数学の宿題についてわからない点があります。

tが実数全体を動く時、直線l:y=tx-t^2 の通る範囲を図示せよ。

という問題で、どうしてこれを変形して
t^2-xt+y=0  このの判別式から 
x^2-4y≧0 
となるのでしょうか。(x、y)が動く範囲とtの動く範囲に何か関係があるのでしょうか?

A 回答 (3件)

「tが実数全体を動く」→「tが実数であるためには?」と読み替えることで理解できるかと思います。


最終的には、図示することが答えになりますが、
その手前には「tが実数であるための xとyに対する条件式を求める」という作業が必要です。この条件が「tの2次方程式が実数解を持つこと」になっています。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

とてもわかりやすかったです。
ありがとうございます!

お礼日時:2009/05/26 23:36

(x、y)が動く範囲


と考えるとわかりにくければ
あるx=x0の時に取りうるyの範囲は?

と考えれば分かりやすいかと思います

y=tx-t^2 にx=x0を代入して
y=tx0-t^2→t^2-xt+y=0 …(1)
です。

ここで、(1)の判別式がx^2-4y≧0を満たすyならば
t=(x±√(x^2-4y))/2 (実数)
を定めることにより、値を取る事が可能です

逆に
x^2-4y<0ならば(1)を満たす実数tは存在しないのでyはその範囲の値を取る事ができません
    • good
    • 0
この回答へのお礼

大変参考になりました!
ありがとうございます。

お礼日時:2009/05/26 23:36

x^2-4y≧0を満たすような(x,y)に対してはtの2次方程式t^2-xt+y=0の実数解がある。

そのようなx,y,tの組を考えると、(x,y)は直線t^2-xt+y=0つまりy=tx-t^2の上にある。
逆にx^2-4y<0であれば、tの2次方程式t^2-xt+y=0には実数解がない。つまり直線t^2-xt+y=0の式つまりy=tx-t^2をみたす実数tは存在しない。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

納得しました!
ありがとうございました。

お礼日時:2009/05/26 23:36

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q等加速度直線運動は英語で何と言うのでしょうか?

等加速度直線運動は英語で何と言うのでしょうか?
名詞がないのならそれを意味する文でもかまわないのですが…
また、等速度直線運動は何というのでしょうか?
変な質問ですみません。宜しくお願いします。

Aベストアンサー

この場合は、uniformではなく
constantと言う語彙使います。
constant acceleration movementと質問者は、
言いたいのでしょう。

日本語と同様どの分野でも適切な語彙を
用いましょう。

Q直線l:x+t(y-3)=0でtは実数です。

直線l:x+t(y-3)=0でtは実数です。

画像の2、3行目に書いてあることが理解できません。。。
なぜy=3以外のものすべてを表すのでしょうか?

また(2)はtが実数全体を動くとき、lとmの交点はどのような図形を描くかという問題なのですが、
なぜlとmが直交することを書いているのでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんばんわ。

まずは、2~3行目のところですね。
>なぜy=3以外のものすべてを表すのでしょうか?

y=・・・の形に変形してみると
y= -1/t* x+3

となりますね。
tの値がどんどん大きくなると、傾きはどんどん小さく(x軸に平行に)なりますが、
傾きが 0になることはありません。
よって、y= 3を表すことはできません。

ちなみに、t= 0のときは元の式に代入して、直線:x= 3を表すことになります。


次に解答の中盤
>なぜlとmが直交することを書いているのでしょうか?
問題で問われていることを考えれば、別に直交していることを示す必要はないと思います。
ただ、直線が必ず通る「定点」との位置関係をわかりやすくするには、書かれているとより丁寧ですね。
図示をしてみると、おのずと気づくことかもしれませんが。

Q直交する2直線

方程式2x^2-3xy+λy^2+5y+μ=0がxy平面上の直交する2直線を表すようにλ,μを定め、この2直線の方程式を求めよという問題なんですが、解き方、考え方が分かりません。
答は λ=μ=-2
  2x+y=2、2y-x=1 です。

直交する2直線が上方程式で表せれるということもよく分からないので、その辺りもよろしかったら教えてください。

Aベストアンサー

直線の式は ax+by+c=0 という風に表す、というのはOKですね。
与えられた式が(ax+by+c)(px+qy+r)=0 とできたとすると
ax+by+c=0 または px+qy+r=0 となり、2つの直線を表すことになります。
ここまでは、may-may-jpさんの回答の通りですが、ただ因数分解できるだけではλとμは特定できません。そこで必要になるのが「直交」の条件です。

