三角形の面積の求め方でヘロンの公式を使わせるのはなぜですか?

(底辺+高さ)÷2 だとなにか弊害がありますか?

A 回答 (4件)

三角形の底辺の長さと高さがわかっていれば、(底辺+高さ)÷2とすればよいです。

高さが不明でも、三角形の3辺の長さから直接に面積を出す方法(ヘロンの公式)があるというだけです。ヘロンの公式を知らなくても、2個の直角三角形に分割すれば、3平方の定理で高さを知ることができます。
「使わせるのはなぜ」とか「弊害」の文脈が不明ですが、これで回答になっていますか?
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございます。

完全にわかりました。
三角形の底辺の長さと高さがわかっていれば、(底辺+高さ)÷2
高さが不明でも、三角形の3辺の長さから直接に面積を出す方法(ヘロンの公式)
ヘロンの公式を知らなくても、2個の直角三角形に分割すれば、3平方の定理

すべての数値がわかっているとは限りませんもんね。
大変為になりました。

お礼日時:2009/05/27 15:34

三角形の形をした土地に建物が建っていて、高さが測定できないような場合どうしましょうか。



数学や理科はノート上だけを想定しても全く無意味ですよ。
社会や国語と同じように実社会に目を向けましょう。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございます。

完全にわかりました。
三角形の底辺の長さと高さがわかっていれば、(底辺+高さ)÷2
高さが不明でも、三角形の3辺の長さから直接に面積を出す方法(ヘロンの公式)
ヘロンの公式を知らなくても、2個の直角三角形に分割すれば、3平方の定理

すべての数値がわかっているとは限りませんもんね。
大変為になりました。

お礼日時:2009/05/27 15:35

面積を求めたい対象の三角形を記述するとき、


『三辺の長さがそれぞれ~、~、~の三角形』と
指定する機会は、多いだろうと思います。おそらく、
底辺と高さを指定して三角形を記述する機会よりも。

…ということは、ヘロンの公式があると便利ですね。
なくても困りませんけど。

公式は、あると便利だから公式と考えるものであり、
ないと有害だから公式と認めるものではないでしょう。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございます。

完全にわかりました。
三角形の底辺の長さと高さがわかっていれば、(底辺+高さ)÷2
高さが不明でも、三角形の3辺の長さから直接に面積を出す方法(ヘロンの公式)
ヘロンの公式を知らなくても、2個の直角三角形に分割すれば、3平方の定理

すべての数値がわかっているとは限りませんもんね。
大変為になりました。

お礼日時:2009/05/27 15:35

三角形の面積を求めたいとき、3辺の長さしか情報がなく、


高さを求めるのが困難な時、ヘロンの公式が有効でしょうね。
(定規で高さを測ろうとしても、√5などの場合は、正確な高さは
測定できないでしょう)
例えば、3辺の長さが、3、5、7であるとき、高さを求める
のは面倒そうなので、ヘロンの公式をつかった方がよさそうですね。
しかし、高さが容易に求められる場合は、(底辺×高さ)÷2で
計算した方が、ヘロンの公式のより簡単でしょう。
これに限らず、与えられた情報から、どの公式を使うのが最良かを判断
するのが重要と思います。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございます。

完全にわかりました。
三角形の底辺の長さと高さがわかっていれば、(底辺+高さ)÷2
高さが不明でも、三角形の3辺の長さから直接に面積を出す方法(ヘロンの公式)
ヘロンの公式を知らなくても、2個の直角三角形に分割すれば、3平方の定理

すべての数値がわかっているとは限りませんもんね。
大変為になりました。

お礼日時:2009/05/27 15:35

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q【数学】ヘロンの公式のヘロンって人の名前ですよね? ヘロンって何をやった人ですか? あとヘロンの公式

【数学】ヘロンの公式のヘロンって人の名前ですよね?

ヘロンって何をやった人ですか?

あとヘロンの公式ってどんなのを言いますか?

ヘロンの公式を簡単に説明してください。

いつ使うんでしょう?

Aベストアンサー

自分の知ってるヘロン:大昔のギリシャの学者。ヘロンの水車という回転機構を発明したと言われている。
ヘロンの公式:三角形の3辺の長さが分かれば、面積を計算できると言うありがたい公式。ただし、要開平算(ルートの計算)

Q任意の三角形からその三角形と面積の等しい正三角形をその三角形を使って作図するには??

