ヒントやアドバイスをよろしくお願いします。
次の極限値を求めよ。
1、lim(x→+0)sinx/√x
2、lim(x→0)√|x|sin(1/x)
3、lim(x→∞)(1+x+x^2)^(1/x)

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A 回答 (2件)

1、


lim[x->+0]{sin(x)/x}*(√x)=1*0=0

2、
lim[x->+0]||x^(1/2)|*|sin(1/x)|≦lim[x->+0] |x^(1/2)|*1=0

lim[x->-0]||(-x)^(1/2)|*|sin(1/x)|
=lim[x->+0]|(x)^(1/2)*|sin(1/x)|≦lim[x->+0] |x^(1/2)|*1=0

3.
lim[x->∞](1+x+x^2)^(1/x)
=lim[y->+0](1+(1/y)+(1/y^2))^y
=lim[y->+0](1+y+y^2)^y*(1/(y^(2y))
=lim[y->+0]1*(1/y^(2y))=lim[y->+0] 1/y^(2y)
=lim[y->+0] 1/e^(2yln(y))=1/e^(2*lim[y->+0](yln(y)))
=1/e^(2*lim[y->+0](ln(y))/(1/y))
=1/e^(2*lim[y->+0](1/y)/(-1/y^2))(ロピタルの定理適用)
=1/e^(2*lim[y->+0](-y))
=1/e^0=1
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この回答へのお礼

分かりやすいです。ありがとうございました。

お礼日時:2009/05/27 19:22

(3)だけ


y=(1+x+x^2)^(1/x)
とすると
log(y)=(1/x)*log(1+x+x^2)
右辺の分母をxで微分すると1
左辺の分母をxで微分すると(1+2x)/(1+x+x^2)
だからドロピタルの定理を適用して
lim(x→∞)(log(y))=lim(x→∞)((1+2x)/(1+x+x^2))
lim(x→∞)(log(y))=0
lim(x→∞)(y)=1
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この回答へのお礼

ありがとうございました!!

お礼日時:2009/05/28 08:20

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