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私の本によると4階以上の高階の交代テンソルは全てゼロとのことです。
2階の交代テンソルは成分(i,j)を入れ替えたら符号が逆になるものと定義され、3階の交代テンソルは(i,j,k)が偶置換・奇置換で符号が逆になるものと定義されています。その結果、3階のテンソルはエディントンのεに定数をかけたものとなります。

私の本には、
”高階のテンソルは2,3階のテンソルと同じように(?)定義でき、従って4階の交代テンソル(i,j,k,l) ←添え字4つ のうちの2つは等しい”という展開から4階やさらに高階テンソルは成分がゼロと進んでいきます。

”4階の交代テンソルが2,3階のテンソルと同様に定義される”という意味が分かりません。また、その結果、成分が全てゼロになるという流れも腑に落ちません。どのように考えたらよろしいでしょうか。

よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

伝わらないですねえ。

そんなに読みにくい文章だったかな?

i_1, i_2, i_3, i_4 の 4 個の添え字が、
{ 1, 2, 3 } とか、あるいは { 0, 1, 2 } とか、
ともかく何か 3 次元の各座標軸を指すラベルの集合の中から
値をとるとすれば、
(i_1, i_2, i_3, i_4) は、4 個の成分のうち
どれか少なくとも 2 個は同じ値になっているから、
(1, 2, 3, 4) の置換ではありえない~ ということです。

例えば、
i_1 = 1, i_2 = 2, i_3 = 3, i_4 = 3 であれば、
(i_1, i_2, i_3, i_4) = (1, 2, 3, 3) であって、
これは、(1, 2, 3, 4) の置換ではない。
3 がカブっているからね。

i_1, i_2, i_3, i_4 の夫々が、{ 1, 2, 3, 4 } の中から
値をとるならば、そういう問題は起こりません。
アインシュタインの 4 階交代テンソルは、そうなっています。
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この回答へのお礼

回答有難うございます。つまり、3次元空間と限定していたらそうなるということですね。私が読んでいる本は、テンソル 裳華房 石原繁著で、その41ページに載っている記述です。短いので出来だけ正確に抜粋します。
---以下抜粋
高階交代テンソル 4階、5階、...交代テンソルを2階、3階と同じように定義できるが、k>=4としてk階交代テンソルはすべて0である。例えばW(i,j,k,l)を4階交代テンソルとすれば、添え字(i,j,k,l)のうち少なくとも2つは等しい。いまi=jとすれば、
W(i,j,k,l)=W(i,i,k,l)
ところが、W(i,j,k,l)=-W(j,i,k,l)においてj=iとすればW(i,i,k,l)=-w(i,i,k,l)であるから、W(i,j,k,l)=0となり、交代テンソルは0である。
---抜粋終了
テンソル解析といわれるものは空間の次元が3以下、すなわち基底ベクトルが3つまでということが前提となっている学問なのでしょうか。工業数学のように現実のものを考えるとしたら3次元空間に限定されると思いますが、数学としてはそれが前提であるとは思えないのですが。
アインシュタインの4階交代テンソルはゼロではないのですか。先の抜粋では”4以上の高階の交代テンソルはゼロである”と明言されていると理解できるのですが。

お礼日時:2009/05/31 03:03

4 階以上の交代テンソルも、問題なく定義できる。



n 階テンソルは、n 個の添え字を持つが、
n 階のエディントン ε は、その第 i_1, i_2, …, i_n 成分 ε(i_1, i_2, …, i_n) の値が~
[1] (i_1, i_2, …, i_n) が (1, 2, …, n) の遇置換であるとき、ε(i_1, i_2, …, i_n) = 1。
[2] (i_1, i_2, …, i_n) が (1, 2, …, n) の奇置換であるとき、ε(i_1, i_2, …, i_n) = -1。
[3] (i_1, i_2, …, i_n) が (1, 2, …, n) の置換ではないとき、ε(i_1, i_2, …, i_n) = 0。
~というもの。