直交する条件は2つの直線の傾きの積が-1になることです。
ax+by+c=0 を変形して y=(a/b)x+(c/b) ただし b≠0
同様に px+qy+c=0 を変形して y=(p/q)x+(r/q) ただし q≠0
とすると 傾きはそれぞれ a/b,p/qですか積が-1 すなわち
(a/b)・(p/q)=ap/bq = -1 ∴ ap = -bq が直交条件です。

なお、b=0(q=0)のときは直線はy軸に平行になります。このとき直交する直線はx軸と平行になり、xの係数が0 つまりp=0(a=0) になります。このときもap = -bq (=0)で成り立ちます。

さて(ax+by+c)(px+qy+r)=0 の左辺を展開すると
apx^2+bqy^2+(aq+bp)xy+(ar+cp)x+(br+cq)y+cr=0
となります。(途中の計算はご自分で確かめてください。)
ここで直交条件をみると x^2 とy^2の係数に注目すればよいことが分かります。
与式に戻って、2x^2-3xy+λy^2+5y+μ=0のx^2 とy^2の係数をみれば 2=-λ すなわちλ=-2が求められます。
これを代入して
2x^2-3xy+2y^2+5y+μ=0
これが(ax+by+c)(px+qy+r)=0 の形に因数分解できれば良いわけです。
x^2,y^2,xyの係数に注目すると
(2x+y+c)(x-2y+r)=0 --(*)という形になることは容易に分かります。
あとはx,yの係数から
2r+c=0
r-2c=5
の2式が出ますので、連立方程式を解いて
r=1, c=-2 よってμ=cr=-2
となります。
このrとcを(*)に代入すれば
(2x+y-2)(x-2y+1)=0 となり、直線の式は 2x+y-2=0,x-2y+1=0
と求まります。
答えの2x+y=2、2y-x=1 は上記の式の定数項を移行した形ですね。

直線の式は ax+by+c=0 という風に表す、というのはOKですね。
与えられた式が(ax+by+c)(px+qy+r)=0 とできたとすると
ax+by+c=0 または px+qy+r=0 となり、2つの直線を表すことになります。
ここまでは、may-may-jpさんの回答の通りですが、ただ因数分解できるだけではλとμは特定できません。そこで必要になるのが「直交」の条件です。

直交する条件は2つの直線の傾きの積が-1になることです。
ax+by+c=0 を変形して y=(a/b)x+(c/b) ただし b≠0
同様に px+qy+c=0 を変形して y=(p/q)x+(r/q) ただし...続きを読む

Q直線 x=-3-2t、y=4+t ...(1) と直線 x=-3+3t, y=-7+4t....(2)

問題1
直線 x=-3-2t、y=4+t ...(1) と直線 x=-3+3t, y=-7+4t....(2)のグラフを書き、その交点を求めよ。

問題2
直線(1)、(2)のなす角をΘ(0°≦Θ≦90°)とするとき、CosΘを求めよ。

問題3
直線(1)と(2)について、それぞれの方向余弦のうち、xの値が正であるものを求めよ。

⇔問題1はとけましたけど、問題2と3がわかりませんでした。

まず問題1は、x=-3-2t=-3+3s y=4+t=-7+4sとしました。sと置き換えたのは=とした時にtの値が同じとは限らないので、
結果
2t+3s=0 t-4s=-11となり、
t=-3、s=2となりました。
交点は(x、y)=(3.1)となりました(答)

問題2は
(1)の方向ベクトルと(2)の方向ベクトルがどのようにしたら求めてよいのか解らないのでとけませんでした。 いままで学んだ内容だと、二点P1(-1,3),P2(2,-1)をとおる媒介変数tを表せという問題をといてきて、
単純にp1p2=(x-x1,y-y1) をやって方向ベクトルをもとめ、x=x1+tl,y=y1+tmの公式にしたがってx=-1+3t,y=3-4tと方向ベクトルを求めていたのですけど、
今回はx-x1にあたる部分が題意を読んで何処なのかわかりませんでした。

題意のx=-3-2t、y=4+t (1)と(2)の式からx1の部分をー3、y1の部分を4とみるのでしょうか?
そうすると、x-x1、y-y1のx1とy1の部分はわかるのですけど、xとyが解らないので、引き算ができず、方向ベクトルが求まりませんでした。

答えをみるとl→=(-2,1)(1) m→=(-3、-4)(2)となってました。どうやったらこのように求まるのでしょうか?

