孤立原子における電子のエネルギー準位と結晶のそれとの違いについて教えてください。

A 回答 (2件)

一番大きな違いは、


孤立原子の電子のエネルギー準位は、量子力学によって飛び飛びの値になってるのに対して
結晶の中の電子は、エネルギーがすごく低い(一つの原子のみに束縛されている)電子の準位は飛び飛びですが、比較的エネルギーが高い電子のエネルギー準位は、実用上、連続的になっていると考えてよいです。結晶には、たくさんの原子がありますから、微妙にエネルギーがちがう準位がたくさんあって、見た目上、エネルギー準位が連続に見えます。
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この回答へのお礼

わかりやすい説明ありがとうございます。

大変参考になりました。

お礼日時:2009/06/17 15:10

>孤立原子における電子のエネルギー準位


…、これは「基準」でゼロです。
>結晶のそれ
電子だけの結晶は存在しません。どのイオン(アニオン、カチオン有り)のどの順位(原子軌道)の電子について考えるかで、変ります。
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この回答へのお礼

ご返答ありがとうございます。

参考になりました。

お礼日時:2009/05/28 13:19

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Q水素原子の波動関数について

水素原子の波動関数について
(以下、波動関数Φnlm(r,θ,φ)のことを、Φnlmと書かせていただきます)

「Φ+=1/√2(Φ200+Φ210)
が、水素原子の波動関数であることを示せ」という問題がわかりません。

問題文に与えられている式は
(1)L^2Φnlm=h^2l(l+1)Φnlm
(2)LzΦnlm=hmΦnlm
(hはディラック定数)

(3)L^2およびLz演算子の具体式
(4)Φ200およびΦ210の具体的な数式
(5)Φnlmに対応するエネルギーの式

です。

Φ+に演算子L^2をかけると、Φ200の項が消えて
(1)は成り立ちませんよね?

Φ+は一体どの軌道を表し、それをどのように示せばいいのでしょうか。


宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

(5) を使えばいいです。

HΦ200 = E200Φ200, HΦ210 = E210Φ210, E200 = E210
より
HΦ+ = 1/√2(HΦ200+HΦ210) = ... = E200Φ+


……というのが、出題者の意図した答えだと思います。

もう少しひねくれた回答をすると、「Φ200もΦ210も水素原子の波動関数なので、それらの一次結合は水素原子の波動関数になる」と言うこともできます。こちらの考え方では、1/√2(Φ100+Φ200)のような、ハミルトニアンの固有関数ではないものも、波動関数とみなします。

後者の考え方のほうがより一般的な考え方なのですけど、「波動関数」という言葉を「ハミルトニアンの固有関数」に限定して使う人もいます。問題文にある「波動関数」がどちらの意味なのかは、出題者に確認すれば分かると思います。

QEDXの横軸(keV単位)と原子のエネルギー準位(eV)の差の関係について

EDXスペクトルの横軸が何のエネルギーを示しているのかがあいまいなのでどなたか解説していただけないでしょうか。

EDXを使用して鉄のスペクトルを取ったところ、Kaのピークが6keVのところに出ました。EDXはX線ではじき出されたK殻の電子位置にL殻の電子が落ちる際発生する特性X線のエネルギーを測っているのですよね。ということはL殻とK殻のエネルギー差が6keVもあるということなのでしょうか。原子のエネルギー準位は数eV程度ではないかと思うのですが、何か勘違いしてるのでしょうか。

ちなみに入射電子線のエネルギーは15keVで、検出素子はSi(Li)です。

Aベストアンサー

>ということはL殻とK殻のエネルギー差が6keVもあるということなのでしょうか。
そういうことです。

本当かどうかは、K殻とL殻のエネルギー準位を求めればすぐに分かります。
今考えているのは内側の電子ですので遮蔽の効果は小さいと考えて、原子番号Zの原子核+電子1個の系で近似してもそう大きくは変わらないはずですよね。(水素原子の場合と本質的には同じですので、エネルギー準位は直ぐに求まります)
なお、具体的な計算の時には、水素原子の第1イオン化エネルギー=13.6eVを使うと楽です。

>原子のエネルギー準位は数eV程度ではないかと思うのですが、何か勘違いしてるのでしょうか。
数eV程度というのは化学反応とかに関係する電子、つまり、外側の軌道の電子の話のはずです。今考えているのは、内側の軌道の電子ですから、考えている電子が違いますよね。