等積変形の問題なのですがかなり考えたのですがわかりません。どなたかわかれば教えてください。

Aベストアンサー

方べきの定理を使用します。
任意の三角形の1辺をaとし、此に頂点から垂線を下ろします。
垂線の長さをbとする。
面積は、ab/2
正三角形の1辺をcとすると、面積は((√3)c^2/4)
c^2=(2√3)ab/3)
ですので、2a/3の線分を作るには、平行線を利用することにより作図できます。
次に、(√3)bを作図しますが、此は1辺がbの正方形を作図して、対角線をとりますと、(√2)bが出来ます、
此を1辺とし、もう1辺をbとする長方形を作り、この対角線は(√3)bとなります。
これで、(2a/3)と(√3)bの辺の長さが決まりましたので、ここで方べきの定理を使用します。
1点より、同じ方向へ、(2a/3)と(√3)bを直線上にとり、この差の半分の長さで円を描きます(この直線上に円の中心がある)。全ての点は同一直線上にある。
つぎに、最初の1点と円の中心点とを直径とする円を描き、交点と最初の1点を結ぶと、接線となり、此がcとなります。
此を1辺とする正三角形を書けば出来上がりです。
作図をするときにa,bを入れ替えてしても同じ結果になります。

方べきの定理を使用します。
任意の三角形の1辺をaとし、此に頂点から垂線を下ろします。
垂線の長さをbとする。
面積は、ab/2
正三角形の1辺をcとすると、面積は((√3)c^2/4)
c^2=(2√3)ab/3)
ですので、2a/3の線分を作るには、平行線を利用することにより作図できます。
次に、(√3)bを作図しますが、此は1辺がbの正方形を作図して、対角線をとりますと、(√2)bが出来ます、
此を1辺とし、もう1辺をbとする長方形を作り、この対角線は(√3)bとなります。
これで、(2a/3)と(√3)bの辺の長さが決まりまし...続きを読む

Qヘロン島知ってますか?

オーストラリアのグレートバリアリーフにあるヘロン島について
情報が欲しいです。小さいことから大きいことまで、
とにかくたくさんの情報が欲しいんです。
お願いします!

Aベストアンサー

以下のホームページに多少の情報が載っていましたのでご参考まで。

http://home.catv.ne.jp/ff/satoshi/heron.htm
→旅行記

http://www.toshima.ne.jp/~haga/heron.htm
→旅行記

http://www.knt.ne.jp/will/ok/aus/cource/index_heron.html
→ツアー案内等

Q比例と反比例の問題で、[面積が54平方センチメートルの三角形の、底辺の長さをXセンチメートル高さをY

比例と反比例の問題で、[面積が54平方センチメートルの三角形の、底辺の長さをXセンチメートル高さをYセンチメートルとします。XとYの関係を式に表しましょう。]という問題で、私はX×Y÷2=54と、書いたのですが答えがY=108÷Xになっていました(>_<)誰か訳を教えてくださいm(_ _)m

Aベストアンサー

ちょっと問題が舌足らずだと思います。
三角形の面積ですから、X×Y/2=54 で式は正しいと思います。
ただ比例と反比例の問題ですから、式をYとXの関係がどうなっているのか出題者に解るように直さないといけないですね。

なので
X×Y/2=54
X×Y=54×2
Y=108/X 
と表して、XとYが反比例の関係にあると表す必要が出てきます。

Qヘロンの公式は余弦定理から導かれますか

余弦定理はピタゴラスの定理を使って証明されるものと聞きましたが、ヘロンの公式は余弦定理を使って証明できるものでしょうか。

Aベストアンサー

余興の尻ぬぐいですが…。

>これを (1) か (2) へ代入して、h^2 が (したがって h も) 求まる。
>h がわかるので、△ABC の面積 = ah/2 を勘定可能になった。

たとえば、
 h^2 = c^2 - d^2
を使って h を勘定してしまえば、△ABC の面積は求められるはず。


ヘロン氏は h^2 を「因数分解」してみせた、というわけでしょうネ。
              ↓
 h^2 = c^2 - d^2
   = { (2ac)^2 - (a^2 + c^2 - b^2)^2 }/(2a)^2
   = { 2ac + (a^2 + c^2 - b^2) }{ 2ac - (a^2 + c^2 -b^2) }/(2a)^2
   = { (a + c)^2 - b^2) }{ b^2 - (a - c)^2 }/(2a)^2
   = (a + c + b)(a + c - b)(b + a - c)(b - a + c)/(2a)^2

   

Qなぜ角度が違う三角形でも全て、長さ+高さ÷2で面積

なぜ角度が違う三角形でも全て、長さ+高さ÷2で面積が求められるのでしょう?