n 階の交代テンソルは、n 階のエディントン ε の定数倍である。
実際、相対論では、4階の ε を使う。


もしかして、質問の「私の本」では、各添え字の変域が n より小さくないですか?
反変ベクトルが、3 次元空間の位置ベクトルだったりして。

それだと、(i_1, i_2, i_3, i_4) は、全ての添え字が異なる値にはなれないから、
(1, 2, 3, 4) の置換ではありえない。
つまり、全ての成分が、上の [3] の場合となり、0 である。
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この回答へのお礼

回答有難うございます。私が考えいることと大体一致しておりますが、問いの根源は、
”それだと、(i_1, i_2, i_3, i_4) は、全ての添え字が異なる値にはなれないから”
に集約されます。”それ”とは、”n 階の交代テンソルが、n 階のエディントン ε の定数倍である。”ということでしょうか。必ず添字が一致するということになると、ゼロになるのはεの定義から承認されます。定数倍のところは任意だと思いますので4階以上のエディントンεは添字の一致により定義からゼロとなるということですね。どうしてでしょうか。私は簡単なことがわかっていないみたいです。

お礼日時:2009/05/28 10:21

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行列積の場合、
AB の第 (i,j) 成分は、(AB)[i,j] = Σ{k=1…n} A[i,k] B[k,j]
BA の第 (i,j) 成分は、(BA)[i,j] = Σ{k=1…n} B[i,k] A[k,j]
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(BA)[i,j] = B[i,1] A[1,j] + B[i,2] A[2,j] + B[i,3] A[3,j] + A[i,4] B[4,j]
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で、この二つは、確かに違います。

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(AB)[i,j] = A[i,1] B[1,j] + A[i,2] B[2,j] + A[i,3] B[3,j] + A[i,4] B[4,j]
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こんにちは。

疑問点がはっきり把握できませんが、次のように全体を説明できると思います。

(x1,x2,x3)はj=1の表現の基底ですから、
x_i×x_j はテンソル積表現1×1の基底になります。
この表現は可約で、クレプシュゴルダンの定理により

1×1 = 2 + 1 + 0

と既約表現に分解できます。

x_i×x_j をならべた行列をAとすると、Iを単位行列として、

A = {(A+A^t)/2 -(trA)I} + (A-A^t)/2 + (trA)I

という恒等式が成立します。(右辺を計算すれば明らかにAになります。)

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x_i×x_j はテンソル積表現1×1の基底になります。
この表現は可約で、クレプシュゴルダンの定理により

1×1 = 2 + 1 + 0

と既約表現に分解できます。

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C=A×B=(c_i)

は鏡像変換(座標の符号反転)に関して不変なので,正確にはベクトルではありません.このようなベクトルを軸性ベクトルといいます.これに対し普通のベクトルは極性ベクトルといいます.

外積は1階テンソルでもなければ何階なのか.それは2階です.しかも,2階反対称テンソルです.

2つの極性ベクトルAとBの外積C=(c_i)には,対応した反対称テンソルc_{ij}があって

c_{ij}=a_ib_j-a_jb_i

となります.c_iとの関係は

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となります.ここに

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は3次元完全反対称3階擬テンソルです.

※軸性ベクトルの例は,回転座標系の角速度ベクトルωや磁場ベクトルBがあります.これらが軸性ベクトルであるのは

v=ω×rやF=ev×B(e:電荷)

において,位置ベクトルr,速度ベクトルv,力のベクトルFが普通のベクトル(極性ベクトル)であることからわかります.ωやBにはこれらの3つの成分からつくられる2階反対称テンソルが対応します.

3階ではありませんね.

2つのベクトルA=(a_i),B=(b_i)の外積

C=A×B=(c_i)

は鏡像変換(座標の符号反転)に関して不変なので,正確にはベクトルではありません.このようなベクトルを軸性ベクトルといいます.これに対し普通のベクトルは極性ベクトルといいます.

