(sinθ)^4/(cosθ)^9 の積分を教えてください。

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A 回答 (4件)

> t^4/[(1-t^2)^5] の積分となりますがこれはどう解きますか?



普通に、部分分数分解で。
被積分関数の分母が、実数の範囲で一次因子の積に分解されていますから、
部分分数分解が最も単純に済むケースです。

t^4/(1-t^2)^5
= (6/2^9)/(1+t) +(3/2^8)/(1+t)^2 -(1/2^7)/(1+t)^3 -(3/2^6)/(1+t)^4 +(1/2^5)/(1+t)^5
+(6/2^9)/(1-t) +(3/2^8)/(1-t)^2 -(1/2^7)/(1-t)^3 -(3/2^6)/(1-t)^4 +(1/2^5)/(1-t)^5
より、
∫{ t^4/(1-t^2)^5 }dt
= (3/256)log(1+t) -(3/256)/(1+t) +(1/256)/(1+t)^2 +(1/64)/(1+t)^3 -(1/128)/(1+t)^4
-(3-256)log(1-t) +(3/256)/(1-t) -(1/256)/(1-t)^2 -(1/64)/(1-t)^3 +(1/128)/(1-t)^4
= (3/256)log{(1+t)/(1-t)} +(3/128)t/(1-t^2) -(1/64)t/(1-t^2)^2 -(1/32)t(3+t^2)/(1-t^2)^3 -(1/16)t(1+t^2)/(1-t^2)^4

Mathematica が買えなくても、気合でこのくらいは。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時:2009/06/02 10:35

http://www58.wolframalpha.com/input/?i=%28sin%CE …
で、10番目ぐらいに出ます。
そこの「shows step」を押せば、ご丁寧に途中の計算まで表示してくれます。(英語ですけど)
つまり、#2さんの方法で計算してるみたいですね。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時:2009/06/02 10:37

sinθ=tで置換積分…は#1さんがやってしまったので



(sinθ)^4/(cosθ)^9=1/cos^5θ-2/cos^7θ+1/cos^9θ

例えば
1/cos^9θ=(1/cos^2θ)*(1/cos^7θ)=(tanθ)'*(1/cos^7θ)とやっていくのはどうでしょう?


どちらにしても計算はめんどいですが
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時:2009/06/02 10:36

(sinθ)^4/(cosθ)^9 = [ (sinθ)^4 / { 1 - (sinθ)^2 }^5 ]・(cosθ)

この回答への補足

それだと
 t^4/[(1-t^2)^5]の積分となりますがこれはどう解きますか?

補足日時:2009/05/28 22:13
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