x>0に対して、F(x)=∫【1→x】dt/t とする。
F(xy)=F(x)+F(y)…(*)
を示せ。
といわれたら、(*)の右辺、左辺を計算して、
(左辺)=log(xy)=logx+logy=(右辺)となるから証明終わりという形でよろし
いでしょうか?

A 回答 (3件)

#2の方のおっしゃるように、log(x)の定義を、定積分を用いて


  log(x) = ∫[1→x]{1/t}dt
としたとき、定積分の性質を使って、
  log(x*y) = log(x) + log(y)
となることを証明しなさい、というのが出題者の意図のようですね。
今回は敢えて、logという名前は出さずにF(x)として証明させていますが、証明させたいことの本質は上記の式ですから、ここで対数関数の性質を既知のものとして使うわけにはいきません。

まぁ、今回の証明は簡単なもんで
  F(x*y) = ∫[1→x*y]{1/t}dt = ∫[1→x]{1/t}dt + ∫[x→x*y]{1/t}dt
と積分区間を分けてから
  ∫[x→x*y]{1/t}dt = ∫[1→y]{1/t}dt
を示せば終わりですよ。
積分区間が狙ったとおり収まるようにちょっと変数変換すればいいだけです。
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ついでにいうと log x の定義によるような気がします.


つまり, F(x) の右辺の積分で log x を定義した場合,
log (xy) = log x + log y
という関係式は自明ではなくなります.
もっと極端には
log (1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ... (|x| < 1)
を解析接続して定義することも可能で, その場合には上の関係式はおろか積分との関係すら自明ではありません.
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>・・・となるから証明終わりという形でよろしいでしょうか?



ダメです.少なくとも,F(xy)とlog(xy)の関係,F(x)とlog(x)の関係,
F(y)とlog(y)の関係を明記する必要があります.
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この回答へのお礼

どうもありがとうございました。

お礼日時:2009/05/26 20:31

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Q∫(ax^n + b)^α dxに対する不定積分の公式を探しています

∫(ax^n + b)^α dxに対する不定積分の公式を探しています

本には
∫(ax + b)^α dx
= {(ax + b)^(α+1)} / {a(α+1)} + C   (a≠0)
という、xが1次の場合の不定積分の公式は載っています。具体的には
∫(2x + 1)^2 dx
= {(2x + 1)^3} / {2(3)} + C
みたいなのですね。

ただ、
∫(ax^n + b)^α dx
のように、xの次数が高い場合は載っていません。
ネットで検索しても見つかりません。
∫(2x^2 + 1)^2 dxなら展開してから不定積分を行えば良いのですが、
∫{x(a^2 - x^2)^(1/2)} dx
のような、もっとややこしい場合は展開もできません。
そのような場合はどうやって計算するのですか?

勘で
∫(ax^n + b)^α dx
= {(ax^n + b)^(α+1)} / {ax^(n-1)(α+1)} + C
と思ったのですが、違いますか?
では、お願いします。

Aベストアンサー

#2です。

A#2の補足質問について
>因みに、この(-1/2)は、たまたま(a^2 - x^2)' = -2xだったので
>それをxにするための単なる辻褄合わせですか?

その通りです。積分と微分は表裏の関係ですから、この位のことは見抜かないといけませんね。

>それとも、(a^2 - x^2)^(1/2)のべき乗の部分から1を引いた(1/2 - 1)ですか?
違います。

公式
∫g'(x)f(g(x))dx=F(g(x))+C
ここで ∫f(x)dx=F(x)+C'とします。
A#2はこの公式を使えるように少しお膳立てしただけです。
他の例をあげると
f(x)=sin(x),g(x)=x^3とすればg'(x)=3x^2なので
∫(x^2)sin(x^3)dx=(-1/3)cos(x^3)+C
という積分が上の公式を適用することで簡単に出来ます。

Q公式d(g(x)*f(x))/dx=f(x)*dg(x)/dx+g(x)*df(x)/dxに関する初歩的質問

この公式は私のような人間には実に深遠な印象を与えますが、いまf(x)をx,g(x)をx^2として、y=x^3を考えてみるとdy/dx=x*2x+x^2*xが3x^2となって、初心者でも計算できる公式になります。このように初心者が簡単な例で、難しい公式の正しさを納得できますが、このような納得の仕方と正当な数学学習との接点はどこかにあるのでしょうか。以前にも似た質問をさせていただきましたが、演繹と帰納との関係でもあるのかとも思い、再度質問させていただきました。

