私の本によると4階以上の高階の交代テンソルは全てゼロとのことです。
2階の交代テンソルは成分(i,j)を入れ替えたら符号が逆になるものと定義され、3階の交代テンソルは(i,j,k)が偶置換・奇置換で符号が逆になるものと定義されています。その結果、3階のテンソルはエディントンのεに定数をかけたものとなります。

私の本には、
”高階のテンソルは2,3階のテンソルと同じように(?)定義でき、従って4階の交代テンソル(i,j,k,l) ←添え字4つ のうちの2つは等しい”という展開から4階やさらに高階テンソルは成分がゼロと進んでいきます。

”4階の交代テンソルが2,3階のテンソルと同様に定義される”という意味が分かりません。また、その結果、成分が全てゼロになるという流れも腑に落ちません。どのように考えたらよろしいでしょうか。

よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

伝わらないですねえ。

そんなに読みにくい文章だったかな?

i_1, i_2, i_3, i_4 の 4 個の添え字が、
{ 1, 2, 3 } とか、あるいは { 0, 1, 2 } とか、
ともかく何か 3 次元の各座標軸を指すラベルの集合の中から
値をとるとすれば、
(i_1, i_2, i_3, i_4) は、4 個の成分のうち
どれか少なくとも 2 個は同じ値になっているから、
(1, 2, 3, 4) の置換ではありえない~ ということです。

例えば、
i_1 = 1, i_2 = 2, i_3 = 3, i_4 = 3 であれば、
(i_1, i_2, i_3, i_4) = (1, 2, 3, 3) であって、
これは、(1, 2, 3, 4) の置換ではない。
3 がカブっているからね。

i_1, i_2, i_3, i_4 の夫々が、{ 1, 2, 3, 4 } の中から
値をとるならば、そういう問題は起こりません。
アインシュタインの 4 階交代テンソルは、そうなっています。
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この回答へのお礼

回答有難うございます。つまり、3次元空間と限定していたらそうなるということですね。私が読んでいる本は、テンソル 裳華房 石原繁著で、その41ページに載っている記述です。短いので出来だけ正確に抜粋します。
---以下抜粋
高階交代テンソル 4階、5階、...交代テンソルを2階、3階と同じように定義できるが、k>=4としてk階交代テンソルはすべて0である。例えばW(i,j,k,l)を4階交代テンソルとすれば、添え字(i,j,k,l)のうち少なくとも2つは等しい。いまi=jとすれば、
W(i,j,k,l)=W(i,i,k,l)
ところが、W(i,j,k,l)=-W(j,i,k,l)においてj=iとすればW(i,i,k,l)=-w(i,i,k,l)であるから、W(i,j,k,l)=0となり、交代テンソルは0である。
---抜粋終了
テンソル解析といわれるものは空間の次元が3以下、すなわち基底ベクトルが3つまでということが前提となっている学問なのでしょうか。工業数学のように現実のものを考えるとしたら3次元空間に限定されると思いますが、数学としてはそれが前提であるとは思えないのですが。
アインシュタインの4階交代テンソルはゼロではないのですか。先の抜粋では”4以上の高階の交代テンソルはゼロである”と明言されていると理解できるのですが。

お礼日時:2009/05/31 03:03

4 階以上の交代テンソルも、問題なく定義できる。



n 階テンソルは、n 個の添え字を持つが、
n 階のエディントン ε は、その第 i_1, i_2, …, i_n 成分 ε(i_1, i_2, …, i_n) の値が~
[1] (i_1, i_2, …, i_n) が (1, 2, …, n) の遇置換であるとき、ε(i_1, i_2, …, i_n) = 1。
[2] (i_1, i_2, …, i_n) が (1, 2, …, n) の奇置換であるとき、ε(i_1, i_2, …, i_n) = -1。
[3] (i_1, i_2, …, i_n) が (1, 2, …, n) の置換ではないとき、ε(i_1, i_2, …, i_n) = 0。
~というもの。

n 階の交代テンソルは、n 階のエディントン ε の定数倍である。
実際、相対論では、4階の ε を使う。


もしかして、質問の「私の本」では、各添え字の変域が n より小さくないですか?
反変ベクトルが、3 次元空間の位置ベクトルだったりして。

それだと、(i_1, i_2, i_3, i_4) は、全ての添え字が異なる値にはなれないから、
(1, 2, 3, 4) の置換ではありえない。
つまり、全ての成分が、上の [3] の場合となり、0 である。
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    • 0
この回答へのお礼

