x,yは不等式x^2+y^2≦1,y≧2xを満たすとする。このときx+yの最大値と最小値を求めよ。という問題なんですが…

詳しい解説をお願いします。

A 回答 (5件)

x^2+y^2≦1‥‥(1)、y≧2x ‥‥(2) をxy平面上に図示する。


(1)の円の内部(周上を含む)、(2)の直線の上部(直線上を含む)となり、その交点はA(1/√5、2/√5)、B(-1/√5、-2/√5)である。
そこで、k=x+yとすると、これは、y=-x+kの直線。‥‥(3)
従って、問題はy切片であるkの最大値と最小値を求めると良い。
傾きが -1で固定されているから傾きを維持しながら上下すると。、最大値は点Aを通るとき。
最小値は、円(1)と直線(3)が接する時。その値は、点と直線との距離の公式を使うと、即ち 直線(3)と原点(0、0)との距離が円(1)の半径1に一致する時である。
この時、k=-√2であるから、最小値を与えるxとyの値は、x+y=-√2と円(1)を連立して解けば良い。← これ位は、自分でやって。
以上から、-√2≦k≦3/√5となる。
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この問題の場合、x+y=zとおいて、zの最大値、最小値を求めるのが定石です。



X + Y = Z
→ Y = Z - X
として

(1)
x^2+y^2≦1
→ x^2 + (z - x)^2 - 1≦ 0
→ 2x^2 -2zx + z^2 - 1≦ 0
→ 2(x - (1/2)z )^2 -1 + (1/2)z^2 ≦ 0
→ x = (1/2)z のとき、最小値 -1 + (1/2)z^2である、下に凸の放物線のグラフ

(2)
y≧2x
→ z -x ≧ 2x
→ z ≧ 3x
→ z = 3x の領域の上側(境界線を含む)

(1)、(2)のグラフを書いて、図から最小値、最大値を判断します。
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 まず、「不等式x^2+y^2≦1,y≧2x」で表される領域を図示してください。


 次に、x+y=k とおいて、上の図に、直線y=-x+kを表してください。
 この直線はk(y切片)の値によって上下に移動します。
 このとき、最初に図示した領域を通る範囲で、最大のkと最小のkの値を求めればOKです。
 (つまり、直線y=-x+kが最も上にあるときと、最も下にあるときのことです。)

 すると、直線が最も上にあるときは点(1/√5、2/√5)を通り、最も下にあるときは点(-1/√2、-1/√2)を通ることが分かると思います。
 ここから、それぞれのkの値が求められますが、それが最大値と最小値になります。
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まずは領域x^2+y^2≦1,y≧2xを図示できましたか。

次に直線k=x+yを、kの値を変えながら何本も書いてみます。
問題は領域を通る直線の中でkが最大になるものを探せということを要求しています。
意味がわかれば難しいものではありません。
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(1)領域を図示する。


(2)x+y=kとおく。
(3)(2)で表される直線と(1)の領域が共有点を持つkの範囲を調べる。

円に接するときには、判別式か、点と直線との距離を利用。
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