Aベストアンサー

こんにちは。

A)公式d(g(x)*f(x))/dx=f(x)*dg(x)/dx+g(x)*df(x)/dx
から
C)(x^3)’= 3x^2
を導くのと、

B)公式(x^n)’= nx^(n-1)
から
C)(x^3)’= 3x^2
を導くのとで、
同じ結果が得られたということですよね。


つまり、
A→C (CはAからの帰納)

B→C (CはBからの帰納)
は、
「それぞれ正しい」ということです。


言い換えれば、
CはAの十分条件であり、Bの十分条件でもあるということです。
あるいは、
AはCの必要条件であり、BもCの必要条件であるということです。

Q不定積分の公式の解説でわからないところがります。

[ねらい]のところにある説明で、合成関数の微分の手順をどのように使ったら赤文字の不定積分
の公式が導きだされるのか理解できません。また 赤の波線は何を意味しているのでしょうか。
高1で自分で勉強していて理解できません。ご指導ください。

Aベストアンサー

え~っと、積分というのは、微分の逆演算です。つまり積分形の等式を微分してできる等式も、常に成り立つということです。

赤字の等式の両辺を微分してください。左辺は∫と dx を取り除くだけですね。右辺もそれと同じものになるはずです。

目で見て頭の中だけで考えるのではなくて、実際に紙の上で計算してみてください。右辺のような式は、どうやって微分しますか?「u^(α + 1) を u で微分する計算」と、「u = ax + b を x で微分する計算」の両方を使う、つまり合成関数の微分をするのでしたね。

「赤の波線」ですが、この「×(ax + b)'」という部分が分かっているかどうかが正に、合成関数の微分を知っているかということと同じなのです。教科書で、合成関数の微分のページを見直してください。そこに書いてあることを理解していないと、この積分もできるはずがありません。「'」の記号は確か、1 次の導関数を意味するのでしたね。

「合成関数の微分では、関数と関数の掛け算をしたような…。それに、微分すると、どんな係数が出てくるのでしょうか。」

つまり、微分ではどのように式が変化していくのかが分かっているか。その逆を行うのが積分なのだから。「ねらい」にある「手順を思い浮かべながら」というのは、そういう意味だと思います。

それができれば、赤字の等式は当然の結果なのであって、公式と言うほどのものでもありません。

繰り返します。実際に紙に書いて、微分してください。その上で分からなければ、行った微分の計算を示しながら、またお尋ねください。

え~っと、積分というのは、微分の逆演算です。つまり積分形の等式を微分してできる等式も、常に成り立つということです。

赤字の等式の両辺を微分してください。左辺は∫と dx を取り除くだけですね。右辺もそれと同じものになるはずです。

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「赤の波...続きを読む

Q関数f(x)=2x^3+3px^+3px-3p^/2は、x=αで極大値f(α)を、x=βで極小値f(β)をとる。

関数f(x)=2x^3+3px^+3px-3p^/2は、x=αで極大値f(α)を、x=βで極小値f(β)をとる。ただし、pは実数とする。

という問題で、

1)pのとりうる値の範囲を求めよ。 A. p<0,2<p
2)f(α)+f(β)をpを用いて表せ。 A.f(α)+f(β)=p^3-6p^

まではできました。答えもあっているはずです。ですが、

3)2点(α,f(α)),(β,f(β))を結ぶ線分の中点の軌跡を求めよ。

という問題がどうしても解けません。
どなたかご教授下さい。お願いします。

Aベストアンサー

中点の軌跡の座標を (X , Y) とすると、
X = ( α + β ) / 2
Y = ( f(α) + f(β) ) / 2

α + β = - p
f(α) + f(β) = 問 2)より、

上 2 式から、p を消去すれば、軌跡の方程式が求まります。
また、問 1) の p の範囲から、x の範囲も考慮する必要があります。

Q不定積分の公式を証明して下さい。

 √(x^2+a)
の不定積分の答えが
 (x√(x^2+a)+alog|x+√(x^2+a)|)/2+C
となることを証明して下さい。

部分積分を使うとx√(x^2+a)は出てくるんですが右側がどうしてもlogになりません。

Aベストアンサー

ここは、疑問に思うこと理解できないことを質問し、回答をもらう場所ですから。
証明してください、と人任せにするのではなく、証明は自分でやりましょうよ。
でないと勉強になりませんよ。