回答有難うございます。私が考えいることと大体一致しておりますが、問いの根源は、
”それだと、(i_1, i_2, i_3, i_4) は、全ての添え字が異なる値にはなれないから”
に集約されます。”それ”とは、”n 階の交代テンソルが、n 階のエディントン ε の定数倍である。”ということでしょうか。必ず添字が一致するということになると、ゼロになるのはεの定義から承認されます。定数倍のところは任意だと思いますので4階以上のエディントンεは添字の一致により定義からゼロとなるということですね。どうしてでしょうか。私は簡単なことがわかっていないみたいです。

お礼日時:2009/05/28 10:21

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Q行列の不変量

1.階数
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これらは全て行列の不変量と考えますが、正しいですか。
またこれ以外にも行列の不変量がありますか。

Aベストアンサー

>1.階数
>2.トレース
>3.行列式
>4.重複を含めた固有値

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1は4から導けないので、別の不変量。
従って基本的な不変量は2個

だと思います。

相似に関して他の不変量は知らないです。

Qにゃんこ先生の自作問題、1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,…の一般項をガウス記号を用いて書くには?

にゃんこ先生といいます。

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とすると、
第k群の最後の項は、
1+2+…+k=k(k+1)/2
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(k-1)k/2 < n ≦ k(k+1)/2
をkについて解けばいいのですが、具体的にはどうかけるのでしょうか?

また、
1,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,5,…
という群数列の一般項を、ガウス記号などを用いて書くとどうにゃるのでしょうか?

Aベストアンサー

※再訂正
ANo.1の結果
  An = k = [k] = [1 + √(8n - 7)]
   訂正 ⇒ An = [(1 + √(8n - 7))/2]

※追加
Excelで確認してみました.第16項まで表示しています.
○1つ目の群数列
n  (-1 + √(8n + 1))/2   (1 + √(8n - 7))/2    An
1      1            1            1
2      1.562          2            2
3      2            2.562          2
4      2.372          3            3
5      2.702          3.372          3
6      3            3.702          3
7      3.275          4            4
8      3.531          4.275          4
9      3.772          4.531          4
10      4            4.772          4
11      4.217          5            5
12      4.424          5.217          5
13      4.623          5.424          5
14      4.815          5.623          5
15      5            5.815          5
16      5.179          6            6

○2つ目の群数列
n   log(n + 1)/log2      log2n/log2       An
1      1            1            1
2      1.585          2            2
3      2            2.585          2
4      2.322          3            3
5      2.585          3.322          3
6      2.807          3.585          3
7      3            3.807          3
8      3.170          4            4
9      3.322          4.170          4
10      3.459          4.322          4
11      3.585          4.459          4
12      3.700          4.585          4
13      3.807          4.700          4
14      3.907          4.807          4
15      4            4.907          4
16      4.087          5            5

切り上げの関数を用いれば,左側でも表せますね.

※再訂正
ANo.1の結果
  An = k = [k] = [1 + √(8n - 7)]
   訂正 ⇒ An = [(1 + √(8n - 7))/2]

※追加
Excelで確認してみました.第16項まで表示しています.
○1つ目の群数列
n  (-1 + √(8n + 1))/2   (1 + √(8n - 7))/2    An
1      1            1            1
2      1.562          2            2
3      2            2.562          2
4      2.372          3  ...続きを読む

Qピタゴラスの定理に出てくるふたつの不変量の間の関係

ピタゴラスの定理を考える直角三角形の斜辺とそれぞれの残りの辺が作る角度の和はπ/2と一定ですが、この不変量と斜辺の長さを一定にしたときのピタゴラスの定理によって示される残りの2辺の二乗の和が斜辺の二乗に等しいという不変量との関係はどのように理解すればよいのでしょうか。角度が面積に対応しているようにも思えるのですが・・・

Aベストアンサー

ANo1 です。
三角形ABCの外側に,正方形 BCC1B1,CAA2C2,ABB3A3 をかく。
さらに,ABCと合同な三角形A1B1C1,A2B2C2,A3B3C3 をかく。
正方形BCC1B1の面積は,2つの平行四辺形ABB1A1とACC1A1の和に等しい。
他の正方形についても同様。
平行四辺形ABB1A1はCBB3C3と合同。
平行四辺形ACC1A1はBCC2B2と合同。
ゆえに,正方形CAA2C2+ABB3A3-BCC1B1=平行四辺形ABB2A2×2
したがって
∠BAC=一定 ⇔ ∠ABB2=一定 ⇔ (CA^2+AB^2-BC^2)/(AB×AC)=一定

