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2次元平面内においてデカルト座標を用いた際、物体の位置が
x(t)=rcos(ωt+θ)
y(t)=rsin(ωt+θ)
(但しr、ω、θは定数)
で表される運動は等速円運動と呼ばれる。以下の問に答えよ。
(1)物体の軌道を表す式を書け。
(2)物体の速度と加速度を計算せよ。
(3)位置ベクトルと速度が直行することを示せ。


という問題ですが、(以下に示すr(t)、v(t)、a(t)はベクトル量とする。i、jはx軸、y軸の単位ベクトル。)
(1)は位置ベクトルを求めればいいんでしょうか?
位置ベクトルr(t)=x(t)i+y(t)j
=r{cos(ωt+θ)i+sin(ωt+θ)j}
(2)速度ベクトルv(t)=dr(t)/dt=rω{-sin(ωt+θ)i+cos(ωt+θ)j}
加速度ベクトルa(t)=dv(t)/dt=-rω^2{cos(ωt+θ)i+sin(ωt+θ)j}
(3)r(t)・v(t)=(r^2)ω{-sin(ωt+θ)cos(ωt+θ)(i・i)+cos^2(ωt+θ)(i・j)-sin^2(ωt+θ)(j・i)+sin(ωt+θ)cos(ωt+θ)(j・j)}
=(r^2)ω{-sin(ωt+θ)cos(ωt+θ)(i・i)+sin(ωt+θ)cos(ωt+θ)(j・j)}
=0
よって直交する。

これであってますか?

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A 回答 (2件)

(1)物体の軌道を表す式はcos(ωt+θ)、sin(ωt+θ)を消去して


x(t)^2+y(t)^2=r^2
と書く方が直接的だと思います。
(2),(3)はOKです。
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この回答へのお礼

なるほど、わかりました。
ありがとうございます。

お礼日時:2009/05/28 20:25

(1)


位置ベクトルで書いても問題ないと思いますが
円の式:x(t)^2+y(t)^2=r^2 で表現した方がいいかと思われます

(2)、(3)については特に問題ないかと
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    • 0
この回答へのお礼

わかりました。回答ありがとうございます。

お礼日時:2009/05/28 20:25

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double _Complex
long double _Complex
ref) ISO/IEC 9899:1999 6. Lanugages / 6.2 Concepts / 6.2.5 Types / Paragraph 11
加減乗除は通常の演算子を利用して可能です。

虚数単位は<complex.h>で定義されるため,実質的には<complex.h>のインクルードが必要になります。
ref) 同 7.Library / 7.3 Complex arithmatic <complex.h> / Paragraph 4

ただし,複素数型はC99と呼ばれる,1999年改正の規格でサポートされた型です。
コンパイラによってはC99を(一切 or 部分的に)サポートしていない場合があります。
複素数型をサポートしていない倍,double _Complexなどの複素数型や,通常の演算子を使っての演算はできません。
その場合は,処理系が複素数演算のためのライブラリを独自に用意してくれているかもしれません。

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加減乗除は通常の演算子を利用して可能です。

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関数電卓サイト
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また、その場合、物体がすべりはじめる段階では物体と円盤がともに同じ速度で運動していることが、向心力で考えてもいい根拠ですか?

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お願いします。

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☆また、解答は遠心力で考えてましたが、向心力による運動方程式で考えてもいいでしょうか?
◇等速円運動ならば。そして、バネが伸び縮みしていなければ。
この場合、向きは違いますけれど、遠心力の大きさと向心力の大きさは同じになるので、どちらで考えてもいいと思います。


☆また、その場合、物体がすべりはじめる段階では物体と円盤がともに同じ速度で運動していることが、向心力で考えてもいい根拠ですか?
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言い換えると、等速直線運動している観測者から見た場合、運動方程式は満たしているのか?・・・ですね(^^)
微分は使っていいのかな?(・・?)

まず、静止している観測者をS としておき、等速直線運動している観測者をS' としておきます。
S' の速度をv としましょう(^^)
時刻t=0 にSとS' は同じ位置にいたとします(もちろんS' はvで運動しています)
Sから見て、ある物体が力Fを受けて、加速度aで運動していたとします。・・・物体の運動方向は、簡単のため、S'の速度の向きと一致しているとします。
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つまり、Sから見た物体の加速度は、S' から見た物体の加速度と一致します。
という事は、S' から見て、ma =F でなければいけませんね。
これは、まさに運動方程式ですね(^^)
注意して欲しいのは、最後のma=F は運動方程式をS' に適用したのではなく(S'で運動方程式が成り立つ事を使ったのではなく)、
Sに対する運動方程式から F と maの値は等しい・・・だから、maとFを等号で結べるって事です。
というわけで、等速直線運動している観測者から見ても運動方程式は、静止している観測者と全く同じものが成立します(^^)

参考になれば幸いです(^^v)

言い換えると、等速直線運動している観測者から見た場合、運動方程式は満たしているのか?・・・ですね(^^)
微分は使っていいのかな?(・・?)

まず、静止している観測者をS としておき、等速直線運動している観測者をS' としておきます。
S' の速度をv としましょう(^^)
時刻t=0 にSとS' は同じ位置にいたとします(もちろんS' はvで運動しています)
Sから見て、ある物体が力Fを受けて、加速度aで運動していたとします。・・・物体の運動方向は、簡単のため、S'の速度の向きと一致しているとします。
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Aベストアンサー

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m(d^2x/dt^2)ex↑+m(d^2y/dt^2)ey↑=Fxex↑+Fyey↑

m(d^2x/dt^2)=Fx

m(d^2y/dt^2)=Fy


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