長さが同じで勾配が5寸でも4寸でも面積は同じなのでしょうか?

Aベストアンサー

添付画像だけですが...
※基本的に他の方と同じ

Q三角形の面積の求め方でヘロンの公式を使わせるのはなぜ?

三角形の面積の求め方でヘロンの公式を使わせるのはなぜですか?

(底辺+高さ)÷2 だとなにか弊害がありますか?

Aベストアンサー

三角形の底辺の長さと高さがわかっていれば、(底辺+高さ)÷2とすればよいです。高さが不明でも、三角形の3辺の長さから直接に面積を出す方法(ヘロンの公式)があるというだけです。ヘロンの公式を知らなくても、2個の直角三角形に分割すれば、3平方の定理で高さを知ることができます。
「使わせるのはなぜ」とか「弊害」の文脈が不明ですが、これで回答になっていますか?

Q底辺・高さ一定(面積一定)の三角形の二辺を求める式

☆前提条件
 ・鋭角三角形ABCにおいて、頂点Cから辺ABに下した垂線の足を点Hとおきます。
 ・辺ABの長さを“L”、辺CHの長さを“h”、辺AHを“x”、辺AC+辺CBの長さを“y”とおきます。
  ※これより条件として 0<x≦L/2 が出ます。


☆質問
 このL、hが一定の時の『x=f(y)』、もしくはシンプルな形の『y=f(x)』を知りたいです。


☆質問に際して
 この条件で y=√(h^2+x^2)+√(h^2+(L-x)^2) となるのはわかるのですが、このままでは最終的な目的のために計算がしにくく(後述)不都合なため、他の計算方法がないものか、ヘロン、三角関数(この場合変数が更に増えてしまい…)等も考えてみたのですが、どれも計算しきれずお手上げ状態で、皆様のお力をお貸し願えないか、という次第です。


☆最終的な目的(この質問に行き当たった経緯)
 一定長に張った弦の下に駒を置き、駒を動かす事により音程を変える。
 この場合、駒の場所で張力が変化するため(弦の両端に近いほど張力が大きくなり、弦長の半分で張力が一番小さくなる)、単純な弦長の比率のみで音程(音階)決定ができない。
 ヤング率や線密度、断面積等を設定し、張力変化を加味した上で、この駒の位置を計算により求めたい。

 この計算において、張力変化は弦長の変化による歪みより求められ、この歪みを計算するために質問事項が必要になってきました。
 駒の位置→周波数 は計算しやすく簡単に出てくるが、 周波数→駒の位置 を求めたいため、逆関数にしようと試みたが、質問の件がネックとなり求められなかった。
 質問の値とこの目的における値との関係は、一定長の弦の長さがLとなり、駒の高さがhとして、駒の位置変化xによる総弦長がyとなっています。


☆この質問に関して…
 この三角形の辺長や、それに付随するであろう角度の法則は、なんとなくシンプルな法則がありそうには思ってはいるのですが、それに類するものをネット上からも見つけることができませんでした。
 キーワード設定が悪かっただけかもしれませんが。

 本来の目的を考えると、xが0に近づくと、張力は非常に大きくなってしまうため、本来のxは「“ある程度以上”よりL/2まで」なので、近似式でも問題ないようであれば近似式でも良いです。
 ただし、弦長はあくまでも簡単に持ち運びができ、なおかつ1オクターヴは表現したいため、張力変化のあまり影響のない範囲で、という近似は不可と願います。(Lは最大1m程度と考えています。)
 逆に音の変化を確実にするため、hを小さくすることは不可能ではないため、こちらの上限を考えた方が早いようであればその計算方法等でも問題ございません。

 なお、複雑な(?)公式等を使う必要がある場合は、ある程度その説明や参考URL等を載せておいていただけると助かります。
 こんな変なことを考えるのは好きなのですが、決して数式等に強いわけではないので、大変ご面倒をおかけします…。

 また、こういった質問コーナーの回答でよく見かける、「計算で出さず、実測した方が早いですよ」等の至極当然のお答は、大変申し訳ございませんが求めておりませんのでお断りさせていただきたく思いますm(_ _)m
 あくまで計算で求めたい、というのが目的ですので、大変失礼だとは思いますが、よろしくお願いいたします。
 ただし、excelのソルバー等を利用して「こうすれば求まるのでは?」というアドバイス等はありがたく頂戴いたします。
 最終計算式がややこしく、何ともならないようであればそれも仕方ないのか…とは思っておりますので。






