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一定の加速度aで垂直に下降するエレベータの中で、床からhの高さの
ところから水平に速さvで投げたボールは、エレベータの中では、
水平方向にどれだけ進んで床に落ちるか。

と言う問題なのですが、

ボールの運動方程式は鉛直上向きにy軸、水平方向にx軸をとると、
m(d^2x/dt^2)=0・・・ア
m(d^2y/dt^2)=ma-mg・・・イ
初期条件はt=0で
x=0,y=0,dx/dt=v,dy/dt=0
運動方程式より
アよりd^2x/dt^2=0
これと初期条件より2回積分するとx=vt
イよりd^2y/dt^2=a-g
これと初期条件より2回積分するとy=(1/2)(a-g)t^2
で水平方向にどれだけ進んでというのは
このyの式でいいんでしょうか?
また、この初期条件でt=0のときy=0というのがいまいち
よく分からないので教えてください。(yは縦軸なのになんでhにならないのかな?っていうことです。)

A 回答 (4件)

 床に落ちるという条件から|a|<|g|ですね。



 初期条件x=0,y=0はボールを投げ出した位置を座標原点とするという意味なので、ボールが床に着いたときのyはhではなく-hになります。

 そこで、yの式でy=-hとおくと、床に落下するまでの時間が求まります。
 これをxの式に入れればOKです。

 ちなみに、(イ)式は合っています。加速度系の内部で運動を見ていますから、慣性力maを考慮しなければなりません。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
自分で座標原点を投げ出した位置に設定していたわけですね。
もし、初期条件をt=0のときx=0、y=hとしても最終的な
答えは同じですか?

お礼日時:2009/05/27 06:05

いいですが、



  x=v√{2h/(g-a)} ただし、a<g

の方がきれいですね。
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この回答へのお礼

なるほど、その通りですね。
ありがとうございます。

お礼日時:2009/05/27 22:20

#2の者です。



 t=0のときx=0,y=hとした場合は、yについての微分方程式を解くと

    y=(1/2)(a-g)t^2+h

になります。y=0と置けば、同じ答えが得られます。

この回答への補足

下のお礼の訂正
>>x=v√{-2h/(a-g)} ただし、a>g ではなくて
x=v√{-2h/(a-g)} ただし、a<g
でいいでしょうか?

補足日時:2009/05/27 18:33
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この回答へのお礼

なるほど、納得しました。
最終的な答えなんですが、
x=v√{-2h/(a-g)} ただし、a>g
でいいでしょうか?

お礼日時:2009/05/27 18:33

m(d^2y/dt^2)=ma-mg・・・イ


は間違いです。投げ出した瞬間からボールに働く力は重力だけです。
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Q慣性力

等加速度運動しているエレベーターの中で、質量49kgの人が体重計に乗っている。
このとき、体重計は55kgを示していた。
重力加速度の大きさを9.8m/s^2として、エレベーターの加速度を求めよ。


答え…1.2m/s^2


やり方教えてください。

Aベストアンサー

 エレベーターの加速度を(上向きに)a とおきます。

 人にかかる力は、重力 49×9.8N と、慣性力 49×a[N] で、この和が 55kgw=55×9.8N ですから、

 49×9.8 + 49×a = 55×9.8

後はこれを解いて a を求めます。

Q慣性力について

慣性力についてです。以下のような問題に悩んでいます。

質量mの小球がエレベーターの天井から軽い糸でつるされており、その床からの高さはhである。エレベーターは加速度aで上昇している。上昇している最中に静かに糸を切る。切ってから、小球がエレベーターの床に落下するまでの時間はいくらか。

解答を参照すると、エレベーター内にいる観測者から見れば、糸を切った後の小球にはたらく力は重力と慣性力になるようです。ただ、エレベーターとつながっていない小球に慣性力がはたらくということがなかなか理解できません。

どのように考えればいいのでしょうか。
具体的に教えていただけるとありがたいです。

Aベストアンサー

 突き詰めれば、「慣性力」というものがわからないということですね。

 この問題を見る視点を変えてみましょう。
 エレベーターは地上になく、重力が働いていないとします。さらに、このエレベーターが加速度a=g(重力加速度)で天井の向きへ加速しているとします。床からhの「高さ」でそっと放した小球がエレベーターの床に着くまでの時間はいくらか?

