4元2次方程式が解けません!(>_<)
元々は2行2列の行列の計算なんですが、そこから下の連立式までは立てられました。

4元2次方程式が解けないんです。(高3行列の解き方から)

("^n"はn乗を表すものとします)
a^2 + bc = 19 - (1)
ab + bd = 9 - (2)
ac + cd = -30 - (3)
bc + d^2 = -14 - (4)
上記を満たす、a, b, c, dを求めよ。ただし、a+d > 0 とする。

もしかしたら、上の連立方程式が間違っているんでしょうか(^_^;)
(1)-(4)から、a^2 - d^2 = 33 つまり (a + d)(a - d) = 33
(2)-(3)から、b(a + d) = 9, c(a + d) = -30 なので、(a + d)(b - c) = 39
(2)と(3)の比率から、b : c = 9 : -30 なので、b = -(3/10)c
まではわかったんですが、文字が消えてくれないーーー!(>_<)

「(高3)4元2次方程式がとけません。」の質問画像

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A 回答 (5件)

#2です。


A#2の補足について
> b=19/(a+d)>0
> c=-30/(a+d)<0
> からいきなり解がまだ出せていませんが、自分でも計算してみます。
解けませんか?

解き方のアドバイス
a+d=p>0, a-d=p …(5)
とおいてみて下さい。

A#2の補足の式から
b=19/p …(6)
c=-30/p …(7)
(1)-(4)から
a^2-d^2=(a+b)(a-b)=33
pq=33
q=33/p …(8)
(1)+(4)から
a^2+d^2+2bc=5
(a+d)^2+(a-d)^2+4bc=10
(5),(6),(7)を代入
p^2+q^2-1080/p^2=10
(8)から
p^2+9/p^2-10=0
p^4-10p^2+9=0
(p^2-1)(p^2-9)=0
p>0より
p=1,p=3
(8)から
(p,q)=(1,33),(3,11)
(5)から
(a,d)=(17,-16),(7,-4)
(6),(7)から
A#2に書いた(a,b,c,d)の組が出てきます。
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この回答へのお礼

ヒー(>_<)言いながら、ひとまず自分でも導けました。
ありがとうございました。

お礼日時:2009/06/05 01:17

この問題に限らず、ベクトルや行列の計算をするときに、


安易に成分計算へ持ち込むことは、お勧めできません。
何かしらの見通しを立ててから、最小限の計算を行うべし。
手を使うのを恐れないことと、工夫するのを厭うことは、
違いますよ。
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既に答えは出ているようなので、


解法だけ…

A~2 = C という式が与えられている。
両辺の行列式をとって、
(det A)~2 = det(A~2) = det C = 4
より、ad-bc = ±2。

一方、二次行列には、
ケーリー・ハミルトンの定理に由来する
有名な公式 A~2 -(a+d)A +(ad-bc)E = O
がある。これを
A ={ C ±2E }/(a+d) と変形して、
再び両辺の行列式をとれば、
ad-bc のそれぞれの値に対して、
対応する a+d の値がわかる。

それを、上の A = … の式に入れれば、
A が求まる。
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普通に計算ミスをしないように解くだけです。


a+d>0から(2),(3)式より
b=19/(a+d)>0
c=-30/(a+d)<0
なので解は
[a=17,b=9,c=-30,d=-16],[a=7,b=3,c=-10,d=-4]
の2通りですね。
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この回答へのお礼

解が2通り出るんですね。
b=19/(a+d)>0
c=-30/(a+d)<0
からいきなり解がまだ出せていませんが、自分でも計算してみます。

お礼日時:2009/05/31 12:16

(2)式より


b(a+d)=9 ここでa+d>0より b>0
(2)式÷(3)式より
b/c=-3/10 ∴c=-(10/3)b ・・・(5)
これを(1)式に代入してbをaで表し、その式を便宜的に(6)式と
すると、その(6)式を(5)式に代入してcをaで表すことができます。
さらに(6)式を(2)式に代入してdについて解けば、dをaで表す
ことができます。
こうしてaで表したb、c、dを(4)式に代入してaについて解けば
aが求まり、b、c、dもまた求まるはずです。

ちなみにa=7、b=3、c=-10、d=-4ですね。
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Q四元一次連立方程式の解き方

a+b+c+d=5   ―(1)
3a+2b+c=0   ―(2)
27a+9b+3c+d=1 ―(3)
27a+6b+c=0   ―(4)

の解き方を教えてください。
私は、(4)-(2)をしたものと(3)-(1)したものに代入したのですがbとcが残ってしまい結果的に解くことができませんでした。

Aベストアンサー

1つずつ変数を消去して行けばいいでしょう。

質問する時はやった所までの解を書いて質問するようにして下さい。
補足に書いて下さい。

> (4)-(2)をしたものと(3)-(1)したものに
ここまでは合っています。
>(3)-(1)したもの
これと(2)からcを消去した式
と(4)-(2)をしたもの
をa,bの連立方程式として
解いて下さい。

解は
a=1,b=-6,c=9,d=1
となればOKです。

Q3元連立2次方程式解けません!!

