4元2次方程式が解けません!(>_<)
元々は2行2列の行列の計算なんですが、そこから下の連立式までは立てられました。

4元2次方程式が解けないんです。(高3行列の解き方から)

("^n"はn乗を表すものとします)
a^2 + bc = 19 - (1)
ab + bd = 9 - (2)
ac + cd = -30 - (3)
bc + d^2 = -14 - (4)
上記を満たす、a, b, c, dを求めよ。ただし、a+d > 0 とする。

もしかしたら、上の連立方程式が間違っているんでしょうか(^_^;)
(1)-(4)から、a^2 - d^2 = 33 つまり (a + d)(a - d) = 33
(2)-(3)から、b(a + d) = 9, c(a + d) = -30 なので、(a + d)(b - c) = 39
(2)と(3)の比率から、b : c = 9 : -30 なので、b = -(3/10)c
まではわかったんですが、文字が消えてくれないーーー!(>_<)

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A 回答 (5件)

#2です。


A#2の補足について
> b=19/(a+d)>0
> c=-30/(a+d)<0
> からいきなり解がまだ出せていませんが、自分でも計算してみます。
解けませんか?

解き方のアドバイス
a+d=p>0, a-d=p …(5)
とおいてみて下さい。

A#2の補足の式から
b=19/p …(6)
c=-30/p …(7)
(1)-(4)から
a^2-d^2=(a+b)(a-b)=33
pq=33
q=33/p …(8)
(1)+(4)から
a^2+d^2+2bc=5
(a+d)^2+(a-d)^2+4bc=10
(5),(6),(7)を代入
p^2+q^2-1080/p^2=10
(8)から
p^2+9/p^2-10=0
p^4-10p^2+9=0
(p^2-1)(p^2-9)=0
p>0より
p=1,p=3
(8)から
(p,q)=(1,33),(3,11)
(5)から
(a,d)=(17,-16),(7,-4)
(6),(7)から
A#2に書いた(a,b,c,d)の組が出てきます。
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この回答へのお礼

ヒー(>_<)言いながら、ひとまず自分でも導けました。
ありがとうございました。

お礼日時:2009/06/05 01:17

この問題に限らず、ベクトルや行列の計算をするときに、


安易に成分計算へ持ち込むことは、お勧めできません。
何かしらの見通しを立ててから、最小限の計算を行うべし。
手を使うのを恐れないことと、工夫するのを厭うことは、
違いますよ。
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既に答えは出ているようなので、


解法だけ…

A~2 = C という式が与えられている。
両辺の行列式をとって、
(det A)~2 = det(A~2) = det C = 4
より、ad-bc = ±2。

一方、二次行列には、
ケーリー・ハミルトンの定理に由来する
有名な公式 A~2 -(a+d)A +(ad-bc)E = O
がある。これを
A ={ C ±2E }/(a+d) と変形して、
再び両辺の行列式をとれば、
ad-bc のそれぞれの値に対して、
対応する a+d の値がわかる。

それを、上の A = … の式に入れれば、
A が求まる。
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普通に計算ミスをしないように解くだけです。


a+d>0から(2),(3)式より
b=19/(a+d)>0
c=-30/(a+d)<0
なので解は
[a=17,b=9,c=-30,d=-16],[a=7,b=3,c=-10,d=-4]
の2通りですね。
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この回答へのお礼

解が2通り出るんですね。
b=19/(a+d)>0
c=-30/(a+d)<0
からいきなり解がまだ出せていませんが、自分でも計算してみます。

お礼日時:2009/05/31 12:16

(2)式より


b(a+d)=9 ここでa+d>0より b>0
(2)式÷(3)式より
b/c=-3/10 ∴c=-(10/3)b ・・・(5)
これを(1)式に代入してbをaで表し、その式を便宜的に(6)式と
すると、その(6)式を(5)式に代入してcをaで表すことができます。
さらに(6)式を(2)式に代入してdについて解けば、dをaで表す
ことができます。
こうしてaで表したb、c、dを(4)式に代入してaについて解けば
aが求まり、b、c、dもまた求まるはずです。

ちなみにa=7、b=3、c=-10、d=-4ですね。
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Q二次方程式の解の公式について

