2つの問に対する,詳細な解説をお願いします.

(あ)与えられた3つの整数a,a+1,a+2について,このうちひとつの整数が3で割り切れることを示せ.
(い)a,b,cを整数とし,cはaもbも割り切るとする.このとき任意の整数x,yについて,cは(xa+yb)を割り切ることを示せ.

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A 回答 (4件)

割り切れるということは、どういうことかを考えればわかります。


aがcで割り切れるとは、ある整数qが存在して、a=q・cとなることです。これは余りがないことと同じですが、単に余りがないというだけでは具体性に欠けます。
(あ)背理法で行きましょう。
3つの整数a,a+1,a+2がいずれも3で割り切れないと仮定
する。このとき、余りは1か2の2通りです。
3つとも余りが1か2とすると、どれか2つは、余りが同じになり
ます。すると、その2つの整数に対する商が異なることになります。
商が異なると、2つの整数は少なくとも差は3です。問題の整数は
高々2しか差はありませんから矛盾します。したがって、どれかは3で割り切れなければならないことになります。
(い)cがaもbも割り切るならば、a=m・c、b=n・cとなる
整数m、nが存在する。したがって、
(xa+yb)=xmc+ync=(xm+yn)c
となるから、cで割り切れる。
少し説明しすぎてしまいました。これでわかりますか。
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ヒントだけ


(あ)
整数aを3で割った余りを考えます。
 a)余り0の場合→説明するまでもありませんね。
 b)余りが1の場合→a+2がどうなるか考えてみましょう。
 c)余りが2の場合→a+1がどうなるか考えてみましょう。

(い)
 cがaもbも割り切ることができるとすると、a,bはそれぞれ
 a=lc
b=mc
(m,lは任意の整数)
と表すことができます。これを(xa+yb)に代入して式を整理すると・・・?
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(あ)は難しくないですよ。


いろんな論証がありますが,一番単純なのは,a=3k,3k+1,3k+2(kは整数)の3通りを計算すると必ず3の倍数になるものがあります。
また,連続したn個の整数の中に1つnの倍数があります。これは,nで割った余りは0からn-1のn個で,数字が1大きくなれば余りは1大きくなる(nになれば割り切れるので0)ことから示せます。

(い)cはaもbも割り切るので,a=ck,b=clと書ける。(k,lは整数)
従って,xa+yb=xck+ycl=c(xk+yl)となるのでcはxa+ybを割り切る。
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(あ) … 具体的な a をいくつか考えてみれば自明です。


(い) … さらに自明です
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