 答えは、地上での自由落下とまったく同じです。
 エレベーターに乗っている人には、そのエレベーターが地上で静止しているのか、加速度gで運動しているのか、小球の運動からは判断できないのです。

 このことが一般相対性理論を考察する際の基礎になっているのですが、それはさておき、この例は、質問者様の疑問を解く鍵になっています。「エレベーターにつながっていない小球に力が働く(ように見える)」ことを示していますので。重力が働くのが理解(納得)できるのであれば、小球に「慣性力」が働くのも理解(納得)できるはずです。

 また、この例は「力」というものがどのようなものかをも端的に示しています。

 運動の変化が起こらないとき、つまり、静止している物体は静止したままだし、直線運動している物体は一定の速さで動き続ける(等速度運動する)、とき、この物体には「力」が働いていないと言います。(正しくは合力がゼロ) 運動の第1法則ですね。「慣性系」というものを規定する法則です。

 この法則は運動の第2法則と密接な関係があります。第2法則の大前提は、「第1法則が成り立つ座標系(慣性系)がこの世の中に存在する」ということであり、「そのような座標系で運動の変化が起こったならば、『力』が働いた」と考え、測定可能な「加速度」を用いて「運動方程式」によって力を"定義"します。加速度と力がベクトルとして比例するという関係は実験事実に基づきます。

 さて、私たちが運動を観察するとき、自分は止まっていると思うのが普通です。加速するエレベーターの中にいたとしても、私たちは床が止まっていると思うでしょう。しかし、慣性系から見て静止している物体は、エレベーター内の人から見れば、加速しているように見えます。ほんとうは自分が加速度運動してるのにもかかわらず。

 さて、加速している(加速しているように見える)以上、この物体にはどうしたって「力」が働いていなければなりません。これが加速度系で現れる「慣性力」と称されるもので、実体のない「見かけの力」です。なぜなら、慣性系で見ればこの物体は静止しているのですから、運動方程式が規定する本来の「力」はゼロだからです。

 慣性力が見かけの力であることは、これを"作用"と見立てたときに、"反作用"の力が存在しないことでもわかります。

 この問題と似たような例で、加速度運動する電車の問題があります。電車がブレーキをかけると(負の加速度を生じると)進行方向に引っ張られるように感じますが、このとき感じる「力」が慣性力です。

 電車の車内先頭の壁際に立っている人が倒れまいとして壁に手をついたとしましょう。このとき、手は壁から押し返されますが、これを「慣性力」に対する反作用と考えてしまったら間違いです。この「壁が手を押し返す力」は「手が壁を押す力」に対する反作用です。「手が壁を押す力」は慣性系でも存在します。たとえば、電車が止まっていても。このことからも、この力は「慣性力」に対する反作用ではないことがわかるでしょう。

 だとすれば、なぜ壁に手をついた人は立っていられるのか? それは、「慣性力」が「壁が手を押し返す力」と釣り合っているからです。このために、考えている加速度系内(電車内)で人に働く力の合力はゼロとなり、めでたく人は静止したままとなるのです。

 ところで、作用・反作用の法則(運動の第3法則)は次のことを述べています。「第2法則によって定義される力には必ず、それと逆向きで大きさが同じ力が存在する。」(でなければ、慣性系で勝手に動き出す物体が現れてしまう。なぜだか考えてみてください。) そして、「作用(または反作用)の力が顕わに見える(運動の変化に関わる)のは、いずれか一方のみを含む系(上記の例であれば、人という"系")で力を考え、その系の運動を考えた場合のみである。」