さて、この積分はやり方を知っていないと少し難しいですからね。
もちろん、#1さんの言うとおり右辺を微分してみて公式が成り立つことを確認するのも大切ですが。

この積分は部分積分ではなく、置換積分でやってみてください。
  √(x^2+a) = t-x
と置換します。
両辺二乗して、
  x^2+a = t^2-2tx+x^2
両辺のx^2は打ち消しあい、さらにxについて解くと、
  x = (t^2-a)/2t
両辺をtについて微分して、
  dx/dt = (t^2+a)/(2t^2)

また、
  √(x^2+a) = t-x = t -(t^2-a)/2t
       = (t^2+a)/2t

ここまでわかれば置換出来るはずです。
置換した後の積分はとても簡単ですよ。
積分した後に置換したtをxに戻すのがこれまた面倒ではあるんですがね。

ここは、疑問に思うこと理解できないことを質問し、回答をもらう場所ですから。
証明してください、と人任せにするのではなく、証明は自分でやりましょうよ。
でないと勉強になりませんよ。


さて、この積分はやり方を知っていないと少し難しいですからね。
もちろん、#1さんの言うとおり右辺を微分してみて公式が成り立つことを確認するのも大切ですが。

この積分は部分積分ではなく、置換積分でやってみてください。
  √(x^2+a) = t-x
と置換します。
両辺二乗して、
  x^2+a = t^2-2tx+x^2...続きを読む

Qf(x)=(x-2), g(x)=(x+2)の時、f(x)+g(x)の答えは・?

これの解き方と答えを教えて下さい。
下記のどれかが答えだそうです。。
土曜日テストなのでたくさん質問しますがお付き合いください・・><
2x+4
2x-4
2x
-4

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

足し算ができないの?

答え

f(x)+g(x)=(x-2)+(x+2)=2x

Q√(A-x^2)の不定積分が解けません

0から√Aまでの定積分だとAπ/4になると思うのですが、
不定積分だと難度が高く解きかたがわからなくなりました。

教科書や参考書を見ても、√(x^2+A)の不定積分の解き方は載っていても
(A-x^2)の不定積分は例題どころか演習問題でも見つけられませんでした。

解き方のヒントや類似の問題を教えていただけ無いでしょうか。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>>0から√Aまでの定積分だとA(π/4)。
yes。

>>教科書や参考書に、
(不定積分)が記載されるか否かは、
(不定積分)が(逆三角関数)を必要とするどうかに、
依存します。

>>√(x^2+A)の(不定積分)は、
(手順が複雑であっても)、
逆三角が不要のため記載されています。

>>√(A-x^2)や、1/(A+(x^2))なども、
(不定積分)は逆三角が必要なので、記載されません。

>>定積分では、
置換した状態で(特殊なxの範囲では、)
数値が求まるので記載されます。
つまり、数値が求められる問題は記載されます。

>>解き方のヒントや類似の問題
逆三角を学習すれば容易ですが、
そうでない場合は回答しても・・・。

結果だけ書いて終わります。
>>√(A-x^2)の不定積分は、
(1/2){ { x*√(A-(x^2))}+{A*arctan( x/(√(A-(x^2)) )} }+C
と表現されます。

Qx, y∈R がx^2+xy+y^2=6をみたしながら動くときz=x+yの取り得る値の範囲を求めよ。

x∈R より、判別式Dは実数解を持つ(D≧0)を利用しました。
y=z-xをx^2+xy+y^2=6に代入
x^2+x(z-x)+(z-x)^2-6=0
x^2-zx+z^2-6=0
題意より
D=z^2-4(z^2-6)≧0
3z^2-24≦0
z^2≦8
∴ -2√2≦z≦2√2

と解いたのですが、説明不足でしょうか?
不自然な点、補足した方がよい点がをご教授下さい。

Aベストアンサー

試験対策を考えているなら、少し答案の書き方を考えたほうが良いかもしれません。
答案は、基本的に「文章を」書くものです。数式は、その補助に過ぎませんから、
式だけ書きっぱなし(に近い)答案は、求める値だけ当たっていても、評価が低い場合があります。

上の答案は、「題意より」の部分を補って

x^2+xy+y^2=6 に y=z-x を代入すると、x^2-zx+z^2-6=0 となる。
題意より、この方程式は x の実数解を持たねばならないから、
判別式を考えると、z^2-4(z^2-6)≧0 が成り立つ。
この不等式を解けば、-2√2≦z≦2√2 となる。

と解釈される可能性があります。(文章になっていないので、読まずに0点という可能性さえある。)

