ベルヌーイの微分方程式が全くわかりません。お願いします、解いてください<m(__)m>

X>Oのとき

X・dy/dx+y=y^2・logX

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A 回答 (1件)

1) 変数変換を行って、微分方程式を変形させる。


 両辺をxで割って、ベルヌーイの微分方程式 の標準的な形にします。
  dy/dx+y/x=log(x)/x y^2

 ここで、ベルヌーイの微分方程式 と比べますと、m=2 となっていることが分かりますので、
  u=y^(1-2)=1/y    (∴du=-dy/y^2)
と置きます。

http://www.sys.eng.shizuoka.ac.jp/~miyazaki/Koug …

 この変数変換を用いて元の微分方程式を変形させますと、次のようになります。

  du/dx-u/x=-log(x)/x  ・・・☆

2) 同次微分方程式と見なして一般解を得る。
  式☆の右辺を0と見なすと、変数分離形になるので、次の一般解が得られます。

  u=vx (v:積分定数)  ・・・(1)

3) 定数変化法で、式☆の非同次微分方程式の一般解を得る。
  式(1)の積分定数vをxの関数とすると、
  du=xdv+vdx
なので、これを式☆に代入すると、次の微分方程式を得ます。

  dv=-log(x)/x^2 dx

 ∴v=log(x)/x+1/x+C (C:積分定数)

4) 変数を元に戻す。

 ∴u=log(x)+1+Cx
 ∴y=1/{log(x)+1+Cx}
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この回答へのお礼

どうもです<m(__)m>

お礼日時:2009/05/31 15:50

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