問題3は手が付けられませんでした>_<

だれかこの問題詳しく教えてください、宜しくおねがいします!!>_<

問題1
直線 x=-3-2t、y=4+t ...(1) と直線 x=-3+3t, y=-7+4t....(2)のグラフを書き、その交点を求めよ。

問題2
直線(1)、(2)のなす角をΘ(0°≦Θ≦90°)とするとき、CosΘを求めよ。

問題3
直線(1)と(2)について、それぞれの方向余弦のうち、xの値が正であるものを求めよ。

⇔問題1はとけましたけど、問題2と3がわかりませんでした。

まず問題1は、x=-3-2t=-3+3s y=4+t=-7+4sとしました。sと置き換えたのは=とした時にtの値が同じとは限...続きを読む

Aベストアンサー

宿題かも知れませんが、きちんと自分でお考えのようなので。

(2)です。

直線(1)は、(x,y)=(-3,4)+t(-2,1)
直線(2)は、(x,y)=(-3,-7)+t(3,4)

と書けます。ということは、

直線(1)は、点(-3,4)を通って、ベクトル(-2,1)に平行な直線
直線(2)は、点(-3,-7)を通って、ベクトル(3,4)に平行な直線

ということなので、2直線のなす角θは、2つのベクトル(-2,1),(3,4)[←これって、それぞれの直線の方向ベクトルです。]のなす角と同じか、又は、「180°-なす角」です。すると、内積を考えて、

cosθ=(-2*3+1*4)/√(4+1)・√(9+16)
=(-2)/(5√5)
=(-2√5)/25

となります。cosがマイナスなので、θは90°よりも大きいことが判ります。今、0≦θ≦90°なので、求めたい値は、

cos(180°-θ)
=-cosθ
=2√5/25

となります。

答の中で、(2)の方向ベクトルを(-3,-4)としているのは、最初から0≦θ≦90°を考慮しているためです。

宿題かも知れませんが、きちんと自分でお考えのようなので。

(2)です。

直線(1)は、(x,y)=(-3,4)+t(-2,1)
直線(2)は、(x,y)=(-3,-7)+t(3,4)

と書けます。ということは、

直線(1)は、点(-3,4)を通って、ベクトル(-2,1)に平行な直線
直線(2)は、点(-3,-7)を通って、ベクトル(3,4)に平行な直線

ということなので、2直線のなす角θは、2つのベクトル(-2,1),(3,4)[←これって、それぞれの直線の方向ベクトルです。]のなす角と同じか、又は、「180°-なす角」です。すると、内積を考えて、

cosθ=...続きを読む

Q直線でない漸近線というものもあるのですか?

大小の円などが接している場合では一点を共有しているとしても二つの曲線がかぎりなく接近するような場合は存在しないのかなと思いました。

Aベストアンサー

参考URLの漸近線の定義によれば漸近線は直線でも曲線でも存在しますね。

f(x)=2*cosh(x)=(e^x)+e^(-x)
のx→∞時の漸近線g(x)=e^x

極座標での
r=f(θ)=1+(1/θ)
θ→∞時の漸近線r=g(θ)=1 (円)

f(x)=(x^2)+2/x
x→∞時の漸近線g(x)=x^2

などはいかがですか?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BC%B8%E8%BF%91%E7%B7%9A

Q数学Ⅱ 円と直線問、円C: x∧2+y∧2-4x-2y+3=0直線l: y=-x+k が異

数学Ⅱ 円と直線

問、円C: x∧2+y∧2-4x-2y+3=0
直線l: y=-x+k が異なる2点で交わるkの範囲は
「1〈k〈5」
また、lがCによって切り取られる線分の長さが2であるとき、定数kの値を求めよ。

解答、Cの中心をC,
Cとl の2つの交点をA, B,
線分ABの中点をM とする。

CM=√AC∧2-AM∧2=1

よって |k-3|/√2 =1

k=3±√2 。。

|k-3|/√2 =1 ←これどういう意味?

Aベストアンサー

|k-3|/√2 =1 ←これどういう意味?