Q水素原子の波動関数

水素原子の波動関数は3つの量子数n,l,mで定まり、半径rは連続ではなくn,lで離散化されています。ここでnで離散化されるのは、水素原子のエネルギー準位がクーロンポテンシャルとボーアの量子条件から出てきており、mの場合は波動関数の境界条件から整数値に離散化されます。残りのlですが、これが離散化されるのはシュレディンガー方程式のθ成分を求めるときの定数をl(l+1)とおいたことに由来します。n,mが離散化されるのは上記の物理的な意味付けがなされているのですが、lに関しては方程式をルジャンドル多項式になるようにおいただけであり物理的な必然性がありません。わかる方がいらしたら回答を下さると助かります。

Aベストアンサー

>lに関しては方程式をルジャンドル多項式になるようにおいただけであり物理的な必然性がありません。

lが整数である、というのはθ方向の波動関数が(cosθの)多項式になるべし、という条件から来たのではありません。
mが奇数の時、θ方向の波動関数はcosθの多項式とsinθ=√(1-cos^2)の積になっていますから、cosθの多項式という条件を課しているわけではない事が分かるでしょう。

lが整数になるのは、波動関数が-1≦cosθ≦1で(特に、cosθ=±1で)波動関数が有界である(発散しない)べし、という条件から来ています。
ルジャンドルの微分方程式は、lが非整数だとcosθ=±1で発散しない解を持たない事が数学的に証明できますので、lは整数でなければなりません。
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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

前半は正しいです。
水素原子の励起状態ということです。
水素原子の発光というのを習ったかもしれませんが、あの光はこのような励起状態から基底状態(K殻)に落ちるときに発する光で、電子殻の間のエネルギー差に対応した波長の光が出ます。

>電子殻とエネルギー準位は同じ
これ何が言いたいのか分かりませんが。電子殻とエネルギー準位は対応しているということですか?

後半は水素原子のことですか?それとも水素分子のことですか?
水素とだけ書いたら、水素分子なんですが。

水素原子の話として、そうなると思います。

ただし、分子の場合は吸収スペクトルの波長と発光スペクトルの波長は一致しません。数ナノメーターから、数百ナノメーターにわたってシフト(ストークスシフト)が生じます。ですから、吸収波長をフィルターでカットしても、発光が消えるとは限りません。・・・それ以前に、分子を加熱することで発光を観測するのは大変でしょうが。

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と思うのだけど、基底状態と励起状態の電子状態は異なるから、やはり厳密に波長が一致するわけではないでしょう。
詳しい方におまかせします。自信ありません。

前半は正しいです。
水素原子の励起状態ということです。
水素原子の発光というのを習ったかもしれませんが、あの光はこのような励起状態から基底状態(K殻)に落ちるときに発する光で、電子殻の間のエネルギー差に対応した波長の光が出ます。

>電子殻とエネルギー準位は同じ
これ何が言いたいのか分かりませんが。電子殻とエネルギー準位は対応しているということですか?

後半は水素原子のことですか?それとも水素分子のことですか?
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Q水素原子の波動関数の規格化

水素原子の基底状態の波動関数はN*exp(-r/a)である。(a:ボーア半径)規格化定数Nを決定しろ、という問題があります。
自分はψ=N*exp(-r/a)として∫r^2ψ^2dr*∫sinθdθ*∫dφ=1となるNを求めました。しかし答えとは違い、答えは
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ここで疑問なのですが、なぜ自分のやり方ではだめなのでしょうか。規格化とは(うまい言い方が見つからないのですが)波動関数の2乗を全範囲で積分して1になるようにする作業。だから動径部分だけでなくθ、φも考えて1にしなければならないと思うのですが・・・。
どなたかお分かりになる方、教えていただけませんでしょうか。よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

>水素原子の基底状態の波動関数はN*exp(-r/a)である。
これが、動径波動関数だからです。

Qネオン原子のエネルギー準位図

こんばんは

ネオン原子のエネルギー準位図が探しても見つかりません。

3s軌道の準位が,16.54eVと16.85eVであることは分かりましたが,3p軌道の準位がわかりません。

3p軌道の準位,もしくはエネルギー準位図が掲載されているwebサイトをご存じでしたら,
ご教示願います。

Aベストアンサー

表でもよければ、↓をどうぞ。
http://physics.nist.gov/PhysRefData/Handbook/Tables/neontable5.htm

Q水素原子の波動関数の動径部分

これは<量子力学演習>(しょうか房、小出昭一郎著)のP62の<3.22>に載っている問題です。
s状態(l=0)水素原子の波動関数をΨn=Rn(r)=Un(r)/rとし、Unに対するシュレーディンガー方程式を求めると、
{-(h^2/2m)d^2/dr^2-e^2/4πεr}Un=EnUnとなります。
ここで波動関数の有界性より、∫|Ψn|^2dv ∝ ∫|Un|^2dr = 有界とならねばなりません。そこまではわかるんですが、そのあとに
Enが飛び飛びの値をとるためにはなぜかr=0近傍でU(0)=0とならねばならないと書いてあるんですがこれは何処から出てきたんでしょうか?