こう書き直してみると、
-2√2≦z≦2√2 は、実数 x が存在するための必要条件に過ぎないこと、
実数 y が存在するかどうかに関して何も言っていないこと、
の二点について、十分性の怪しい記述になっています。

判別式≧0 であれば実数解 x が存在し、y=z-x によって y も実数である
ことを一言書いておくほうが好いでしょう。
そんなこと言うまでもない、と思ったとしても。

試験対策を考えているなら、少し答案の書き方を考えたほうが良いかもしれません。
答案は、基本的に「文章を」書くものです。数式は、その補助に過ぎませんから、
式だけ書きっぱなし(に近い)答案は、求める値だけ当たっていても、評価が低い場合があります。

上の答案は、「題意より」の部分を補って

x^2+xy+y^2=6 に y=z-x を代入すると、x^2-zx+z^2-6=0 となる。
題意より、この方程式は x の実数解を持たねばならないから、
判別式を考えると、z^2-4(z^2-6)≧0 が成り立つ。
この不等式を解けば、-2...続きを読む

Q不定積分

以下に示す不定積分が解けません。
どなたかお分かりになる方がいらっしゃいましたら
アドバイスよろしくお願い致します。

【問題】
exp(-x^2)を不定積分を求めよ。

Aベストアンサー

この積分はできません。

不定積分∫e-x^2dxはできないが、0から∞まではできる昔からの有名な積分です。

ちなみに
(0から∞)∫e-x^2dx=√π/2
です。

Qf(x)=1+logx+2√x>0の証明に関して

f(x)=1+logx+2√x>0の証明に関して

不明な箇所が2点あります。宜しくお願いします。

取りあえず微分します。
f'(x)=(1/x)-(1/4x√x)

f(x)の極値を求めます。
(1/x)-(1/4x√x)=0
(1/x)=(1/4x√x)
1=1/4√x
4√x=1
√x=1/4
x=1/16

f(1/16)=3+log(1/16)
=3-log16
=3-4log2

3-4log2>0なのでf(x)=1+logx+2√x>0となる。

以下質問です。

3-4log2が最小値であるのはf(x)=1+logx+2√x>0からして自明だと
思うのですが、最小値であることを示す必要はありますか?

又、3-4log2>0は正になるのですが、ここにも何かしらの説明は必要でしょうか?

お手数をお掛け致します。

Aベストアンサー

#2です。

>出題が f(x)=1+logx+1/(2√x)>0の証明です。
>xの範囲が(x>0)です。

こうなら話があいます。
また、ところどころミスが目立ちます。

>以下質問です。
> 3-4log2が最小値であるのはf(x)=1+logx+2√x>0からして自明だと
 正:f(x)=1+log(x)+{1/(2√x)}>0
> 思うのですが、最小値であることを示す必要はありますか?

証明すべき結果をつかって自明ということがダメに決まっています。
f'(x)=0から求めたxは単なる停留点候補に過ぎません。そこで極値(極大値または極小値)をとる場合だけでなく。極値をとらない場合もあります。また極大値が最大値候補ではあっても必ず最大値になる場合とならない場合があり、また、極小値は最小値の候補であっても最小値の場合と最小値でない場合があります。
(参考URL)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E5%80%A4

なので、x=1/16で求めたf(1/16)が最小値という保証はどこにもありません。極小の条件を満たし、さらに最小値であることを示さないと証明としては不完全です。今の場合、さらにx>0で最小値が正であることを示さないといけませんね。

>又、3-4log2>0は正になるのですが、ここにも何かしらの説明は必要でしょうか?
必要ですね。

f(1/16)=3-4log(2)=log((e^3)/16)
ここで、e^3>2.6^3>17 なので (e^3)/16>17/16>1
従って
f(1/16)>log(1)=0
などと触れておかないといけませんね。

#2です。

>出題が f(x)=1+logx+1/(2√x)>0の証明です。
>xの範囲が(x>0)です。

こうなら話があいます。
また、ところどころミスが目立ちます。

>以下質問です。
> 3-4log2が最小値であるのはf(x)=1+logx+2√x>0からして自明だと
 正:f(x)=1+log(x)+{1/(2√x)}>0
> 思うのですが、最小値であることを示す必要はありますか?

証明すべき結果をつかって自明ということがダメに決まっています。
f'(x)=0から求めたxは単なる停留点候補に過ぎません。そこで極値(極大値または極小値)をとる場合だけ...続きを読む


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