 作用・反作用の力は、両方の力を含む系で運動方程式を立てた場合にすぐにわかるように、「内力」となってキャンセルされます。「慣性力」はいかなる系においても「内力」の形でキャンセルされることはありません。

 電車の場合と少し異なりますが、似たような誤りとして「遠心力は向心力の反作用である」という回転系での例があります。

 長くなりますのでもうやめにしますが、運動の法則は、きちんと考えてみると力学の根本に関わることを言っています(基本法則ですから、当たり前ですが)。

 よく考えてみてください。

 突き詰めれば、「慣性力」というものがわからないということですね。

 この問題を見る視点を変えてみましょう。
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Q質量mのエレベーターが加速度aで上昇しているとき、重力加速度をgとする

質量mのエレベーターが加速度aで上昇しているとき、重力加速度をgとすると、
このエレベーターの綱の張力Tはm(a-g)で良いですか?
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

m(a-g)
ではなく、
-m(a+g)
ですね。

加速度がかかると、その加速度とは逆の方向へ力がかかります。

加速度aで下降している時なら、
m(g-a)
となります。

,,,,,,,,↑T=m(a+g)
____________________
|,,,,,,,l,,,,,,,,,,|↑a、↓g
|,,,,,,,l,,,,,,,,,,|
|,,,,,,,l,,,,,,,,,,|
|,,,,,,,l,,,,,,,,,,|
|,,,,,,,|,,,,,,,,,,|
|,,,,,,○,,,,,,,,,,|
|,,,,,,↓m(a+g),,,,|
|,,,,,,,,,,,,,,,,,,|
|__________________|

Qエレベーターの中でボールを投げる

エレベーターの中でボールを垂直に投げたとき、

エレベーターの速度が一定として、

エレベーターの上昇時、下降時はボールの滞空時間は変わりますか?

変わるなら、どのように変わるか簡単に教えてください。

また、これは相対性理論が関係しますか?

Aベストアンサー

こんにちは。

エレベーターの速度が一定として、重力加速度が下向きのgで一定であるとするならば、

1.
エレベーターの中にいる人にとっては、相対性理論は、まったく関係ありません。
(このとき、はたから見てエレベーターが光速に近いか否かも、まったく関係ありません。高さによらずgが一定ならば。)
つまり、地上と同じ滞空時間です。

2.
動くエレベーター(ガラス張り)を、はたから見ている人にとっては、
エレベータの中にいる人が
「ボールの滞空時間で時間を計る時計」
を持っているのと同じことです。
相対性理論によれば、移動する時計の時刻は遅れていくのですから、
ボールの滞空時間は長く見えます。


以上、ご参考になりましたら幸いです。

Q慣性の法則、エレベーターの問題です。

慣性の法則、エレベーターの問題です。

鉛直上向きで大きさαの一定の加速度で上昇しているエレベーター内で、エレベーターの床からエレベーターに対して速さvで鉛直上向きにボールを打ち出した。
ボールが打ち出されてからエレベーターの床に衝突するまでに要する時間tと、エレベーターに乗っている人から見たボールの軌道の最高点の、エレベーターの床からの高さhを、エレベーター内の観測者から見た場合について考えることにより、それぞれg、α、vを用いて表せ。

という問題なのですが、考える上でボールの相対加速度がα-gなのかなとは思っています。
普通の鉛直投げ上げなら着地するまでの時間は簡単に求められますが、エレベーターが動くのでどうやって求めたら良いのかがわかりません。

参考書も色々読みましたが、同じような問題がなく、困っております。
勉強不足ですみませんが、わかる方がいらっしゃいましたら教えて頂けるとありがたいです。

Aベストアンサー

#1です。

>エレベーターへ着地した時間となると、どう値を入れれば良いのかわからなくて…。
確かに混乱しますよね。
なぜ混乱するのかを考えてみてください。

「エレベータに乗っている人」から見ることを考えると、単にエレベータの床とボールの関係しかありません。
地上からの高さがどうこうといったことは気にしなくてもいいですよね。

