ちょっと表現の仕方がわからなかったのですが、下の積分の解き方に苦労しています。さらに、その積分したものを微分しないといけないのですが...

∫e^x.(f(t-x))^3 dx (積分区間は0からt)です。

部分積分で解いてみようと試みたのですが、なにせ不定関数も混ざっているので、ちょっとやりづらいんです…
どなたか上の積分の解き方を教えてはもらえないでしょうか。さらにその積分で出た解も微分したいのですが、それも踏まえてよろしくお願いします。

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eの積分」に関するQ&A: eの積分

A 回答 (8件)

#1です。


A#1は勘違いしていたようです。
間違いですのでA#1は削除してください。

#6さんの通りf(t-x)=f(y)とするy=t-xの置換をするやり方が正解ですね。
つまり、
g(t)=∫[0,t]exp(x)*(f(t-x))^3dxとおくと
g(t)=exp(t)∫[0,t]exp(-y)*(f(y))^3dy…(Ans.1)
となるので
g'(t)=g(t)+(f(t))^3
  =(f(t))^3+exp(t)∫[0,t]exp(-y)*(f(y))^3dy …(Ans.2)
ということですね。なお、最後の式の積分は
定積分なので積分変数のyは他の文字に置き換えても問題ないですね。

【正誤の確認法】f(x)に適当な具体的関数(たとえばf(x)=sin(x)など)に置き換えて実際に
g(t)やg'(t)を求めて見るとA#1の結果は正しくないことが確認できます。
お騒がせしました。
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#3です。


大きく勘違いしてました。
#6の人のようにしてください。
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∫[0~t]e^x・(f(t-x))^3 dx


t-x=y とおくと dx=-dy  x=0のときy=t , x=tのときy=0
与式=g(t)とおけば
g(t)=e^t・∫[0~t]e^(-y)・(f(y))^3 dy
依って
d/dt{g(t)}=e^t・∫[0~t]e^(-y)・(f(y))^3 dy + e^t・e^(-t)・{f(t)}^3
=g(t) + {f(t)}^3
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#4のものです。


#3についても教えてください。
d/dt∫[0,t]f(x)dx=f(t)
としていますが、f(x)の式の中にtが含まれる場合、この式は成り立たないと思いますがどうでしょうか。
f(x)の不定積分F(x)に0を代入したものがtを含んでいるためtで微分してもゼロにならないような気がするのですが。
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ちょっと混乱しているので質問させてください。


#1の回答で
>g(t)=(e^t)(f(0))^3+C
>g(0)=(f(0))^3+C
これって本当に成り立ちますか?g(x)はxの関数ではありますが、tも含んでいるために成り立たないような気がします。
第一、g(x)=(e^x)(f(0))^3+Cであるなら、g'(x)=(e^x)(f(t-x))^3は成り立たないような気がするのですが。
#2の変形をするのが正しいと思うのですが。
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一般に∫[0,t]f(x)dxはtの関数でそれをtで微分した


(d/dt)∫[0,t]f(x)dx

(d/dt)∫[0,t]f(x)dx=f(t)
となることは知っていると思う。だから
(d/dt)∫[0,t]e^x.(f(t-x))^3 dx=e^t.(f(t-t))^3=e^t.(f(0))^3
ということは
もとの不定積分∫e^x.(f(t-x))^3dxはxの関数で、xで微分したらe^x.(f(0))^3になるものだから、e^x.(f(0))^3+Cのはず。
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∫e^x (f(t-x))^3 dx = ∫e^(t-x)(f(x))^3 dx


= e^t ∫e^-(x) [f(x)]^3 dx
だけど, f(x) が分からないとこれ以上は進まないような気がする.
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g(x)=∫(e^x)(f(t-x))^3 dx…(△)とおくと


g'(x)=(e^x)(f(t-x))^3
g'(t)=(e^t)(f(0))^3…(●)
g(t)=(e^t)(f(0))^3+C
g(0)=(f(0))^3+C

∫[0,t](e^x)(f(t-x))^3 dx=g(t)-g(0)
={(e^t)-1}(f(0))^3…(Ans.(1))
(△)から
{∫[0,t](e^x)(f(t-x))^3 dx}'={g(t)-g(0)}'
=g'(t)=(e^t)(f(0))^3  …(Ans.(2))
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eの積分」に関するQ&A: e^-2xの積分

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数IIIの積分法なんですが置換積分と部分積分法の公式のどっちを使って問題とくかわかりません。問題のどの部分を見てどちらの公式を使うか教えて下さい。

