だから
∫(a/(a^2+L^2)^3/2)da=-(a^2+L^2)^(-1/2)+C
式を整理すると…。
= …


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