これは、《 点と直線の距離の公式 》 を使っています。


点A(x₁,y₁) と 直線 ax+by+c=0 との距離dは

d=│ax₁+by₁+c│/√(a^2+b^2)

です。

x∧2+y∧2-4x-2y+3=0
(x-2)^2+(y-1)^2=2
より、円Cの中心は、点(2,1) です。
直線l を式変形して、
-x-y+k=0
となり、
これで、点(2,1) と直線 -x-y+k=0 との距離dは、
d=│-2-1+k│/√{(-1)^2+(-1)^2}=│k-3│/√2 ・・・・・①
になります。

また、Cの中心をC,
Cとl の2つの交点をA, B,
線分ABの中点をM とする。
と、
三角形CAMは、∠CMA=90° の直角三角形だから、三平方の定理より
CM=√AC∧2-AM∧2=1 ・・・・・②
になります。

d=CM なので、 ① と ② より
│k-3│/√2=1
になります。

Q中学生程度の数学の問題がまったくわかりません。基金訓練の試験問題のサン

中学生程度の数学の問題がまったくわかりません。基金訓練の試験問題のサンプルで手も足もでません。
助けてください。調べても理論がわからないのでまったく手も足もでません。泣きそうです。
どなたかご親切な方、解説をかいて教えていただけますでしょうか?
ネットに載せる関係上念のため数字を一部かえています。
助けて下さい。お願いいたします。

例)x(6x+4)+(4x+3)(3x-2)=
  (x+3)(x-3)=
(X+y+2)(X+y-2)=
5a(a-4b)-6ab=
(a+2)三乗 =

ルート13+ルート28=
(ルート8+ルート2)(3ルート6-2ルート2)=

x二乗+x-6ぶんのX二乗ーx-10=

X二乗+8X+10=0

x四乗ー5x二乗+7=0
(x-3)(x+1)=2x-8

Aベストアンサー

こんばんは No.2です

一個一個行かないと、一気には辛いと思いますよ。
中学と高校の頭くらいで、4,5年掛けてやるようなことですから^^

無理せず、ゆっくり。

ルートの中の話を。(疑問で頂いていますので)

~~~~~~
(ルート8+ルート2)(3ルート6-2ルート2) これも
普通に展開して、ルートを整理すれば大丈夫です。
 #掛け算のときに ルート の中なら中
 #外なら外同士を掛け算してくださいね
 #答えが 18√3 -12 になると思います。

の部分がまだよくわからないのです。
ルート8は2^*2で2ルート2ということはわかりました。
2ルート2+ルート2 で3ルート2でしょうか?
このあとの(3ルート6-2ルート2)の計算方法がわかりません
ルートが違うのでどのように計算したらいいのでしょうか?
~~~~~
(ルート8+ルート2)=3ルート2 で正解!

掛け算を普通にしてあげれば大丈夫ですよ。

3ルート2 ×(3ルート6-2ルート2)

これを普通に、展開してみてください♪
 #ルートの内外だけ注意してくださいね。

ルートの中身が違うときは、そのまま 別のものとして
扱ってください。
 #ここでは ルート12 が出てきます。
 #これが少し簡単にできますね (何かの2乗×何かになってます)

