数学の知識に乏しいですが、お時間がある方はぜひとも一緒に考えていただけませんか?

問:
表が出やすいコインAと裏が出やすいコインBがあります。
コインAで表が出る確率は、90%、
コインBで裏が出る確率は、80%、
今、どちらのコインかわからないコインXを10回投げたところ、
表が6回、裏が4回出た。

さて、このコインXがコインAである確率とコインBである確率をそれぞれ求めたい。


・・・のですが、自分で調べた範囲では、正規分布を利用するとよさそうな気がします・・・しかし正規分布を読めば読むほどわからなくなってしまったので、どなたかご教授いただけると助かります。正規分布にこだわらずとも、もっと簡単に求められる方法があれば助かります。

以上、よろしくおねがいいたします。

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A 回答 (2件)

条件付確率で考えます。



コインがAだったときに表が出る確率P[表|A]=0.9
コインがBだったときに裏が出る確率P[裏|B]=0.8
コインA(あるいはB)を選ぶ確率P[A]=P[B]=0.5
ということから、そのコインがAだったときに表6裏4になる確率を計算すると、それは二項確率になって
P[表6裏4|A]=C[10,6]*0.9^6*0.1^4=0.01116 (ここでC[10,6]は10個中2個選ぶ組み合わせの数=210)
同様に、そのコインがBだったときに表6裏4になる確率は
P[表6裏4|B]=C[10,6]*0.2^6*0.8^4=0.005505
両方の可能性を考慮した表6裏4が出る確率は
P[表6裏4]=P[表6裏4|A]P[A]+P[表6裏4|B]P[B]=0.008333
したがって、
表6裏4になった場合にそのコインがAである確率は、
P[A|表6裏4]=P[表6裏4|A]P[A]/P[表6裏4]=0.6697
同様に、表6裏4になった場合にそのコインがBである確率は
P[B|表6裏4]=P[表6裏4|B]P[B]/P[表6裏4]=0.3303
になります。これが、所望の確率です。

このようにしてP[表6裏4|A]からP[A|表6裏4]を算出する方法をベイズの定理といいます。
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この回答へのお礼

gef00675 様
回答ありがとうございます◎実際にExcelで計算してみたところ、それっぽい値を出すことができました。

私が考えていた中では、最も適切な計算方法だと思いました。
ありがとうございました!

お礼日時:2009/06/01 22:01

確率の値以前に、


そのことが何らかの意味で確率事象と捉えられるのか
どうかを、まず検討しましょう。

例えば、No.1 のようにベイジアンにしてしまう場合、
P[A] = P[B] = 0.5 と置くことに何の根拠があるのか。
その辺が、たぶん一番重要なことです。

あまり数学の問題でもないので、考え方は
人によって異なると思いますが、私の場合は…
『 P[表6裏4|A] > P[表6裏4|B] により、どうもAっぽい気がする。
Aである確率の値など、おそらく意味を成さない。』 …です。

類題:
帰宅したら、テーブルの上に、福引のアタリ券が置いてあった。
この福引が、A商店街の福引である確率は、どれだけか?
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この回答へのお礼

arrysthmia 様
回答ありがとうございます◎もしかしたら質問をするカテゴリを間違えてしまったかもしれませんね。。。
確率に詳しい方と存じ上げますので、できれば純粋に確立を計算するような方法をご教授いただければよかったです。

お礼日時:2009/06/01 22:03

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Aベストアンサー

> うらが、10回続くのは珍しいですよね?

「確率1/2で裏がでるコイントス」なら、裏が10回続く確率は1/1024なので起こりにくいのは確かです。
ですが、「確率1/2で裏がでるコイントス」なら10回どころか1億回、1無量大数回裏が続いて出ても、次に裏が出る確率は1/2です。

> 11回目がうらと続くのは、更に珍しいわけで、、、そろそろ表と考えたくなるのですが。

現実問題ならば、裏が出やすいコイントスと考えます。
インチキ無しのコイントスならば、そろそろ表と考えたくなるのは理解できます。


> プログラムを・・・自作してみたかったのですが、、、まぁ、時間があったら、作ってみます。

どうプログラミングするのか気になるところですが、0から1の範囲で一様乱数を発生させて1/2以上なら裏というような方法ですと1/2に近い値が得られるでしょう。


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