Aベストアンサー

量子力学では、正規条件||ψ||=1を満たすことが要求されているのであって、波動関数の値が無限大なってはいけないということはありません。実際、相対論的量子力学ではr->0で波動関数が無限大の解がゆるされます。この問題はパウリによって議論されており、ハミルトニアンのエルミート性を使います。

動径関数の一般解は
  R(r)=a_1r^L{1+F1(r)}+a_2r^(-(L+1)){1+F2(r)}
とかけます。L>0の場合は波動関数の正規性からa_2=0が得られますが、L=0の場合はa_2がゼロでなくともr=0の近傍で積分は発散せず正規性からはa_2=0が結論されません。L=0の時は、ハミルトニアンHのエルミート性からa_2=0が出てきます。HがエルミートであればHの固有状態ψに対して、任意の状態φに対して
  (Hφ,ψ)=(φ,Hψ)
が成り立ちます。これから少し議論を要しますが結論として、r->0でψが満たすべき条件として
  lim r^2dψ/dr=0 ( r->0)
が得られます。これに一般解を代入するとa_2=0が導かれます。

小出氏の書をはじめ多くの量子力学の教科書では同じ議論(a_2がゼロでなければ、波動関数が原点で発散するのでa_2=0)がなされていますが、これは正しくないといえます。

この問題を正しく扱っている本として
 荒木源太郎著「量子力学」
がありますのでご覧になって下さい。

量子力学では、正規条件||ψ||=1を満たすことが要求されているのであって、波動関数の値が無限大なってはいけないということはありません。実際、相対論的量子力学ではr->0で波動関数が無限大の解がゆるされます。この問題はパウリによって議論されており、ハミルトニアンのエルミート性を使います。

動径関数の一般解は
  R(r)=a_1r^L{1+F1(r)}+a_2r^(-(L+1)){1+F2(r)}
とかけます。L>0の場合は波動関数の正規性からa_2=0が得られますが、L=0の場合はa_2がゼロでなくともr=0の近傍で積分は発散せず正規性か...続きを読む

Q水素のエネルギー準位のの問題について

水素原子のエネルギー準位を表す式を導け。ただし、電荷+eをもつ陽子のまわりを電子(電荷-e,質量m)が等速円運動しており、電子は波動性を持ち、波長の整数倍が円周に等しいとする。
という問題なんですが、自分で解いてみてもうまくいかないのでどなたか教えてもらえませんか?

Aベストアンサー

・等速円運動
 a=v^2/r (a:加速度、v:速度、r:半径)
・クーロン力
 F=e^2/r^2 (F:クーロン力、e:電荷、r:距離)
・運動方程式
 F=ma (F:力、m:質量、a:加速度)
・量子条件
 2πr=nλ (r:半径、n:整数、λ:波長)
・物質の波動性
 p=h/λ (p:運動量、h:プランク定数、λ:波長)

以上から、水素原子のエネルギー準位を導くことができます。

Q水素原子の波動関数の直交性について

水素原子の波動関数の直交性を求めたいのですが、うまくいきません。

次のように計算しました。

∫φ(1s)・φ(2s)dρ=0が証明できればいいので、

1sと2sの波動関数を入れて、積分計算のところだけを示すと、

∫[0 to ∞](2-ρ)exp(-3ρ/2)dρ

となり、部分積分を行い、

[-2(2-ρ)exp(-3ρ/2)/3][0 to ∞] - 2/3∫[0 to ∞]exp(-3ρ/2)dρ

=4/3 + 2/3[2exp(-3ρ/2)/3][0 to ∞]

となりどう計算しても0にはなりません。

考え方は間違っていないように思うのですが、いったいどう計算すればよいのでしょうか?

積分範囲が間違っているのでしょうか?

積分範囲は、よくわからず、0になりそうかなと思って適当に0から∞で計算してみました。

Aベストアンサー

siegmund です.

まず,今の問題の積分計算から.

> 半径の2乗という量がでてくるかでてこないかが問題だったんですね。

まさにその通りです.

> ですが、ρで計算するのではなく、わざわざrに変換して、4πr^2drという体積素片で、計算してもいいのでしょうか?

ρと r は定数倍の違いしかありませんから,どちらで計算しもOKです.
積分変数を変換したのと同じことです.
もちろん,変換係数はちゃんと考慮しないといけませんが,
ゼロかどうかだけみるなら定数倍はどうでもよいです.
本来は積分範囲も変わりますが,今は積分範囲は 0~∞ ですから変更はありませんね.