3次元空間において,ある点P(X,Y,Z)が存在するとき,
点A(x_1,y_1,z_1),点B(x_2,y_2,z_2),点C(x_3,y_3,z_3),点D(x_4,y_4,z_4)と
各点から点Pまでの距離PA=d_1,PB=d_2,PC=d_3,PD=d_4 を用いて
点Pの座標を表したいのですが,なかなかそれらしい式にまとまりません..

ちなみに立式すると以下のようになります.
変数はX,Y,Zでその他は定数とします.
変数が3つの場合連立式は3つでよかったような気がするのですが
一応4つの式が出来上がったので並べておきます.

d_1=√(x_1-X)^2+(y_1-Y)^2+(z_1-Z)^2
d_2=√(x_2-X)^2+(y_2-Y)^2+(z_2-Z)^2
d_3=√(x_3-X)^2+(y_3-Y)^2+(z_3-Z)^2
d_4=√(x_4-X)^2+(y_4-Y)^2+(z_4-Z)^2

上記の式をX,Y,Zについて解いていただきたいです.
よろしくお願いします.

Aベストアンサー

(d_1)^2 = (x_1 - X)^2 + (y_1 - Y)^2 + (z_1 - Z)^2 …[1]
(d_2)^2 = (x_2 - X)^2 + (y_2 - Y)^2 + (z_2 - Z)^2 …[2]
(d_3)^2 = (x_3 - X)^2 + (y_3 - Y)^2 + (z_3 - Z)^2 …[3]
(d_4)^2 = (x_4 - X)^2 + (y_4 - Y)^2 + (z_4 - Z)^2 …[4]
から2式の組を3組取り出して、辺々引き算すれば、
X^2, Y^2, Z^2 の項が消えて、X, Y, Z の一次式が3本できます。
これを3元3連立一次方程式と見れば、X, Y, Z が決まります。

例えば、[1] - [2] で
2(x_1 - x_2) X + 2(y_1 - y_2) Y + 2(z_1 - z_2) Z = (x_1)^2 - (x_2)^2 + (y_1)^2 - (y_2)^2 + (z_1)^2 - (z_2)^2 - (d_1)^2 + (d_2)^2
とか、そんな感じ。あと、[2] - [3] と [3] - [4] で3本とか。

そうして得られた X, Y, Z は、単なる必要条件ですから、
最後に [1] ~ [4] のどれか1本へ代入して、
解であることを確認しておかねばなりません。
好き勝手に d_1 ~ d_4 を与えると、解が存在しない場合もありますから。

(d_1)^2 = (x_1 - X)^2 + (y_1 - Y)^2 + (z_1 - Z)^2 …[1]
(d_2)^2 = (x_2 - X)^2 + (y_2 - Y)^2 + (z_2 - Z)^2 …[2]
(d_3)^2 = (x_3 - X)^2 + (y_3 - Y)^2 + (z_3 - Z)^2 …[3]
(d_4)^2 = (x_4 - X)^2 + (y_4 - Y)^2 + (z_4 - Z)^2 …[4]
から2式の組を3組取り出して、辺々引き算すれば、
X^2, Y^2, Z^2 の項が消えて、X, Y, Z の一次式が3本できます。
これを3元3連立一次方程式と見れば、X, Y, Z が決まります。

例えば、[1] - [2] で
2(x_1 - x_2) X + 2(y_1 - y_2) Y + 2(z_1 - z_2) Z = (x_1)^2 - (...続きを読む

Q2元2次連立方程式

次の連立方程式の解き方を教えてください。

ax^2+bxy+cy^2=0

dx^2+exy+fy^2=0

ここで、a,b,c,d,e,fは定数とする。2つの未知数に対して、2つの方程式があるので、理論上は解けると思うのですが、自明な解(x,y=0)しか求めることができませんでした。
どなたかこの2元2次の連立方程式の解き方を教えてください。よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

ちょっと自信ありませんが,

ax^2+bx+c=0・・・(1)
の解をα,βとすると
与式第一式は

a(x-αy)(x-βy)=0・・・(3)

同じように
dx^2+ex+f=0・・・(2)
の解をγ,εとすると
与式第二式は

d(x-γy)(x-εy)=0・・・(4)

となります.
式(3)から x=αy ・・・(5) or x=βy ・・・(6)
式(4)から x=γy ・・・(7) or x=εy ・・・(8)
よって,(5)=(7)or(5)=(8)or(6)=(7)or(6)=(8)のどれかが成立しなければ,
(x,y)=(0,0)という自明な解だけになると思います.

問題として

ax^2+bxy+cy^2=g

dx^2+exy+fy^2=h

となっていれば,両式からx^2を消去してxをyで表現し,どちらかの式に代入すれば,yの2次方程式が得られて・・・
という風に解が求まると思います.