外積は1階テンソルでもなければ何階なのか.それは2階です.しかも,2階反対称テンソルです.

2つの極性ベクトルAとBの外積C=(c_i)には,対応した反対称テンソルc_{ij}があって

c_{ij}=a_ib_j-a_jb_i

となります.c_iとの関係は

c_i=Σ_jΣ_k(1...続きを読む

Qピタゴラスの定理に出てくるふたつの不変量の間の関係

ピタゴラスの定理を考える直角三角形の斜辺とそれぞれの残りの辺が作る角度の和はπ/2と一定ですが、この不変量と斜辺の長さを一定にしたときのピタゴラスの定理によって示される残りの2辺の二乗の和が斜辺の二乗に等しいという不変量との関係はどのように理解すればよいのでしょうか。角度が面積に対応しているようにも思えるのですが・・・

Aベストアンサー

ANo1 です。
三角形ABCの外側に,正方形 BCC1B1,CAA2C2,ABB3A3 をかく。
さらに,ABCと合同な三角形A1B1C1,A2B2C2,A3B3C3 をかく。
正方形BCC1B1の面積は,2つの平行四辺形ABB1A1とACC1A1の和に等しい。
他の正方形についても同様。
平行四辺形ABB1A1はCBB3C3と合同。
平行四辺形ACC1A1はBCC2B2と合同。
ゆえに,正方形CAA2C2+ABB3A3-BCC1B1=平行四辺形ABB2A2×2
したがって
∠BAC=一定 ⇔ ∠ABB2=一定 ⇔ (CA^2+AB^2-BC^2)/(AB×AC)=一定

余弦定理を使ってよければ
∠A=一定 ⇔ (b^2+c^2-a^2)/(2bc)=cosA=一定
というだけのことです。

上の説明の図をかくと,余弦定理の(ピタゴラスの定理を用いない)証明になっています。

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交代級数
f(x)=a_0-a_1x+a_2x^2-a_3x^3+…
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cosなどは上の定義でいう交代級数にはなっていないですが、似たような形の級数で、ゼロ点の位数は1位です。このようなことがより一般的に言えないかと考えています。何か参考になりそうなことがありましたらご教示賜りたいと思います。

Aベストアンサー

勘違い&計算ミスをしているかもしれませんが、、、

反証としては、a>0,f(a)=f'(a)=f''(a)=0,f'''(a)<0となる関数が見つかれば十分ですよね?

だとすれば、

f(x)
=2e^(-x)-e^(-a)x^2+2(1+a)e^(-a)x-(2+2a+a^2)e^(-a)+e^(-a)(x-a)^3/6
={2+(a^3/6-a^2-2a-2)e^(-a)}-{2+(a^2/2-2a-2)e^(-a)}x+{1+(a/2-1)e^(-a)}x^2-{(2-e^(-a)/6}x^3+Σ[n=4 to ∞]{2(-1)^n/n!}x^n

は、aを十分大きくすれば、反証になっていませんか?(x_0=aです)

ちなみに、
f'''(x)=-2e^(-x)を積分して、f''(a)=0となるように積分定数を決定
→さらに積分して、f'(a)=0となるように積分定数を決定
→さらに積分して、f(a)=0となるように積分定数を決定
すると、十分大きなaに対して、
a_1<a_0<a_2<a_3<a_4<・・・
となっていた(a_1,a_0の大小関係だけが逆だった)ので、
e^(-a)(x-a)^3/6を足してみたら、
a_0<a_1<a_2<a_3<a_4<・・・
のようにa_0,a_1の大小関係だけが上手く入れ替わった、という感じで見つけたものです。

上では、計算ミスしているかもしれませんが、この手順で反証が見つかりそうな気がします。

参考になるかどうかは分かりませんが。。。

勘違い&計算ミスをしているかもしれませんが、、、

反証としては、a>0,f(a)=f'(a)=f''(a)=0,f'''(a)<0となる関数が見つかれば十分ですよね?