 個別指導の塾の講師をしているhisanoriです。中学生の学習内容で二次方程式の解の公式がなくなってしまいましたが、僕は、レベルが中以上の3年生には二次方程式の解の公式を教えています。
 しかし、塾の室長から二次方程式の解の公式は中学生の範囲ではないので、あまり教えないほうが良いといわれてしまいました。
 私は、因数分解で解けないもので平方の形がない方程式は、解の公式を使ったほうが早く解けるので、解の公式を使うことを積極的に勧めたほうが良いと考えています。従って、成績が中以上の生徒には積極的に教えたほうが良いと思うのですが、皆さんはどうおもいますか?
 塾の先生及びその経験者等からアドバイスをいただけたら幸いです。よろしく御願いいたします。

Aベストアンサー

原理を生徒に体得せしめること、一方で受験に成功するために解法を習熟せしめること、の何れに力点を置くか。永遠の課題です。

中学2年のとき、多元連立一次方程式の解法として、指導要綱にある代入法以外にこんなものも出来るぞ、と行列による解法を教えた若い数学教師がいました。

いとも簡単に解が得られる。テストになって生徒の2人(300人中)がこの解法で答えたところ、くだんの教師、2人を教員室に呼びつけ、「これを使ってはいけない!」と真っ赤になって怒鳴りました。

今の生徒と違って、従順な生徒(一人は僕)は「はい、わかりました。すみませんでした」と指導に従ったことがあった。昭和23、4年のことです。今にして思うに、この教師は中学2年くらいで行列の原理も解さずに技能的に使うな、ということを示したかったのでしょう。

受験進学校では高2まででカリキュラムを終え、高3では1年かけて演習つまり解答テクニックを教え込む。

例えば円柱の底面の直径を過ぎる平面によって切り取られる部分の体積を求めよという積分の応用問題で、底面に平行な断面(円の一部になる)を円柱の高さ方向に積分する解法を採ると大変なことになり、高校数学では対処しきれないが、底面に鉛直な断面(三角形になる)を円柱の径方向に積分する解法を採ると、いとも簡単に解が得られる。

「こういう問題にはこうして断面を作るように!」の類の「べき、べからず大集」を徹底して叩き込むわけです。大集です。膨大な内容です。

因みに上の問題、昭和26年か27年の福島大学の入試で出され、同じものが昭和33年の東京大学の二次試験で出ている。駿河台予備校では前年に解き方演習でこの問題を教えていて、この年に東大合格した予備校生は「先生、出ましたよ、あの西瓜を切ったような体積求めるヤツ、おかげで3分間で答案できました!」

受験テクニックを集中的に叩き込む受験校(予備校、塾)が父兄に圧倒的に支持される理由はここにある。だがその弊害は当然、有ります。大挙して東大に入学してくる有名進学校出身者が入学後、そして卒業後になぜパッとしないのか。

上は、駒場(教養時代)や学部の同期生達はじめ先輩後輩を観察した結果です。(あっちも僕に同じことを言っている。だからお相子だぁ)

でも原理に拘泥するあまり、受験テクニックが得られないとなると、父兄の支持はなくなり、生徒が集まらず、その学校(予備校、塾)は潰れる。まさにトレードオフです。模範解答はありません。

となれば、質問者さんがご自分の信念に基づいて進むほか、ないでしょう。

僕が同じ立場なら、生徒に、原理と公式および受験数学との関係、文部省と親たちの建前と本音を素直に話し、その上で原理を説明し、ついで裏技的に公式を教え、さらに、この公式で得られる解を参考に、原理だけで解いたように見せる答案の書き方まで伝授しますな。このあたりになると、個々人の価値観、生き様の領域です。だから批評、批判、感想は無視。

以上は回答です。以下は追記です。

質問者のヒサノリ様、以前の僕の質問No.641552へのご回答、深謝します。実はヒョンなところから貴方のこの質問に遭遇しました。

発端は回答者のお一人のお方futago-yaさまによる別の質問をクリックミスで開きついでに読んで、「僕と同じくらいの年代で、とんでもない婆さんが居るもんだ(futago-yaさんのことではありませんぞ。当該質問に書かれている人物のこと。)」と呆れ、辿っているうち本質問に遭遇。

何事にも真摯に懸命に取り組む、ヒサノリ様のご姿勢(特許カテゴリの以前の数回のご質問を全部読みました)に感嘆と共感の拍手をおくりたいです。

また産業財産権の分野でぜひご教示ください。ずっと期待し続けますね。

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QP=a^3b-ab^3+b^3c-bc^3+c^3a-ca^3を交代式

