[問題]
Zは整数全体の集合とする。A={2x+3y|x属するZ,y属するZ}
とするとき,A=Zであることを証明せよ。
※「属する」の記号が文字化けして、表れないため文字で書きました。
  「xはZに属する、yはZに属する」です

この問題の解答を見たところ、二つに場合分けされて考えられていました。場合分けの二つ目に、x,yに適当な数値を代入して、=1を作り出す部分があったのですが、そこの部分がわかりません。詳しい解答、解説よろしくお願いします。

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A 回答 (6件)

>[解答]


> ......
[2] 2*(-1) + 3*1=1 であるから、すべての整数n は
 n = 2*(-n) + 3*n  (-n, n∈Z)
 と表され n∈A 。......

なるほど、セット A の生成条件 2*x +3*y (x, y∈Z)によって 1 を作れれば、その {x, y} を n倍してすべての整数(∈Z)を作れる、という筋書きですね。

蛇足になりますが、不定方程式 2*x +3*y = 1 をむりやり「互除法」で解いてみましょう。
 http://members.ld.infoseek.co.jp/aozora_m/suuron …
>一次不定方程式の一般解と解の構成
を参照。

 ・係数の大きなほうを小さいほうで割って、余りをだす。
   3 = 2*1 + 1
 ・もとの式へ入れてみる。
   2*x +3*y = 2*x + (2*1+1)*y= 2*(x+y) + y = 1
  つまり 2*x' + y = 1  (x'=x+y)
・あきらかに、xo' = 0, yo = 1 が解のひとつ。
  つまり xo = -1, yo = 1 が解のひとつ。
 ・さらに(k を任意の整数とする)、x = xo - 3*k, y = yo + 2*k も 2*x +3*y = 1 の解。(一般解)
 
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この回答へのお礼

何度も詳しい回答ありがとうございます。
おー。すごいやり方ですね。わかりました。

お礼日時:2009/05/26 14:07

>.... 適当にx,yに代入して全ての整数がZに属するということを示せばよい....



蛇足です。

言葉尻をとらえてすみませんが、「適当にx,yに代入」するのではありません。
2x+3y = 1 なら目算でわかりましたけど、一応は「不定方程式を解くのです。」
目算でわからなければ、たとえば「ユークリッドの互除法」を使います。

さらに余計なお世話ですが、1 が A に属することを示しただけでは、「2x+3yが全ての整数」になるといえないのでは?
しかし、この件はご質問の範囲外なのでしょうね。
 
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この回答へのお礼

何度も回答すいません。だいたいわかりました。一応、質問の仕方が悪かったせいか話がいろんな方へいってしまってるようなので、解答を載せたで見てください

[解答]
[1]「x属するZ」、「y属するZ」のとき2x+3yは整数であるからAの要素  はすべて整数である
  よって「A含まれるZ」
[2]2・(-1)+3・1=1であるから、すべての整数nは
 n=2・(-n)+3・n,-n属するZ,n属するZ
 と表され「n属するA」
 すなわち「n属するZ」ならば「n属するA」であるから
 「Z含まれるA」
[1],[2]より「A含まれるZ」かつ「Z含まれるA」が成り立つので
 A=Z

これの[2]の部分がわからなかったんです。

お礼日時:2009/05/26 11:24

これはx,yをともに整数とすると2x+3yの式から全ての整数を作り出すことができるということです。


2x_0+3y_0=0となる(x_0,y_0)の組が存在すれば、x=x_0+n(n=0,±1,±2,...),y=y_0とおくことで全ての偶数を作り出すことができます。
2x_1+3y_1=1となる(x_1,y_1)の組が存在すれば、x=x_1+n(n=0,±1,±2,...),y=y_1とおくことで全ての奇数を作り出すことができます。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
2x+3yが全ての整数であり、これがZに含まれるということを証明しているのですね

お礼日時:2009/05/25 22:11

>.... 1や-1をx,y代入するというところがまだわかりません。

....

勝手に筋書きを想定してますが、どこか違いますか?

・証明すべきこと。
 「1 : 属するZ」が A にも属すること。

・証明の方針。
 2x+3y = 1: を満たす {x, y : 属するZ} を示す。
 その一例が
  x = -1 : 属するZ
  y = 1 : 属するZ
 大げさに言えば、不定方程式を解くのです。

 この不定方程式、解の個数はきりがあません。たとえば、
  x = -4 : 属するZ
  y = 3 : 属するZ
 でも良かです。
 いずれにせよ「1 : 属するZ」が A にも属することが示されてます。
 こんなところで凝ってみても、無駄な努力です。
 

この回答への補足

すいません。日本語が間違ってました。
ようするに適当にx,yに代入してAにZが含まれるということを示せばよいのですね。するとAはZに含まれる、ZはAに含まれる。
よってA=Zです

補足日時:2009/05/25 22:06
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この回答へのお礼

再び回答していただきありがとうございました。
ようするに適当にx,yに代入して全ての整数がZに属するということを示せばよいのですね

お礼日時:2009/05/25 22:05

Zに属する全ての数は、x、yにある値を代入することで得られる、という意味ではないでしょうか?



場合分け、という部分は、AはZに含まれる、と、ZはAに含まれる、という2つのことを証明している、ということでしょうか?
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
場合分けはその通り、AはZに含まれる、と、ZはAに含まれる、という二つのことです

お礼日時:2009/05/25 22:03

>.... x,yに適当な数値を代入して、=1を作り出す部分があったのですが、そこの部分がわかりません。

....

単純に考えれば、
 x = -1 : 属するZ
 y = 1 : 属するZ
を代入すれば、
 2x+3y = 1: 属するA & Z
ですね。
 
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
1や-1をx,y代入するというところがまだわかりません。
もう少し詳しく解説お願いします。

お礼日時:2009/05/25 18:55

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