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まず置換積分できるか調べましょう.このためには被積分関数を二つの関数の積と考え,一方の関数が他方の関数の原始関数の関数になっていれば置換積分が使えます.すなわち,被積分関数を f(x)g(x) と表したとき,G'(x)=g(x) である G(x) を用いて f(x)=h(G(x)) となる関数 h(u) が見つかれば
∫f(x)g(x)dx = ∫h(G(x))G'(x)dx = ∫h(u)du
です.例えば
(log 2x)/(x log x^2) = h(log x){log x}'
h(u) = (u + log 2) / 2 u = 1/2 + (log 2)/2u
だから
∫(log 2x)/(x log x^2)dx = (1/2){log x + (log 2)log(log x)} + C
となります.
置換積分がダメそうなら部分積分できるか調べましょう.概してこちらの方が調べるのが面倒です(とくに漸化式を使う場合).

Q対数微分法でx^x^2を解いてほしいです。

対数微分法でx^x^2を解いてほしいです。
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x^x^2はx^(x^2)のこととします。((x^x)^2のことだとすると、もう少しだけ簡単になる。)

y=x^x^2

とおいて、(式の形からx>0としてよくて・・・)
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x^2がlogの外へ出て  logy=x^2logx
xで微分して     y'/y=2x(logx)+x^2/x
               =2x(logx)+x
            ∴y'=y{2x(logx)+x}
               =x^x^2{2x(logx)+x}
{}内はxでまとめた方がいいかもしれない。

Q積分公式の記述での使い方

記述式の問題で積分公式(インテグラル無しで面積を求められるやつです)を使っても減点はないでしょうか。


例えば、こんな感じで

積分公式よりS=~



積分公式は教科書に載っていないので、こういう使い方が受験に通じるのか不安です。回答お願いします。

Aベストアンサー

こんばんわ。

確かに「積分公式」ってなんのことでしょうか?
それも「インテグラル無しで面積を求められるやつ」とは・・・?

もしかして、次のような式のことですか?
∫[α→β] (x-α)(x-β) dx= -1/6* (β-α)^3

いずれにしても、
>積分公式よりS=~
といった表現では通用しません。
すでに、ここの質問でも通用していないくらいですから。

単に積分の計算であれば、とくに明記せずに用いてもいいと思います。
この式自体を示せと言われれば、きちんと計算しないといけません。

QX^2+Y^2=r^2 の両辺をXで微分すると、X+YY’=0 

X^2+Y^2=r^2 の両辺をXで微分すると、X+YY’=0 
なぜこうなりますか?
2X+2Y=0
ではないでしょうか?
これを解いた過程を教えてください。

Aベストアンサー

dy
―=
dx

dy dt
―・―
dt dx
の公式使います

dy^2
―  =
dx

dy^2 dy
―  ―  =
dy  dx

 dy
2y―
 dx

dy/dxっていうのはy'と書くこともできますから

2x+2yy'=0⇔x+yy'=0になります

Q分点座標が±0.5のGauss-Legendre積分公式を知りませんか。

高精度化が必要な数値計算をやっています。
特に、数値積分の高精度化が必要なため、Gauss-Legendre積分公式の使用を考えています。
ただし、解く方程式が積分方程式であるなどの理由からそのままでは使用できません。
使用するためには、Gauss-Legendre積分公式の分点座標が区間の中心である必要があります。
例えば、分点数が2の場合、通常は座標x=±0.57735...重みw=1ですが、これを座標x=±0.5とできるような積分公式はないでしょうか?

Aベストアンサー

ううむ。これだけじゃ回答しようがないと思うなあ。

 ガウス・ルジャンドルの数値積分というのは、f(x)を-1~1の区間で積分するときに、n次ルジャンドル関数の零点にあたるxでf(x)をサンプリングして重み付きの和を取るんでした。無論、積分区間内に特異点があったりしたら使えません。一般に積分範囲が x=a~b である場合には
x=((b-a)t+a+b)/2
と変数変換すれば、t=-1~1のtに関する積分になる。そしてdx/dt = (b-a)/2という因子を掛け算しておけば良いですね。n次のガウス・ルジャンドル法は、高々n次の多項式で近似できるf(x)を扱う場合に旨く行きます。

