区分求積の問題

数年前の日本女子大の過去問で区分求積法を利用するらしいのですが、わからない問題があります。どなたかご教授お願いします。

lim(n→∞) {(n+1)^k+(n+2)^k+(n+3)^k+・・・+(n+2n)^k}/{1^k+2^k+3^k+・・・+(2n)^k}

区分求積を使わずに無理やり極限を利用して答えが「2」ではないかと予想していますがどうでしょうか？
よろしくお願い致します。

No.2 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2009/05/27 23:39

答えからkが消えているのはおかしいと思います。

lim(n→∞) {(n+1)^k+(n+2)^k+(n+3)^k+・・・+(n+2n)^k}/{1^k+2^k+3^k+・・・+(2n)^k}
=lim(n→∞)[Σ(i=1,2n)(1+i/n)^k]/[Σ(i=1,2n)(i/n)^k}
=∫(1→3)x^kdx/∫(0→2)x^kdx
でNo.1さんの結果と一致します。

この回答へのお礼

理解できました！！！

2行目の全ての項をn^kで割るのが理解できていませんでした。
ありがとうございました。

お礼日時：2009/05/28 14:53

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/05/27 23:31

lim (1^k+2^k+...+n^k)/n^(k+1)

を区分求積で求めるのかな? 答えは (3^(k+1)-1)/2^(k+1) でしょうか.