余弦定理を使ってよければ
∠A=一定 ⇔ (b^2+c^2-a^2)/(2bc)=cosA=一定
というだけのことです。

上の説明の図をかくと,余弦定理の(ピタゴラスの定理を用いない)証明になっています。

Qaベクトル=(1,2,1) bベクトル=(2,3,1) cベクトル=(3,5,2) について k・a

aベクトル=(1,2,1)
bベクトル=(2,3,1)
cベクトル=(3,5,2)
について
k・aベクトル+l・bベクトル+m・cベクトル=0ベクトル
になるのが
k+m=0
l+m=0
であり、この解がk=m,l=m,m=m (mは任意の実数)
となって
-m・aベクトル-m・bベクトル+m・cベクトル=0ベクトル
より、cベクトル=aベクトル+bベクトル
と参考書ではしていたのですが、なぜ
「k・aベクトル+l・bベクトル+m・cベクトル=0ベクトル」を考察することにより「cベクトル=aベクトル+bベクトル」という関係を見出すことができたのですか?

Aベストアンサー

> k・aベクトル+l・bベクトル+m・cベクトル=0ベクトル

この式の意味が解っているのですか?
0ベクトルってどういう状態?
例えば、原点からベクトルaでk倍動き、そこからベクトルbでl倍動き、そこからベクトルcで倍動いた、って事ですよね。
適当に図示して下さい。
それが0ベクトルになる。
どういう軌跡を描くでしょう?

この問題は、aベクトル+bベクトルを計算すると、=cベクトルになっちゃうところがミソというかオチです。
そんな難しいことを考察しなくても、丁度あなたがここに書いたベクトルの成分を、aとbで足してやればcになっている。
あなたのように縦に並べちゃうと問題にならない。きっと問題では横に並べていたでしょう。(笑)
つまり、たったこれだけの操作で見えてくることってあるんです。

Qトーラス上のエータ不変量

先ほどの質問で誤りがありましたので訂正させて頂きます。トーラスS1上で
 D = -i d/dt + a  ( 0 < a ≦ 2π)
の固有関数 exp(2πint) と固有値2πn+a に対して

  η(s) = Σsgn(2πn+a)/|2πn+a|^s  (1)

という無限和を考えます(n∈Z)。このとき
  η(0)/2 = a/2π
はエータ不変量と呼ばれ、Dのスペクトル不変量になるとされます。しかし(1)で s=0 とおけば
  η(0) = 1 - 1 + 1 - 1 + …
という収束しない級数になるのではないでしょうか。チェザロ総和をとっても1/2になり、a/πにはなりません。どうしてこれが a/πになるのでしょうか。また中原幹夫「理論物理学のための幾何学とトポロジーII」p.138ではディラック作用素のエータ不変量が
    η(s) = Σsgn(λk)/|λk|^2s  (2)
で定義されていますが、なぜ(1)と(2)は違うのでしょうか。

Aベストアンサー

少し補足お願いしたいのですが例えばa=2πでn=-1のときηはどのように定義されているのでしょうか。おそらくリーマンゼータと同じように解析接続した上で0での値を求めていると思われますがこのままでは上のa=2πに対してはすべてのsに対して発散してしまうように思います。

Qにゃんこ先生の自作問題、Σ[a≠b,b≠c,c≠a, a,b,c∈{1,2,3,…,n}]abc

にゃんこ先生といいます。

a,b,c∈{1,2,3,…,n}
とします。

Σ[a≠b]ab
={Σ[k=1~n]k}^2 - Σ[k=1~n]k^2
={n(n+1)/2}^2 - n(n+1)(2n+1)/6
=n(n+1)(3n^2-n-2)/12

Σ[a<b]ab
=(1/2)Σ[a≠b]ab
=n(n+1)(3n^2-n-2)/24

Σ[a≦b]ab
=Σ[a<b]ab + Σ[a=b]ab
=n(n+1)(3n^2-n-2)/24 + n(n+1)(2n+1)/6
=n(n+1)(3n^2+7n+2)/24

ですが、
Σ[a≠b,b≠c,c≠a]abc

Σ[a<b<c]abc

Σ[a≦b≦c]abc
また、それらをm変数に拡張したものはどういった公式ににゃるのでしょうか?
にゃにかうまい考えがある気がするのですが、思いつきません。

Aベストアンサー

>それらをm変数に拡張したものはどういった公式ににゃるのでしょうか?

m変数に拡張したものは、次のようになりました。

f(n,m)=Σ[a[1]≦a[2]≦…≦a[m]](a[1]*a[2]*…*a[m]) とすると、
f(n,m)=S(n+m,n).
(S(n,k)は第二種スターリング数)
http://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberoftheSecondKind.html

計算例:
f(n,10)
=(99*n^9+1485*n^8+6930*n^7+8778*n^6-8085*n^5-8195*n^4+11792*n^3
-2068*n^2-2288*n+768)*(n+10)!/(367873228800*(n-1)!)