 さて、ご質問は、おそらく積分範囲 x=-1~1に対してガウス・ルジャンドルの数値積分を使いたいけれど、次数を2にして、分点、すなわちサンプリングする点を±0.5だけにしたい、という注文です。たぶん、±0.5における被積分関数f(x)の値なら簡単に求められる、というのでしょう。
 もちろん、適当な一次式ではない関数g(たとえば3次関数)を用いて
x=g(t)
という変数変換でx=±0.5をt=±0.57.... に移し同時にx=±1をt=±1に移す、ということ自体は簡単です。するとf(g(t))と
dx/dt = g'(t)
の積を被積分関数としてt=-1~1について積分することになります。この場合、被積分関数 f(g(t)) g'(t) がtの2次多項式で近似できるんでないと、2次のガウス・ルジャンドル法を使って精度が出るという保証はありません。
 高精度の数値積分をやりたいと仰っている割に、f(x)が高々低次の多項式で近似してしまえるんだったら、何もガウス・ルジャンドル法に拘る必要はないんで、例えばニュートン・コーツ型の数値積分、すなわち分点を等間隔に取る方法でも十分じゃないの?と思うんですが、どうなんでしょうね。

 或いは分点の数をもっと増やして良い、というのだったら、代わりに例えば-1~-0.5, -0.5~0.5, 0.5~1の3つの区間に分けてそれぞれ積分するのでも良い。被積分関数の傾きが急な部分でサンプリングを細かくしてやるというのも精度が出ますし、その代わりに適当な変数変換をして等間隔サンプリングしたり、ガウス・ルジャンドル法を使ったり…いろんな処方が考えられます。

 ですから、「±0.5」と限定なさる理由をもう少し明確に補足して戴くか、具体的に被積分関数をupして戴かないと、ろくな回答にならないと思います。

ううむ。これだけじゃ回答しようがないと思うなあ。

 ガウス・ルジャンドルの数値積分というのは、f(x)を-1~1の区間で積分するときに、n次ルジャンドル関数の零点にあたるxでf(x)をサンプリングして重み付きの和を取るんでした。無論、積分区間内に特異点があったりしたら使えません。一般に積分範囲が x=a~b である場合には
x=((b-a)t+a+b)/2
と変数変換すれば、t=-1~1のtに関する積分になる。そしてdx/dt = (b-a)/2という因子を掛け算しておけば良いですね。n次のガウス・ルジャンドル法は、高々n次の...続きを読む

Q4次方程式 x^4+x^3+x^2+x+1=0 の解

x^4+x^3+x^2+x+1=0の解法を教えてください(できれば、省略なしで)。

Aベストアンサー

要するに1の5乗根を求める問題なのですが、このような相反方程式には典型的な解法があります。覚えておかれると有益でしょう。x=0は解でないことは明らかです。したがって方程式の両辺をx^2で割ってみて、
(※) x^2+x+1+1/x+1/x^2=0
となります。そこでy=x+1/xとおきます。ここがポイントです。そうするとy^2=x^2+1/x^2+2となるので、上の(※)式は
y^2+y-1=0
に書き直すことができます。これはただの二次方程式なので、これを解くと二つの実数解、α、βが出てきます。(これぐらいはご自身で計算してください)
そうするとy=x+1/xとおいたわけですから、y=αあるいはβというとことは、
x+1/x=αあるいはβ
ということです。両辺にxをかけてやると二つの二次方程式
x^2-αx+1=0とx^2-βx+1=0
が得られます。結局もとの方程式は上の二つの二次方程式の解を集めた4つの解(すべて虚数解)になるということが分かります。これもただの二次方程式なので簡単に解くことができるはずです。

...と思いましたが、chiropy様が回答くださったようですね。

ちなみに、実数解が存在しないことだけを言うなら次のようにすることもできます。x=1が解にならないことは明らかなので、x-1≠0ですから、両辺にx-1をかけてやります。そうすると
(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0
となって、展開すればx^5-1=0、つまりx^5=1という5次方程式を得ることになります。当然x=1が解になるわけですが、これ以外に実数解はありえません。5乗して1になる実数は1だけです!というわけで、もとの方程式は5乗して1になる数のうち、実数でないものを求めなさい、ということとおんなじ問題なのでした。

要するに1の5乗根を求める問題なのですが、このような相反方程式には典型的な解法があります。覚えておかれると有益でしょう。x=0は解でないことは明らかです。したがって方程式の両辺をx^2で割ってみて、
(※) x^2+x+1+1/x+1/x^2=0
となります。そこでy=x+1/xとおきます。ここがポイントです。そうするとy^2=x^2+1/x^2+2となるので、上の(※)式は
y^2+y-1=0
に書き直すことができます。これはただの二次方程式なので、これを解くと二つの実数解、α、βが出てきます。(これぐらいはご自身で計算してください)
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Q数学II「微分・積分」で面積を求める公式

6分の1の公式や3分の1の公式みたいに、積分を利用せずに面積を求められる公式って他にありませんか?