> これを、r^2exp(-3Zr/2a)-(Z/a)r^3exp(-3Zr/2a)と分解して

> それで、計算すると、
> {-(32a^3)/(27z^3)}+{-(32a^3)/(27z^3)}となりました。

第1項の被積分関数は常に正だから,積分結果も正のはず.
第2項の被積分関数は常に負だから(はじめの負号も含める),
積分結果も負のはず.
つまらない符号ミスだということは直ちにわかるはずです.

以下はその他です.

> 4πr^2drの形でもいいということは、立方体とかの領域で積分するときは、
> r^2sinθdrdθdφで、積分しなきゃだめという意味でしょうか?

一般の場合は体積素辺は r^2sinθdrdθdφにしないといけませんね.
4πr^2 dr にしてよいのは
(A) 被積分関数がθ,φによらない(体積素辺の sinθ は考えに入れない).
(B) 積分領域が球対称.
の2つの条件が共に満たされたときです.
このとき,θ,φについては別々に積分でき,
∫[0~π]sinθ dθ = 2,
∫[0~2π] dφ = 2π
ですから,r^2sinθdrdθdφ を 4πr^2 dr として r の積分だけ残せばよいです.
4πr^2 dr は半径 r,厚さ dr の薄い球殻の体積になっています.
表面積 4πr^2 と 厚さ dr で体積が 4πr^2 dr です.

被積分関数がθ,φによらず,積分領域が立方体領域なら,
(A)は満たされていますが(B)がダメですね.
このときは r の積分領域が角度θ,φに依存することになります
(2次元で正方形を描いてみればわかりやすい).
まあ,そもそも立方体領域の積分を極座標でやろうというのは筋が悪いですけれどね.

> それとも、波動関数の形が球体じゃない、2p軌道とかの直交性を知りたいときは、
> r^2sinθdrdθdφという体積素片で積分しなきゃだめという意味なのでしょうか?

この場合は(B)はOKですが,(A)が満たされていません.
したがって r^2sinθdrdθdφという体積素片を使わないといけません.


それから,はじめの質問の最後で

> 積分範囲は、よくわからず、0になりそうかなと思って適当に0から∞で計算してみました。

範囲はそれでよいですが,理由が「適当に」はいけませんね.
全空間にわたって積分するのですから r について 0~∞ です.

siegmund です.

まず,今の問題の積分計算から.

> 半径の2乗という量がでてくるかでてこないかが問題だったんですね。

まさにその通りです.

> ですが、ρで計算するのではなく、わざわざrに変換して、4πr^2drという体積素片で、計算してもいいのでしょうか?

ρと r は定数倍の違いしかありませんから,どちらで計算しもOKです.
積分変数を変換したのと同じことです.
もちろん,変換係数はちゃんと考慮しないといけませんが,
ゼロかどうかだけみるなら定数倍はどうでもよいです.
本来は積分範囲も変...続きを読む

Q電流を流し続けた時のエネルギー準位の遷移とその限界

他の所でも質問しましたが回答が寄せられなかったので、こちらでも質問させてください。

価電子帯の電子にエネルギーを与えて伝導帯へ励起させてあげる事で電子が自由電子として電流に寄与しますが、ではエネルギーを長い間与え続けてずっと電流を流し続けると、フェルミエネルギーはどこまで行くのですか?エネルギー準位(エネルギー帯)に限界はあるのでしょうか。
それとも長い時間電流を流す事が出来るのは、自由電子が導体中の不純物や格子欠陥などによって散乱されて、運動エネルギーを失う事でエネルギー準位が下がり、電圧などによってエネルギーを供給されて再び加速して上のエネルギー準位へ上がる...を繰り返しているからなのでしょうか。
はたまた大事な所を勘違いしてるだけでしょうか。どなたか御教授お願いします。

Aベストアンサー

#2です。

> 私が考えていたのは金属などの導体でした。

それでも議論は変わりません。

#1さんがおっしゃっているように、金属ならば、なおさら離散的な準位ではなく、
バンドとして考えられるべきです。つまり電子のエネルギーの値は連続的に変わることができる。

> それとも長い時間電流を流す事が出来るのは、自由電子が導体中の不純物や格子欠陥などによって散乱されて、運動エネルギーを失う事でエネルギー準位が下がり、電圧などによってエネルギーを供給されて再び加速して上のエネルギー準位へ上がる...を繰り返しているからなのでしょうか。

そうすると、この文章は厳密には正しくなくなります。
「エネルギー準位」と書いてある部分を「エネルギー」を書き換えるべきです。


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