数学の問題について質問させてください。
以下の問題がどのように考えていいのかわかりません。
だれかアドバイスおねがいします。

問 f(x)=ax^4+bx^2+c(a≠0)が極大値をもつためのa,b,cに関する条件を求めよ。

自分の考え(途中まで)
f'=4ax^3+2bx
=2x(2ax^2+b)
ここからどのようにすればいいのでしょうか?

教えてください。

A 回答 (6件)

#3です。


A#3の前半のa=0のところは、問題の式の後にa≠0と書いてあるのを確認したつもりが見落としていました。

#4さん、指摘ありがとう。
(訂正前に締め切られなくて良かったです。)

#1さんのA#1の解答どおりa=0は考慮する必要はありませんので
訂正します。

> 答えは
> a>0かつb<0 ←正しい
> a≧0かつb<0 ←間違い
> または
> a<0
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 #1です。


 補足を拝見しました。

>cに関しての条件についてはどのようにすればいいのでしょうか?

 もうお分かりの通り、cについては、グラフを上下させるだけですので、極大値の個数には関係ありません。
 従って、cについてはなんの条件も得られないので、<記載しない> か あるいは 「c:実数」 と書く事になると思います。
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>a=0の場合がぬけていますので



当然だろう。条件に“a≠0”って書いてある。
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A#1さんの解で


a=0の場合がぬけていますので、以下の場合の解
a=0,b<0を含めて伊かのようになります。

答えは
a≧0かつb<0 
または
a<0
------------------------------------------
a=0,b<0のとき
f(x)=bx^2+cも最大値f(0)を持つ。

>cに関しての条件についてはどのようにすればいいのでしょうか?
cはグラフ全体をy軸方向に上下させる役割しかしていませんので、
最大値をcの分、かさ上げしますが、最大値を持つ条件には影響しません。
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まずは


f'(x)=0
の解の個数で場合分けして、その際にf(x)がどのようになるか(f'(x)の変化を考えて)を調べればよいかと

まあ、f''(x)を出して考えてもいいですが
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 先ず、aの正負によって場合分けしましょう。


 (a>0のとき、グラフの形はωのような形になり、a<0のときωを逆さにしたような形になります。)

1) a>0のとき:
  f(x)が極大値を持つためには、極値を3つ持たなければなりません。
  これを数式で考えると、f'(x)=0を満たす実解が3つなければならないことになります。

   f'(x)=2ax(x^2+b/a)=0 ですので、
     b/a<0
   ∴ b<0  (∵a>0)
ということになります。
 このとき、極値は x=0、±√(-b/a) と3つ持ち、極大値を持つことになります。

2) a<0のとき:
  f(x)のグラフの形は、ωを逆さにしたような形になりますので、パラメータa,b,cがどんな値であっても必ず最大値を持ちますので、極大値を持ちます。
  従って、a<0のときは、b、cについての条件はないことになります。

 以上をまとめますと、次のようになると思います。

  a>0かつb<0 または a<0

この回答への補足

回答ありがとうございます。
cに関しての条件についてはどのようにすればいいのでしょうか?

cはもともと定数なので、微分すれば0となり、プラスでもマイナスでも関係ないのでしょうか?

a>0かつb<0 または a<0
cは±関係ないとすればいいのでしょうか?

補足日時:2009/05/27 18:37
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