 以上、注文も多く、文才がないため文章がややこしい質問ですが、どうぞお力添えのほどよろしくお願いいたします。

☆前提条件
 ・鋭角三角形ABCにおいて、頂点Cから辺ABに下した垂線の足を点Hとおきます。
 ・辺ABの長さを“L”、辺CHの長さを“h”、辺AHを“x”、辺AC+辺CBの長さを“y”とおきます。
  ※これより条件として 0<x≦L/2 が出ます。


☆質問
 このL、hが一定の時の『x=f(y)』、もしくはシンプルな形の『y=f(x)』を知りたいです。


☆質問に際して
 この条件で y=√(h^2+x^2)+√(h^2+(L-x)^2) となるのはわかるのですが、このままでは最終的な目的のために計算がしにくく(後述)不都合なため、他の計算方法がないも...続きを読む

Aベストアンサー

< ANo.5
の数値例についての蛇足。

>L=40, x=5, h=4 。
> y=√(h^2+x^2)+√(h^2+(L-x)^2) = 41.63
> ya=L*{1 + (h^2/{2x(L-x) })] = 41.83 (近似誤差 約 0.5 % )

に対する
< ANo.7 のカーブ・フィッティングで得られた「実験式」の一例です。

 dy = k*|(L/2)-x|^3
 y = y_min + dy
   k = 2.54(E-4), y_min = 40.79
L=40, x=5, h=4 の結果は、
 y = 41.65 (近似誤差 約 0.05 % )

…数値は僅差ですけど、近似誤差は一桁改善されました。

  

Q三角形の面積・・・ヘロンと座標法答えが違う?

ただいま仕事で展開図を作っています。
そこで三角形の面積を求めるのにヘロンの公式を使っていますが
座標法で求めたものと数値が違います。

座標法での計算式は
http://www.hat.hi-ho.ne.jp/sokubou/mensekirei.htm
のURLにあるやりかたです。
なお座標は、CAD上で読み取った簡易的なものです。

ヘロンの公式と、座標法ならどちらの方が真値に近いのでしょうか?

Aベストアンサー

#5.6です。回答する前に閉じられては…と思い、#6の回答は大急ぎだったので補足を。
誤差はあると思ってはいたのですが、検証したことがなかったので良い機会だと思い、実験してみました。

先ほどの回答、辺長A=0.9、辺長B=2.6、辺長C=2.491が検証の基準です。

座標点b:2.337,717.861 は、8桁では
座標点b:2.33751558,717.86087277

この時点で、誤差はしょうがないと諦めなければ仕方ありません。計算結果は先の回答。

この図形を縦横ともに1000倍し、結果を1000000で割った場合

座標計算値は:1.11913460214394となり、ヘロンの公式との差が大きくつめられました。
↑必要な精度によっては、このような手法も考えられるという例です。

先ほどの0.3-0.2-0.1+0の例は、コンピュータでの計算には誤差が必ずあるので、信頼できる範囲に限りがあるということです。0.1という十進数は二進ではありえない数値です。参考は、
http://pc.nikkeibp.co.jp/pc21/special/gosa/index.shtml

ヘロンの公式については、Excelにて
A,B,C列に各辺の値
D列:=IF(OR(A6="",B6="",C6=""),"",SUM(A6:C6)/2)
E列:=IF(ISNUMBER(D6),(D6*(D6-A6)*(D6-B6)*(D6-C6))^0.5,"")
として計算しております。余分なIF関数と、6行目から始まっていることは、こちらの既存ファイルからのコピーですのでお許しを…。

#5.6です。回答する前に閉じられては…と思い、#6の回答は大急ぎだったので補足を。
誤差はあると思ってはいたのですが、検証したことがなかったので良い機会だと思い、実験してみました。

先ほどの回答、辺長A=0.9、辺長B=2.6、辺長C=2.491が検証の基準です。

座標点b:2.337,717.861 は、8桁では
座標点b:2.33751558,717.86087277

この時点で、誤差はしょうがないと諦めなければ仕方ありません。計算結果は先の回答。

この図形を縦横ともに1000倍し、結果を1000000で割った場合

座標...続きを読む

Q三角形ABFと三角形DEFの面積は等しいのですが、なぜですか?

三角形ABFと三角形DEFの面積は等しいのですが、なぜですか?

Aベストアンサー

辺ADと辺BEが平行なら、△ABEと△DBEの面積は等しい。
△ABF=△ABE-△FBE
△DEF=△DBE-△FBE

よって
△ABF=△DEF


人気Q&Aランキング

おすすめ情報