混乱の原因は、下手に「地上にいる人」から見た様子を想像してしまうからだと思います。
なので、床が移動して・・・ということを考えてしまうのです。

単に重力加速度がαだけ少なくなった世界にいるとでも思えば、話は簡単になりますよね。

>最高点までの時間なら、0=v-(α-g)tとして求められるのですが
これもすでにエレベータに乗っている人が基準ですよね。
左辺の 0というのは、床に対する速度であって地上に対するものではありませんね。^^

Q数学Ι 絶対値を2つ含む不等式

度々すいません^^;
不等式|x+1|+|x-2|<5はどうやって解くのでしょうか?
過去の質問で場合分けする、というのをみたんですけど良く分かりません。
絶対値が一つだったら分かるんですが…場合分け^^;
2個になるとどうとけば良いのでしょう?

Aベストアンサー

|x+1|と|x-2|を別々に考えます。

|x+1|は、
 x<-1のとき、-(x+1),
 x≧-1のとき、(x+1)


|x-2|は、
 x<2のとき、-(x-2)
 x≧2のとき、(x-2)


したがって、
(1) x<-1のとき
 |x+1|+|x-2|<5は、
 -(x+1)+{-(x-2)}<5
  -x-1-x+2<5
       -2x<4
        x>-2
 ここで、前提がx<-1の場合であることから、-2<x<-1 …(A)


(2)-1≦x≦2のとき
 |x+1|+|x-2|<5は、
 (x+1)+{-(x-2)}<5
     x+1-x+2<5
        3<5
 これは、常に成り立つが、
 前提が-1≦x≦2の場合であることから、-1≦x≦2 …(B)


(3)x>2のとき
 |x+1|+|x-2|<5は、
 (x+1)+(x-2)<5
   x+1+x-2<5
      2x<6
      x<3
 ここで、前提がx>2の場合であることから、2<x<3 …(C)


(A),(B),(C)をまとめると、この不等式の答え、
すなわち、-2<x<3が求められます。

|x+1|と|x-2|を別々に考えます。

|x+1|は、
 x<-1のとき、-(x+1),
 x≧-1のとき、(x+1)


|x-2|は、
 x<2のとき、-(x-2)
 x≧2のとき、(x-2)


したがって、
(1) x<-1のとき
 |x+1|+|x-2|<5は、
 -(x+1)+{-(x-2)}<5
  -x-1-x+2<5
       -2x<4
        x>-2
 ここで、前提がx<-1の場合であることから、-2<x<-1 …(A)


(2)-1≦x≦2のとき
 |x+1|+|x-2|<5は、
 (x+1)+{-(x-2)}<5
     x+1-x+2<5
        3<5
 これは、常に成り...続きを読む

Q物理の問題 エレベーター

この問題の答えと解き方を教えてほしいです。


図はエレベーターが上昇したときのvt図である。
このエレベーターにのっている質量50kgの人が、エレベーターの加速、等速および減速中に、それぞれ床に及ぼす力の大きさは何Nか。ただし重力加速度の大きさは9.8とする。

Aベストアンサー

こんにちは。

<加速中>
t=0~2 のとき tが2s増える間にvは8m/s増えています。
このときの加速度は、8m/s ÷ 2s = 4m/s^2
これは、人に上向きに合計 50×4 N の力がかかっていることになります。
人に力を与えているのは、床と重力です。重力は床と逆向き。
合計の力 = 重力 + 床が人を上に押す力
50×4 = 50×(-9.8) + 床が人を上に押す力
よって
人が床を押す力の大きさ = 床が人を上に押す力 = 50×4 + 50×9.8

<等速>
t=2~8 のときはvが一定なので、加速度ゼロ、つまり合計の力はゼロ
人が床を押す力の大きさ = 床が人を上に押す力 = 0 + 50×9.8

<減速中>
t=8~16 のときは、8秒間でvが8減っているので、加速度は -8÷8=-1m/s^2
人が床を押す力の大きさ = 床が人を上に押す力 = 50×(-1) + 50×9.8


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