P=a^3b-ab^3+b^3c-bc^3+c^3a-ca^3を交代式を利用して因数分解することで質問があります。
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 文字を入れ替えて、実際に計算してみましたか?
 一例として、a←→b で入れ替えた場合の計算を記しておきますので、後は、b←→c、c←→a の場合をご自分で確かめてみてください。


 P(a←→b)
=b^3a-ba^3 + a^3c-ac^3 + c^3b-cb^3
=-(a^3b-ab^3) - (c^3a-ca^3) - (b^3c-bc^3)
=-(a^3b-ab^3) - (b^3c-bc^3) - (c^3a-ca^3)
=-(a^3b-ab^3 + b^3c-bc^3 + c^3a-ca^3)
=-P

Q二次方程式 6x^2-7x-3=0を解の公式でとく方法をおしえてくださ

二次方程式 6x^2-7x-3=0を解の公式でとく方法をおしえてください。
     

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解の公式で?

二次方程式の解公式は、
axx + bx + c = 0 に対して
x = (-b ± √(bb-4ac)) / (2a).

貴方の問題は、
a = 6, b = -7, c = -3.

代入して、計算する。

Qa^(a+b)=b^24,b^(a+b)=a^6を同時に満たす1と異なるの正数a,bを求めよ

こんにちは。

[問]
a^(a+b)=b^24,b^(a+b)=a^6を同時に満たす1と異なるの正数a,bを求めよ。
[解]
a+b=24log[a]b
a+b=6log[b]a=6/log[a]b
なので
(log[a]b)^2=1/4
log[a]b=±1/2
a^(±1/2)=b
からどうしてもa,bが定まりませんどうすれば定まりますでしょうか?

Aベストアンサー

>a,b(>0)の大小関係のいかんによってはlog[a]b<0も有り得るのでは??

ええ、もちろん log[a]b を単独でみるときはそうです。でも、この式
   a+b=24log[a]b をみると、a も b も正の数ですから、左辺は
正の数ですよね。ということは、右辺の log[a]b は正の数でなければな
りませんよね?そういう意味で log[a]b>0 といったのです。
したがって、もし b=a^(-1/2)を log[a]b に入れると log[a]a^(-1/2)=-1/2
となり、a+b=-12 で「a,bは正の数」と言うことに矛盾してしまいます。

納得できたでしょうか。説明が足りなくてすみませんでした。

Q二次方程式 解の公式

二次方程式の解の公式の導き方が分かりません。色々なサイトに行ってみたのですが、様々な方法があって分かりにくかったです。
そこで二次方程式の解の公式の導き方を分かりやすく説明して頂けると、とても有り難いです。
それか分かりやすく説明しているサイトなどが有ったら教えてください。

Aベストアンサー

 個人的な好みでは、

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/urawaza/solution.htm

なんかは好きですね。

 どういう方法でも、難しいということはありません。それを難しいというようであれば、たとえ解の公式(根の公式)の説明を理解しても、自分で何かをすることはできないでしょう。

 わざと分かりにくくしていない限り、解の公式を導いていれば、どれでも理解できるようになることは、最低限でも必要です。

 どれでもいいので、まず一つを理解しましょう。分かってしまって、もう見たくないほど飽きるまで、何度も繰り返し、その一つの方法を繰り返し、ノートに書くのです。
 数式を手で書くのは必須です(タイプはNG)。目で追っているだけでは、頭の中に定着しません。

 そうしたら、公式の異なる導き方や説明も分かってきます。

Qf(a+√b)=c+√b f(a-√b)=c-√b f(a+bi)=c+dif(a-bi)=c-di

f(a+√b)=c+√b
ならば
f(a-√b)=c-√b
は成り立ちますか。
√の中は変わらないので計算後も√bのままでいいでしょうか。

f(a+bi)=c+di
ならば
f(a-bi)=c-di
は成り立ちますか。
前回の質問が締め切られてしまいました。
前回回答いただきましたTacosanさま、かなり考えましたがヒントに最後まで答えることが出来ず、申し訳ありませんでした。一定の条件がわかりませんでした。こちらにも是非回答お願いいたします。詳しい回答本当にありがとうございました。

