問題となっている対象が有限か無限かを見分ける共通の方法などがあるのでしょうか。あるいは有限と無限の関係などを数学的に示す理論などはあるのでしょうか。あるいは質問自身が成り立たないのかもしれませんが、よろしくご教示いただければと思います。

A 回答 (2件)

数学はまったく素人ですが、一応一つの見解として部分が全体に一致(あるいは1:1対応)すれば無限といえると思います。

たとえば偶数は整数の一部として含まれるものですが、整数と偶数は1:1に対応付けることができます。1, 2, 3,...にたいして2, 4, 6,...です。負の数まで考えるなら1, -1, 2, -2, ...などとやればよいです。自然数全体と有理数全体を対応づけることもできます。横に1, 2, 3, ...と書き、分子とし、縦にも1, 2, 3, ...と書いて分母と決めます。分子分母の組は縦横のクロスしたところで横が5、縦が7の座標にあたるところが分数5/7になります。これを順序づけられれば、自然数と有理数が対応するのですが縦と横の組(n,m)に対して(1,1), (1,2), (2,1),(3,1),(2,2), (1,3),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)...という順に数え上げていくことができますので自然数と対応できます。
また、半直線の端A点の上に1 cmの線分を垂直に立て先端をBとします。この線分の先端Bから半直線に平行に反対向きに1 cmの線分を書き先端をCとします。Cと半直線の中の任意の点Xを結ぶと線分ABの中の1点Yに対応しますが、XのどこをとってもYは存在しかつ対応は1:1になります。半直線という無限の長さの中の各点が1 cmの線分の中の各点とが対応しているので部分が全体に一致しています。
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この回答へのお礼

部分と全体の関係を改めて勉強させていただきたいと思います。どうもありがとうございました。

お礼日時:2009/05/30 12:34

無限集合の数学的な定義は、No.1 の方が書いておられる通りです。



直感的で実用的(だが、万能ではない)判定法としては、
対象を数えてみればよいでしょう。

「数える」とは、対象の集合を S、自然数全体の集合を N として、
N から S への単射を挙げて見せることを言います。
その際、N から S の上または中への単射が見つかれば、S は無限。
N の有限部分集合 n から S への全単射が見つかれば、S は有限で、
その個数は n です。
適当な全単射が見つからなければ、それまでですが。

ここでは、可算無限が最小の無限濃度であることを使いました。
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この回答へのお礼

ご教示を基に勉強させていただきます。どうも有り難うございました。

お礼日時:2009/05/30 12:32

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Q無限と有限について

この世の中に存在する無限と有限という言葉はどうゆう物事を指すことなのか教えて欲しいです。
どんなことでも結構なので教えて下さい。

Aベストアンサー

(長文です)
だんだん本格的な話になってきましたねー。
atsuotaさんの
> 有限の大きさ:ある数Nに対してそれより大きな数Mが存在する。
> 無限大:有限でない大きさの数。もうそれ以上に大きい数はない、という数。
>0に無限に近い正の値(無限小としましょう。正式な呼び方は知りません。)
あたりは、ちょっと質問者を混乱させそうかな?

そこで数における有限・無限の話を少しやりませう。
●「x: もうそれ以上に大きい数はない、という数」はありません。それは数ではないんです。(もし数だったら、(x+1)は無限大より大きいはずですよね。)
「y:もうそれ以上0に近い正の数はない、という数」というのもありません。それは数ではない。(もしyが数ならy÷2はもっと0に近い正の値ですからね。)
従って、atuotaさんのおっしゃる無限大、無限小はどちらも数ではありません。

●無限を考える場合には、「もののかずを表す数(基数。one, two, three...)」と、「順番を表す数(序数。first, second, third,....)」を区別しなくちゃならないんです。

●まず基数の話。
 1,2,3,...... という自然数が全部で幾つあるか、というのを「可算無限個」と呼びます。しかし、無限大、という「数」(基数)はありません。「無限個」という時の「無限」は数ではないんです。(「無限大」というのは、とりあえず「無限個」の意味だと考えてください。)
 自然数が全部で可算無限個ある訳ですが、じゃあ偶数は全部で「可算無限個の半分」だけあるのか、というと、そうではない。偶数は全部で可算無限個あるんです。(え?? でしょ。がんばって続きを読んでください。)
 あるものの集まりの要素の個数を数えるというのは、集合の要素に自然数を小さい順に1:1に対応させていく、という操作です。みかんを数える場合に、「1, 2, 3,..」と言いながらみかんを指さすのがこの操作です。偶数の個数を数える場合には{2, 4, 6,....} というものに{1,2,3,...}を対応付ける。つまり偶数kに対して自然数 (k÷2)を対応させれば、ちょうど偶数全部に自然数全部が対応します。だから、「偶数は自然数と同じ数だけある。」
 同様に、「10以上の自然数m」の個数も自然数と同じ数だけある。(今度はmに自然数m-9を対応させれば良いですね。)
 このように、無限個のものの集まり(無限集合)は、その中から無限個の要素を選び出した部分集合を作ったときに、もとの集まりと同じ個数を含むことがある。有限個のものの集まり(有限集合)の場合には、こんなことは絶対に起こりません。つまり、この性質が無限と有限の決定的な違いです。