g(n,m)=Σ[a[1]<a[2]<…<a[m]](a[1]*a[2]*…*a[m]) とすると、
g(n,m)
=(-1)^m*s(n+1,n-m+1)
=(-1)^m*Σ[j=0,m]Σ[i=0,j](-1)^i/(j!)*i^(j+m)*comb(j,i)*comb(j+n,j+m)*comb(n+1+m,m-j).
(s(n,k)は第一種スターリング数)
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3563977.html
http://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberoftheFirstKind.html

計算例:
g(n,10)
=(99*n^9-594*n^8-1386*n^7+6468*n^6+14091*n^5-12826*n^4-44132*n^3
-18392*n^2+14432*n+7680)*(n+1)!/(367873228800*(n-10)!).


h(n,m)=Σ[1≦i<j≦m をみたす全てのi,jに対してa[i]≠a[j]](a[1]*a[2]*…*a[m])
とすると、
h(n,m)=(m!)*g(n,m).

>それらをm変数に拡張したものはどういった公式ににゃるのでしょうか?

m変数に拡張したものは、次のようになりました。

f(n,m)=Σ[a[1]≦a[2]≦…≦a[m]](a[1]*a[2]*…*a[m]) とすると、
f(n,m)=S(n+m,n).
(S(n,k)は第二種スターリング数)
http://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberoftheSecondKind.html

計算例:
f(n,10)
=(99*n^9+1485*n^8+6930*n^7+8778*n^6-8085*n^5-8195*n^4+11792*n^3
-2068*n^2-2288*n+768)*(n+10)!/(367873228800*(n-1)!)


g(n,m)=Σ[a[1]<a[2]<…<a[m]](a[1]*a[2]*…*a[m...続きを読む

Qテンソルの等方性について

数物系でよく出てくるテンソルですが、等方性を仮定するとした場合、制約がついてくるようです。
例えば2階のテンソルは、その表現は通常のマトリックスのようにPi,jとなると思います。これに等方性を仮定すると、
Pi,j=Aδi,j ここでδはクロネッカーのデルタです。これはどのようにして証明できるでしょうか。
テンソルを考える上でも基底ベクトルがあってそれによってテンソルの各成分Pi,jの表現が決まってくると思います。基底ベクトルを回転させても成分が常に同じとなる、というのが等方性だと私は思っているのですが。テンソルの成分変換もテキストには載っているので、変換前後で同じになるための条件を見ればいいのかなと思いますが、なんとなくうまくいきません。すべて勘違いかも知れません。
どうでしょうか。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>基底ベクトルを回転させても成分が常に同じとなる、
>というのが等方性だと私は思っているのですが。

ここまでわかってるなら答えは出ているようなものだと思いますが。
二階のテンソルの要件は座標変換

A' = U^T A U

にしたがうこと。
ここで、座標変換行列Uは実直交行列なので転置行列が逆行列U^T U = U U^T = E。
ゆえに、Aが単位行列Eのa倍、つまりA = aE なら

A' = U^T A U = a U^T E U = a U^T U = aE = A

Q線形代数のベクトルの問題について質問です 問題 ベクトルa=(2,3,-1),b=(3,1,2),c

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ベクトルa=(2,3,-1),b=(3,1,2),c=(5,4,3)について、次を求めよ。

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(2)cとx軸のなす角θを求めよ。

解答
π/4
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「並行」じゃなくて「平行」な.

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再びNo.1です。
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Q1,1,2,2,2,3のカードを・・・

1,1,2,2,2,3の各数の書かれた6枚のカードを3枚選んで3桁の整数を作るとき、それが3の倍数である確率を求めよという問題なのですが、解法について分からない部分があります。教えてください。
まず、すべての場合は「6P3(通り)」というのは分かるのですが、
(1)カードが1,2,3のとき、2×3×3!というのが分かりません。なぜ、最後が3!なのでしょうか。
(2)2,2,2の場合は3!というのは分かります。
どなたかお願いいたします。

Aベストアンサー

(1)
まずですね、1,2,3の数字ひとつづつで出来る3桁の整数は、

123
132
213
231
312
321

の6通りになります。
計算すればすぐ分かりますが全部3の倍数です。
つまり1,2,3は、どの順番でも3の倍数と言うことになります。

と、言うことで1,2,3の三つの数字の全ての組み合わせをもとめるのが
「3!」の正体です。

そんで、1のカードが2枚、2のカードが3枚あるので、
式としては2×3×3!となるのです。


こんなんで分かるかな??(^_^;)


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