x1=a1cosω1t、x2=a2cosω2t
ω1-ω2=Δωは十分に小さい
ω1=ω+Δω/2、ω2=ω-Δω/2としたときのx=x1+x2の合成振動はどう求めればいいでしょうか?
加法定理を使って、

x=(a1+a2)cosωt・cosΔωt/2 -(a1-a2)sinωt・sinΔωt/2

まで来たのですがここからどうすればいいのか分からなくなりました。
Δωが十分に小さいということを使うのでしょうか?
よろしくお願いします。

A 回答 (3件)

 少しだけ変形して(変形のうちに入りませんが)、



  x=[(a1+a2)cosΔωt/2]cosωt - [(a1-a2)sinΔωt/2]sinωt

と書いてみると、Δωが関与する部分([ ]で括った部分)は振幅がゆっくり変化することを表していることが分かります。たとえΔω<<1であっても、Δωt<<1は一般的に成り立ちませんから、あとは物理的に解釈するだけでしょう。

 a1=a2なら第1項のみ残ります。(自明)
 a1>>a2のとき、a1<<a2のときは、もう少し簡潔に表せますね。
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二波「加算」でビート波形を作る場合、


 ・スペクトルを見やすいのは、先頭の式
 ・波形を見やすいのは、末尾の式
だと思いますが。

そもそも、どのような表示式にしたいのですか?
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計算機でx=x1+x2を十分細かい時間間隔でプロットすれば終わりのような気がします。

つまり近似を用いないとすればです。
(1)Δωが十分に小さいということを十分に用いるなら
cosΔωt/2=1, sinΔωt/2=0
∴x=(a1+a2)cosωt
(2)ω1-ω2=Δωは十分に小さい場合、「うなり」現象が見られ、その説明に用いられるのはa1=a2=aのケースです。このときは
x=2acosωt・cosΔωt/2
となり、cosΔωt/2がゆったりした振動をcosωtは本来の単振動をあ示します。

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%81%86%E3%81%AA% …
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