実数全体で定義された連続関数f(x)に対してg(x)を
g(x)=∫【0→x】t*f(x-t)dt で定めます。このとき、g'(x)=∫【0→x】f(t
)dt となるそうなんですが、なぜこうなるのかわかりません。以下の定理を参考
にして教えてくださるとありがたいです。


【微分積分の基本定理】
関数F(x)=∫【a→x】f(t)dt は微分可能であり、
(d/dx)F(x)=f(x)

A 回答 (1件)

 g(x)=∫【0→x】t*f(x-t)dt


   =∫【x→0】(x-y)*f(y)(-dy)  (x-t=yとおく)
   =∫【0→x】(x-y)*f(y)dy
   =x ∫【0→x】f(y)dy -∫【0→x】y*f(y)dy

 g'(x)=∫【0→x】f(y)dy + x*f(x) - x*f(x)  ←第2項と第3項に対して、定理を適用
   =∫【0→x】f(y)dy
   =∫【0→x】f(t)dt  ←積分変数をyからtに変更
    
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