覚えることよりも、理解することのほうが大事ですから。
あせらず、じっくり。
No.3さんが言われてますね。
もうやっていることが、記号に変わっているだけですよ。

必ず見えてきますから。
心配しないで、着実に進んでください m(_ _)m

こんばんは No.2です

一個一個行かないと、一気には辛いと思いますよ。
中学と高校の頭くらいで、4,5年掛けてやるようなことですから^^

無理せず、ゆっくり。

ルートの中の話を。(疑問で頂いていますので)

~~~~~~
(ルート8+ルート2)(3ルート6-2ルート2) これも
普通に展開して、ルートを整理すれば大丈夫です。
 #掛け算のときに ルート の中なら中
 #外なら外同士を掛け算してくださいね
 #答えが 18√3 -12 になると思います。

の部分がま...続きを読む

Q実数全体の集合,超実数全体の集合,複素数全体の集合の包含関係は?

超実数なるものを知りました。

「公理:Rは完備順序体である
公理:R*はRの真拡大順序体である
Rを実数体,R*を超実数体と言い、それぞれの元を実数,超実数と言う」

といったものですが
実数全体の集合,超実数全体の集合,複素数全体の集合の包含関係はどうなっているのでしょうか?

また、実数は直線,複素数は縦軸を書き足して平面として表す事が出来ますよね。超実数はこれらに何を書き足して表されるのでしょうか?

Aベストアンサー

#2,#4です。

(#5さんへ)

>> いいえ、lim Δx=0(Δx→0)です。

門外漢ながら、
http://www.shinko-keirin.co.jp/kosu/mathematics/jissen/jissen18.html
に lim[Δx→+0]Δx = dx という記述があったので#4のような回答をしました。
しかし、これには私も疑問を感じます。
恐らく、下記の説明のほうがいいのではないかと思います。

正の無限小超実数を1つ選び、dx とおく。
すると、lim[x→+0] f(x) の極限値が存在するならば、
lim[x→+0] f(x) = st(f(dx)) が成り立つ。
(ここで、st(f(dx)) は 超実数 f(dx) の標準部分を表す)

>> 集合の濃度と直感との間には隔たりがありますが、
>> (実数と1:1の)直線の濃度は超実数体の濃度には足りず、
>> 実数直線に何かを足しても直感は満足できないような気がします。

これについては、#3さんと同意見です。
もし直線が実数と1:1なら、#5さんの言うとおりだと思いますが、
直線を超実数と関連付けるような定義があっても不思議ではないと思います。

(質問者さんへ)

>> 単集合A:={L∈R*;0<∀r∈R,0<∃s∈R such that 0<Δx-0<s⇒|L-Δx|<r}≠φの時,Aのたった一つの元を

{}の中の詳細は議論しないことにしますが、
たった一つの元、ということではなさそうです。
上記(#5さんへ)で書いたように、
正の無限小超実数を1つ選び、dx とおくことになると思います。
正の無限小超実数はたくさんありますが、
そのうちのどれを選んでも議論が成り立つと思います。

>> 「あらゆる正の実数 r に対して,|ε| < r が成り立つとき,εを無限小超実数と呼ぶ.
>> 注)ある実数 r に対して |ε| < r が成り立つとき,εを有限超実数と呼ぶ.」
>> は無限小超実数ならば有限超実数と解釈できるのですが私の解釈で間違いないでしょうか?

間違いないです。無限小超実数は0に無限に近い超実数のことですし、
有限超実数は有限の実数に無限に近い超実数になりますから、
無限小超実数の集合⊂有限超実数の集合 になります。

#2,#4です。

(#5さんへ)

>> いいえ、lim Δx=0(Δx→0)です。

門外漢ながら、
http://www.shinko-keirin.co.jp/kosu/mathematics/jissen/jissen18.html
に lim[Δx→+0]Δx = dx という記述があったので#4のような回答をしました。
しかし、これには私も疑問を感じます。
恐らく、下記の説明のほうがいいのではないかと思います。

正の無限小超実数を1つ選び、dx とおく。
すると、lim[x→+0] f(x) の極限値が存在するならば、
lim[x→+0] f(x) = st(f(dx)) が成り立つ。
(ここで、s...続きを読む

Q数学の問題です。(複数のルート、分数)写真の通りになります。答えは2番なのですが、解き方がわから

数学の問題です。(複数のルート、分数)

写真の通りになります。答えは2番なのですが、解き方がわからないので、解説をお願いいたします。


よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

(√2 + √3 - 1)/(√2 + √3 + 1)

答えは2番・・??
3番でないの・・!?

(√2 + √3)をひと塊と見ると計算がいくらか楽になるかも!?
先ず分母有理化をする
→(√2 + √3 - 1)^2/(4 + 2√6) = (6 + 2√6 - 2(√2 + √3))/(4 + 2√6)
分母分子に共通因数2があるので約分すると
→(3 + √6 - (√2 + √3))/(2 + √6)
もう一回分母有理化
→(√6 - 2)(3 + √6 - (√2 + √3))/2
= (√6 - 2)(√6 + 2 - (√2 + √3 - 1))/2
= (2 - (√6 - 2)(√2 + √3 - 1))/2
= 2 - (2√3 + 3√2 - √6 - 2√2 - 2√3 + 2)/2
= (√6 - √2)/2

Q図のように、直線y=1/2x+a(a>0)が直線y=2xと交わる点をA

図のように、直線y=1/2x+a(a>0)が直線y=2xと交わる点をA、x軸、y軸と交わる点をそれぞれB、Cとするとき、点Aのy座標が12のとき、線分BOの長さを求めなさい。ただし、座標の1メモリを1cmとする。

という問題です。教えてください。

Aベストアンサー

まず、点Aの座標を考えます
点A(Ax,12)と置きます
次に点Aはy=2x上の点なのでここにy=12を代入すると
12=2x
x=6
よって、点Aは(6,12)となります
次に、y=(1/2)x+aの切片aを求めます
点A(6,12)を通るので、これを式y=(1/2)x+aに代入すると
12=3+a
a=9
よって切片9となります
後はBの座標を出すのみで、B(Bx,0)とおくとy=(1/2)x+9に代入して
0=(1/2)x+9
(1/2)x=-9
x=-18
よってB(-18,0)
あとは簡単な話で、原点からの距離なので答えは18cm


人気Q&Aランキング

おすすめ情報