数学は高校2年生で止まっていますので、難しい内容だとすぐには理解できないかもしれませんが、がんばって理解しようと思っています。

今回質問させて頂きたいのは「空間上の2直線のなす角」についてです。

1つ目の直線は、基準となる直線でZ軸と平行(という考え方が正しいかすら分かってません)
2つ目の直線は、傾きを持った平面の法線ベクトルになる予定です。
その2つの直線のなす角を求めたいと思っています。

1つ目の基準となる直線はA(1,1,0)、B(2,1,0)、C(1,2,0)の3点を通る面の法線ベクトルを求めればZ軸と平行な直線が求まるのではないかと思いました。
しかしながら、AB→とAC→の外積を求めようとすると(0,0,0)という解になってしまいました。

1つ目の直線と2つ目の直線のなす角を求めるには
cos φ = A・B / (|A| * |B|)
   Ax * Bx + Ay * By + Az * Bz
= ───────────────────────────
√((Ax*Ax + Ay*Ay + Az*Az) * (Bx*Bx + By*By + Bz*Bz))
を使って求めるところまでは調べたのですが、1つ目の直線が求められないためになす角を求めるところまでたどり着けません。

数学に不慣れな者の質問で所々不明な箇所があると思いますが、回答いただけるとありがたいです。

宜しくお願い致します。

A 回答 (2件)

>1つ目の基準となる直線はA(1,1,0)、B(2,1,0)、C(1,2,0)の3点を


>通る面の法線ベクトルを求めればZ軸と平行な直線が求まるのでは
>ないかと思いました。

この3点を通る平面は、何も考えずに
0×x+0×y+1×z=0 すなわち z=0 です。
従ってこの平面の単位法線ベクトルは (0,0,1) となります。

>1つ目の直線と2つ目の直線のなす角を求めるには
>cos φ = A・B / (|A| * |B|)

二つの直線ベクトルの内積を二つのベクトルの長さの積で割るだけ
で二つの直線のなす角φがわかります。
ここで、二つ目の直線のベクトルを (a,b,c) とおけば、
cos φ =c/√(a^2+b^2+c^2)
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この回答へのお礼

あ・・・計算間違えてました・・・

詳しい説明もありがとうございます

お礼日時:2009/05/28 13:12

ツッコミ所が満載だが、とりあえず計算間違いは直しとこ。


↑AB = (2,1,0) - (1,1,0) = (1,0,0)
↑AC = (1,2,0) - (1,1,0) = (0,1,0) だから、
↑AB×↑AC = (1,0,0)×(0,1,0)
= (0*0-0*1, 0*0-1*0, 1*1-0*0) = (0,0,1) になる。
これが、求める直線の方向ベクトル。続きは、お好きなように…
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この回答へのお礼

計算間違いをご指摘いただきありがとうございました

なんとか少し進めそうです

お礼日時:2009/05/28 13:13

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Q3次元座標2点からの直線式の求め方

お世話になります。

3次元座標2点からの直線式(ax+by+cz=0)の求め方を教えて下さい。

2次元座標であれば、1つの傾きから算出できるのですが、3次元座標になると、X-Y平面、Y-Z平面での傾きの使い方がこんがらかってしまいます。
基本的な質問で申し訳ありませんが、よろしくお願い致します。

座標1 = (x1,y1,z1)
座標2 = (x2,y2,z2)

以上

Aベストアンサー

> 直線式(ax+by+cz=0)の求め方を教えて下さい。
3次元座標では(ax+by+cz=0)は原点を通る平面になり、直線の式ではありません。ax+by+cz=dは平面の一般式です。

2点を通る直線の式には公式があります。
以下のように簡単に導けます。
点(x1,y1,z1)を通り方向ベクトル(x2-x1,y2-y1,z2-z1)の直線ですから
媒介変数形式で
(x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
と成ります。
これを変形してすれば
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1)
と3次元座標の直線の式となります。

Q2直線のなす角

平面(2次元)上に次の2直線
y = ax + b
y = cx + d
があるとき
tanθ = |(a-c)/(1+ac)|
として角を求めますが、
立体(3次元)上に次の2直線
z = ax + by + c
z = dx + ey + f
があるときの2直線のなす角の公式は
どうなりますか?解答お願いします。

Aベストアンサー

点(X,Y)の位置ベクトルをV(X,Y)と書く事にします。
平面(2次元)上の2直線
y = ax + b を、a・x+(-1)・y+b=0 とし、原点を通るように平行移動させると a・x+(-1)・y=0 となります。
これをベクトルの内積、{a・V(1,0)-1・V(0,1)}・{x・V(1,0)+y・V(0,1)}=0 と表わすと、
この直線が V(a,-1) と直交することを示しています。
同様に、二番目の式の示す直線は、V(c,-1) と直交することを示しています。
従って、V(a,-1) と V(c,-1) は、それぞれ二つの直線に直交するベクトルです。
従って、二つの直線の成す角θを、0≦θ<π とすると、θはこれら直交ベクトルの成す角でもあります。
このとき、V(a,-1)・V(c,-1)=|V(a,-1)|・|V(c,-1)|・cosθ として、θが求まります。

これと同じ手法を、三次元にも適用してみます。
z = ax + by + c
z = dx + ey + f
両平面を原点を通るようにz軸に沿って平行移動させ、
a・x+b・y+(-1)・z=0 および d・x+e・y+(-1)・z=0 とし、
ベクトルの内積、
{a・V(1,0,0)+b・V(0,1,0)-1・V(0,0,1)}・{x・V(1,0,0)+y・V(0,1,0)+z・V(0,0,1)}=0 および
{d・V(1,0,0)+e・V(0,1,0)-1・V(0,0,1)}・{x・V(1,0,0)+y・V(0,1,0)+z・V(0,0,1)}=0 と表わす。
これら二つの平面に直交する法線ベクトルは、V(a,b,-1) と V(d,e,-1) で、二平面の成す角、θを 0≦θ<π とすると、θはこれら直交ベクトルの成す角でもあるので
V(a,b,-1)・V(d,e,-1)=|V(a,b,-1)|・|V(d,e,-1)|・cosθ

その後の計算はちょっと面倒ですが、続けます。
cosθ=(ad+be+1)/√{(a^2+b^2+1)・(d^2+e^2+1)}
sinθ=√{1-(cosθ)^2}
√内は、{(a^2+b^2+1)・(d^2+e^2+1)-(ad+be+1)^2}/{(a^2+b^2+1)・(d^2+e^2+1)}
={(a+d)^2+(b+c)^2+(ae+bd)^2}/{(a^2+b^2+1)・(d^2+e^2+1)}

従って、tanθ=√{(a+d)^2+(b+c)^2+(ae+bd)^2}/(ad+be+1) となります。

点(X,Y)の位置ベクトルをV(X,Y)と書く事にします。
平面(2次元)上の2直線
y = ax + b を、a・x+(-1)・y+b=0 とし、原点を通るように平行移動させると a・x+(-1)・y=0 となります。
これをベクトルの内積、{a・V(1,0)-1・V(0,1)}・{x・V(1,0)+y・V(0,1)}=0 と表わすと、
この直線が V(a,-1) と直交することを示しています。
同様に、二番目の式の示す直線は、V(c,-1) と直交することを示しています。
従って、V(a,-1) と V(c,-1) は、それぞれ二つの直線に直交するベクトルです。
従って、二つの直線の...続きを読む


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