●次に序数の話。
 「無限大」であるような序数が幾らでもあります。(専門用語では「超限順序数」と言います。)
 矢印->で強弱関係を表すことにして、「->の左にあるものは右にあるものより強い」と考えます。(強い、というのは別にどういう言い方でも良いんですが、要するに [もしx->yかつy->zであるならx->zである]ということが成り立つような関係、ということです)
 たとえば 1->2->3->4->.... という列の10番目の要素というのは10番目に強い、ということですね。
 今度は「どんな奇数も、あらゆる偶数より強い」というルールを追加します。すると
1->3->5->.... ->2->4->6->.....
ということになる。3は「2番目に強い」訳ですが、じゃあ2は何番目に強いか。これを
「ω+1番目」と言います。(ωはオメガと読みます。)
(順番を決めたことによって初めて序数というものが意味を持つんです。同じ列1->3->5->.... ->2->4->6->..... の要素の個数はいくらか(基数。順番は気にしない)と言えば、もちろん可算無限個です。)
 さてωは一番小さい「無限序数(超限順序数)」であり、その次がω+1です。その次は「ω+2番目」次は「ω+3番目」.....
(ω+ω)番目を2ωと言います。その次は「2ω+1番目」....そして3ω,3ω+1, ..... 4ω,...
ωω番目をω^2(ωの二乗)と言います。.....ω^3+1,.....ω^4,......ω^ω, ...... ω^(ω+1),.....,ω^(ω^ω),.......
この列は終わりません。「無限序数」自体が無限にあって、その間にはちゃんと大小関係があるわけです。

*ここから後は、質問者は飛ばした方が混乱しないかな。
●幾何学では「無限遠点」というものが出てきます。これはただ一つある点です。
平面の上に球を置くと1点で接触します。これを球の南極点とするとき、球のてっぺんにある北極点から平面へ勝手な直線をひく。すると、直線は平面上の1点と球面上の1点とを結びます。こうして平面上の点と球面上の点とを1:1に対応付けることが出来る。しかし、球の北極点だけが余りますよね。これが無限遠点です。
 たとえば平面上に勝手に直線を1本描く。そして直線上の全ての点を球面上の点に写しますと、球面上では必ず球の北極点を通る閉曲線になります。「どんな直線も無限遠点を通る」ということですね。

●無限小数:「無限小」の数、ではなく、「無限に続く小数」の話です。
1/7 = 0.142857142857142857.....
これは小数点以下無限に続くんですが、7桁ごとに同じパターンを繰り返します。
π = 3.14159265358979323.....
これも小数点以下無限に続くんですが、繰り返しがありません。
 同じパターンを繰り返す小数(循環小数)は、必ず有理数で表せます。逆に、分数で書ける数(有理数)はどれでも、小数にすると同じパターンを繰り返します。だから、1周期分計算してしまえば、あとは計算しなくても分かる。「有限時間で完全に答が出せる」訳です。
 有理数で表せない小数は、繰り返しがありません(無限小数)。しかしπは小数点以下何桁でも好きなだけ計算することができ、「そのプログラムは有限の長さで書けます」。
 これらに対し、値を求めるためのプログラムが書けないような小数も、存在しなくてはならないことが証明できます。このような小数(値はもちろん、どうやって求めるかも分からない数)は、いわば本当に「無限的」な「無限小数」ですね。

●「超準解析」という数学では、数の仲間に、普通の数のほかに無限大や無限小を含めて「拡大された数」である「数’」を考える。
 この場合にも、「無限大」という1個の数’がある訳ではありません。そうではなく、まさしく無限個の数’が「無限大」という性質を持っている。また別の無限個の数’が「無限小」という性質を持っている。そしてまた別の無限個の数’が「有限」という性質を持っている。また、無限大である数’同士の間にも大小関係があり、足したり掛けたり計算もできます。
 余り正確ではないが、数’というのは、直感的には超限順序数の概念を有理数・実数に拡張したような感じです。

(長文です)
だんだん本格的な話になってきましたねー。
atsuotaさんの
> 有限の大きさ:ある数Nに対してそれより大きな数Mが存在する。
> 無限大:有限でない大きさの数。もうそれ以上に大きい数はない、という数。
>0に無限に近い正の値(無限小としましょう。正式な呼び方は知りません。)
あたりは、ちょっと質問者を混乱させそうかな?

そこで数における有限・無限の話を少しやりませう。
●「x: もうそれ以上に大きい数はない、という数」はありません。それは数ではないんです。(もし数だっ...続きを読む


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