群論の問題なんですが
Gを群、Hをその部分群とする。写像
f : G/H→H\G (\はバックスラッシュです)
xH→Hx^-1 (環境依存文字で打てませんでしたが、
xH→Hx^-1の→は対応するという意味です)
は全単射であることを証明せよ

まずwell-definedで
xH=x'H⇒Hx^-1=Hx'^-1
を証明したいのですがどうすればいいか
わかりません
それと全単射を示す時
たまに定義より明らかと書いてありますが
なぜ明らかなのでしょうか?

well-defined 全単射どちらでもいいので
証明の仕方を教えてください
よろしくお願いします

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A 回答 (3件)

Gを群,Hをその部分群とする。

写像
f:G/H→H\G,f(xH)=Hx^{-1}
well-definedの証明
xH=x'H → x'^{-1}xH=x'^{-1}x'H=H → x'^{-1}x∈H → H=Hx'^{-1}x
→ Hx^{-1}=Hx'^{-1}xx^{-1}=Hx'^{-1}

全単射の証明
単射の証明
f(xH)=f(x'H) → Hx^{-1}=Hx'^{-1} → Hx^{-1}x'=Hx'^{-1}x'=H → x^{-1}x'∈H
→ H=x^{-1}x'H → xH=xx^{-1}x'H=x'H → fは単射
全射の証明
Hx∈H\G → x^{-1}H が存在して, f(x^{-1}H)=H(x^{-1})^{-1}=Hx → fは全射
→ fは全単射
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例えばwell-definedについて。

xHやHx^-1は集合です。なので、Hx^-1とHx"^-1が集合として等しいことを示そうとしてみてください。(互いの要素がもう一方の要素になることを示す)そのことから、xとx"がどのような関係にあればよいのかわかると思います。逆に、xH=x"Hから、xとx"についてどのようなことが成立しているかも、同じようなことをしてわかると思います。(xがxHの要素であることに着目してください)集合のところにもっていってますが、結局は群論の概念だけで十分ということが、こういったことを通してわかると思います。大概のものは集合を使っているので、なにかが等しいことを示す時に、こういった視点を持つのも一つの手です。

全単射の方も同様です。定義に基づいて、なにを示す必要があるかを書き出してみてください。例えば、全射を示すためには、H\Gの任意の要素に対し、G/Hの要素で、fで写してそれに一致するものが存在すること、つまり、Hx^-1がとってきたH\Gの要素と一致するようなxをみつけることが必要です。単射の方も、同じように示すべきことを(単射の)定義から考えてみてください。
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>well-defined 全単射どちらでもいいので


>証明の仕方を教えてください

定義に従い粛々と進めて下さい。
経験を積むと、明らかそうに思えてくるし、わざわざ逆元をかけている理由もわかります。
教えてもらうようなコトではありません。
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