Aベストアンサー

(1)や(2)は高校数学のレベルで十分理解できると思います。
これらは,数値積分と呼ばれるもので,近似的に積分(求積)を実現しています。
参考になれば良いのですが。

(1)台形法
(2)シンプソン法
(3)ルンゲ・クッタ法

Q「(5x+3)^10でx^pとx^(p+1)の係数比が21:20になる時のpの値」と「x+y=1を満たす全x,yに対してax^2+2bxy+by^2

こんにちは。識者の皆様、宜しくお願い致します。

[問1] (5x+3)^10の展開式でx^pとx^(p+1)の係数比が21:20になる時のpの値を求めよ。
[問2]x+y=1を満たす全てのx,yに対して
ax^2+2bxy+by^2+cx+y+2=0が成立するように定数a,b,cの値を定めよ。

[1の解]
(5x+3)^10=10Σk=0[(10-k)Ck 5x^(10-k)3^k]なので
p=10-kの時(k=10-pの時)
p+1=10-kの時(k=9-pの時)より
a:b=pC(10-p) 5^p 3^(10-p):(1+p)C(9-p) 5^(1+p) 3^(9-p)
で 1/(10-p):(1+p)/(2p-8)/(2p-9)=7:4 から
23p^3-199p+218=0
となったのですがこれを解いてもp=6(予想される解)が出ません。
やり方が違うのでしょうか?

[2の解]
与式をx+yという対称式で表せばならないと思います(多分)。
どうすれば対称式で表せるのでしょうか?

Aベストアンサー

 (1)Cをばらして比を簡略化するところで計算間違いがありそうな気がします。その経過をもう少し詳しく書いてもらえませんか?
 (2)a,b,cを求めるにはまず、x+y=1 を満たすすべての(x,y)で成り立つのですから、x+y=1を満たす(x,y)をまず代入してみてはどうでしょうか。候補としては、(1,0)(0,1)(2,-1)など。
 それから計算されたa,b,c でx+y=1を満たすすべてのx,yで成り立つかどうかを確認するという手順でどうでしょうか?

Q積分の公式の導出について

積分の公式の導出について

∫{(ax+b)^n}dxの積分公式は、(((ax+b)^n+1)/a(n+1))
なのですが、どのようにすれば導出できるのでしょうか?

ご回答よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

ax+b=s とおくと ds/dx=a つまり dx=ds/a
従って 与式=∫s^n/a ds
あとは積分してsを元に戻すだけです。

Q[Q.] 12^x-{(1/2)^(2x+1)}(1/3)^(2x)=1を解け。

宜しくお願い致します。

下記の問題で答えが複雑になってしまいました。

[Q.] 12^x-{(1/2)^(2x+1)}(1/3)^(2x)=1を解け。
[A.} 与式を変形すると
12^x-1/2((1/2)^2)^x・1/3(1/3)^x=1
12^x-1/6(1/4)^x(1/3)^x=1
12^x-1/6(1/12)^x=1
12^x-1/6(12^x)^(-1)=1
ここで12^x=tとおくとt>0で与式は
t-1/(6t)=1
6t^2-1=6t
6t^2-6t-1=0
t=(3±√15)/6
t>0より
t=(3+√15)/6
∴ x=log[(3+√15)/6]12

となったのですがこれで正しいでしょうか?

Aベストアンサー

>12^x-{(1/2)^(2x+1)}(1/3)^(2x)=1を解け。
>12^x-1/6(1/4)^x(1/3)^x=1
この式は間違っていますね。
正しくは
12^x-(1/2)36^(-x)=1
です。#2さんの回答の式と同じですね。
>t^2-(1/2)(1/t^2)=1
#1さんの回答のこの式は間違いのようですね。

色々やってみましたが初等関数の範囲では理論解は導出出ませんね。(既知の超越関数でもだめです。)
ただし、
y=12^x-(1/2)36^(-x)-1
このグラフを描くと実根が一個だけ存在することが分ります。
数値解析で根の近似値(ニュートン=ラプソン法使用)を求めると
0.11507761403287255...
となります。


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