だとすれば、

f(x)
=2e^(-x)-e^(-a)x^2+2(1+a)e^(-a)x-(2+2a+a^2)e^(-a)+e^(-a)(x-a)^3/6
={2+(a^3/6-a^2-2a-2)e^(-a)}-{2+(a^2/2-2a-2)e^(-a)}x+{1+(a/2-1)e^(-a)}x^2-{(2-e^(-a)/6}x^3+Σ[n=4 to ∞]{2(-1)^n/n!}x^n

は、aを十分大きくすれば、反証になっていませんか?(x_0=aです)

ちなみに、
f'''(x)=-2e^(-x)を積分して、f''(a)=0となるように積分...続きを読む

Q座標変換について (テンソル解析)

高度な数学の質問になります。宜しくお願いします。
テンソル解析をしていて出てきた疑問です。

yi=f(x1,x2,x3)
によって、x1,x2,x3がy1,y2,y3による新しい変数へ変換される、座標変換を考えます。

逆変換を
x1=g(y1,y2,y3)
とします。
このような変換が、変数(x1,x2,x3)のある領域Rにおいて可逆であり、1対1対応をもつための条件が

(1)Rにおいて関数fは一価、連続であり、連続な偏導関数をもつこと

(2)関数行列式(ヤコビアン)Jが領域Rのいかなる点においても0にならないこと

となる理由を教えて欲しいのですが。
微積の教科書を洗ってみましたが、基礎教養の微積でしたので、書いてありませんでした。

どうか、数学に詳しい方、詳しく教えてください。宜しくお願いします。

なお、このことが詳しく書いてあるリンクを教えてくださっても結構でございます。宜しくお願いします。

Aベストアンサー

http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_function_theorem

Qゼロ/ゼロ=ゼロ ですか?

ゼロのゼロ乗は定義されていなかったと思うのですが、
先日テレビのクイズで、問題を解くキーが

―=0

だから・・・というものだったんです。

分母が0なら、分子が何であれ∞
分子が0なら、分母が何であれ0

であれば、ゼロ/ゼロは、ゼロのゼロ乗と同じように定義できないのでは、、、?
初歩的な質問ですいません。数学を離れて永いもんで。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

0で割る計算ができないことは,定義や決まりではありません.

1.0倍したらなんでも0
2.割り算は掛け算の逆算(12÷3=4のときは「三四 十二」と唱える)

このことから簡単に導かれる「性質」です.

まず,割り算は掛け算の逆算です.
つまり
12÷3=4
の根拠は
12=3×4
なのです.これは両辺を3倍したのではなく単純な書き換えですよ.

ということは
0÷0=□
の根拠は,やはり割り算は掛け算の逆算という定義に従って,掛け算に書き換えて,
0=0×□
のはずです.
ここで,「0倍したらなんでも0」
でしたから,□に入る数は任意の数で,定まりません.
定まらないことを漢字2文字で「不定」といいます.

同様に
1÷0=□
の根拠は
1=0×□
のはずです.
「0倍したらなんでも0」
ですから□に入る数はありません.
数学ではしばしは「不能」と表現します.

また,極限の問題とは無関係です(参考URL)

参考URL:http://d.hatena.ne.jp/kurobe3463/20050327

0で割る計算ができないことは,定義や決まりではありません.

1.0倍したらなんでも0
2.割り算は掛け算の逆算(12÷3=4のときは「三四 十二」と唱える)

このことから簡単に導かれる「性質」です.

まず,割り算は掛け算の逆算です.
つまり
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の根拠は
12=3×4
なのです.これは両辺を3倍したのではなく単純な書き換えですよ.

ということは
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の根拠は,やはり割り算は掛け算の逆算という定義に従って,掛け算に書き換えて,
0=0×□
のはずです.
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