Aベストアンサー

反例:
xの一次式
f(x) = x ・(1-√2) + √2

f(1+√2) = (1+√2)・(1-√2) + √2
=1-2 + √2
=-1+ √2

f(1-√2) = (1-√2)・(1-√2) + √2
= 1 -2√2 + 2 + √2
= 3 - √2 ≠ - 1 - √2

---
f(x) = g(a,|x-a|) + (x - a)
と表せるなら
 f(a+√b) = g(a,|√b|) + √b = g(a,√b) + √b
 f(a-√b) = g(a,|-√b|) + (-√b) = g(a,√b) - √b
c = g(a,√b) とすれば
 f(a+√b) = c + √b
 f(a-√b) = c - √b
です。
ですが、 c + √b という形を見ただけでは、√b が「 + (x-a) 」に由来するものなのか、g(a,|x-a|)の|x-a|に由来するものなのか、g()に由来する xに依存しない定数√b なのか、判断できません。

Q二次方程式の解の公式の計算方法

以下の二つの二次方程式とその解が問題集に載っていました。
ですが、自分でそれらの解を解の公式を使用して求めた際に
その参考書と解が一致せず、
どうやら、私が解の公式の計算をきちんと
出来ない事が原因の様でした。

以下の二つの二次方程式を
解の公式を使用して解く際の
計算過程を追って一つ一つ省略せずに
教えて頂けませんでしょうか。

(1)3x^2-2x-9=0 答え x=1±2√7/3
(2)x^2-4x+1=0 答え x=2±√3

Aベストアンサー

解の公式

ax^2+bx+c=0

-b±√(b^2-4ac)
x=--------------
2a

(1)3x^2-2x-9=0

--2±√((-2)^2-4*3*-9)
x=--------------
2*3

2±√112
=--------------
6

2±4√7
=-------
6

1±2√7
=-------
3


(2)x^2-4x+1=0

--4±√((-4)^2-4*1*1)
x=--------------
2*1

4±√12
=--------------
2

4±2√3
=--------------
2

=2±√3

Qa,b,cは自然数で、a^2+b^2+c^2=abc (a<=b<=c

a,b,cは自然数で、a^2+b^2+c^2=abc (a<=b<=c)を満たす組(a,b,c)を求めよ。

代入して(3,3,3)は見つかったけれど、筋道たててもとめるにはどうしたらいいのでしようか。

Aベストアンサー

この関係を満たすa、b、cは無数に存在することが、06年の東大入試で出題されている。
書き込むのが面倒なので、下のURLを見て欲しい。


http://www.riruraru.com/cfv21/math/tum06f4.htm

Q二次方程式の解の公式による計算について

x^ - 2x - 15 = 0

上の式を二次方程式の解の公式に代入したら


2±√64 / 2

x=5,x=-3
の答えになるそうですが

2±√64 / 2 ここからの計算方法を
ご教授いただきたいのですが。

^は2乗です
x はエックスです
分子 / 分母 です

Aベストアンサー

2±√64/2=2±8/2となるので、2+8/2=5と2-8/2=-3の二つの解となります。またx^-2x-15=0を因数分解すると(x-5)(x+3)=0となり、x=5、-3と導くこともできます。

QA=([a,b],[c,d])に対し,A^2+xA+yE=0,E=([

A=([a,b],[c,d])に対し,A^2+xA+yE=0,E=([1,0],[0,1])となるx,yを求めよ。できるだけ詳しく教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

> x,yを求めよ。とあると,
> 文字を使わない数字で答えが出なければいけないと思ってるのですが

文字にも「既知量」の文字と「未知量」の文字があります。
今の場合、a, b, c, d が既知量の文字として与えられているので、
x = (a,b,c,d の式)
y = (a,b,c,d の式)
の形であらわせ、というのが、ここで求められていることです。

ちなみに k は問題文中にありません。 注意してください。
(alice_44さんの解答の意味を分かっていれば k を a,b,c,d に関係づけるのは簡単なことですが、ここにはあえて書きません。 自分で考えないと勉強にならないから。)

あと「初心者」ということですが、だったらケーリー・ハミルトンみたいな「教えてもらった便利な公式」に頼るのはそれこそ邪道であって、正直にA^2を計算して連立方程式に持ち込むべきでしょう。 しょせんxとyについての連立1次方程式なのですから。


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