Qイデオロギーって何ですか???

イデオロギーとはどんな意味なんですか。
広辞苑などで調べてみたのですが、意味が分かりません。
どなたか教えてください。

Aベストアンサー

イデオロギ-というのは確かに色んな解釈をされていますけど、
狭義ではそれぞれの社会階級に独特な政治思想・社会思想を指します。

つまり分かりやすく言えば、人間の行動を決定する根本的な物の考え方の
体系です。一定の考え方で矛盾のないように組織された全体的な理論や思想の事を
イデオロギ-と言うんです。

例えば、人間はみんな千差万別であり色んな考えを持っています。
だから賛成や反対といった意見が出てきますね。
しかし、イデオロギ-というのはみんなが認める事象の事です。
イデオロギ-には賛成・反対といった概念がないのです。

例えば、環境破壊は一般的に「やってはいけない事」という一定の考えに
組織されています。つまりみんなが根本的な共通の考え(やってはいけない事)として組織されているもの、これがイデオロギ-なんです。
しかし、社会的立場によってはその「やってはいけない事」を美化して
公共事業と称して環境破壊をする人達もいますけど。
ここでイデオロギ-という概念に対して色んな論説が出てくるわけです。
一応これは一つの例ですけど。

というかこれくらいしか説明の仕様がないですよ~~・・。
こういう抽象的な事はあまり難しく考えるとそれこそ分からなくなりますよ。
この説明で理解してくれると思いますけどね。

イデオロギ-というのは確かに色んな解釈をされていますけど、
狭義ではそれぞれの社会階級に独特な政治思想・社会思想を指します。

つまり分かりやすく言えば、人間の行動を決定する根本的な物の考え方の
体系です。一定の考え方で矛盾のないように組織された全体的な理論や思想の事を
イデオロギ-と言うんです。

例えば、人間はみんな千差万別であり色んな考えを持っています。
だから賛成や反対といった意見が出てきますね。
しかし、イデオロギ-というのはみんなが認める事象の事です。
イデオ...続きを読む

QMathematica で2元4次連立方程式を解くには・・・

教えて下さい!
2元4次連立方程式{f(x,y)=0, g(x,y)=0}
(関数fとgはxとyの4次方程式です。)について、
例えば、[x,-10,10]のような限定された範囲で
実数解(x,y)を
Mathematicaを使って、30桁精度で数値的に求め、
それをx,yの2次元プロットしたいと思っております。

Mathematica のどのような関数を組み合わせれば
これができるか、ご教示下さいませんでしょうか?

よろしくお願いいたします。

(自分でC言語でプログラムした場合、解けるには解け
るのですが、有効数字の桁数が十分でなく、部分的に
数値が丸まってしまい、プロットがとぎれてしまう問題
があったので、有効数字を自在に調節できるMathematica
でやってみようと思ったのですが、例えば、安直に
Plot[N[Solve[{f == 0, g == 0}], 30], {x, -10, 10, 0.01}]
としてもダメでした。NRootなども検討しましたがうまく
行きません。)

Aベストアンサー

何か勘違いされていると思います。
二元四次方程式には最大で16個の解があります。
NSolve[{f==0,g==0},{x,y},30]
で解を求めてその中から条件に合うものを選び出して
その値をx,yとすると
ListPlot[{x,y}]
で点を表示すればよいものと思われます。
プログラムをうまく作れば方程式を代入するだけで表示できるようになりますが、そのためにはMathematica
をよく理解しないといけません。

どうもf(x,y)=0とg(x,y)=0のグラフを描こうとされているようにも思えますが、それならば
ImplicitPlot[{f==0,g==0},{x,-10,10}]
で描くことができます。ただ標準のPackageには組み込まれていないので、使用するには下準備が必要です。
Mathematicaのヘルプをよく見て行ってください。

Q行列の正定・半正定・負定

行列の正定・半正定・負定について自分なりに調べてみたのですが、
イマイチ良くわかりません。。。
どなたか上手く説明していただけないでしょうか?
過去の質問の回答に

>cを列ベクトル、Aを行列とする。
>(cの転置)Ac>0
>となればAは正定値といいます。
>Aの固有値が全て正であることとも同値です。

とあったのですが、このcの列ベクトルというのは
任意なのでしょうか?
また、半正定は固有値に+と-が交じっていて、
負定は固有値が-のみなのですか?

どなたかお願いしますorz

Aベストアンサー

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列ではないAの固有値がすべて正だからといって、
(cの転置)Ac>0とは限りません。
例えば、
A =
[ 1 4 ]
[ 0 1 ]
とすると、Aは対称行列ではなく、固有値は1です。
しかし、
(cの転置) = [ 1, -2]
とすると、
(cの転置)Ac = -3 < 0
となってしまいます。(実際に計算して確かめてください。)
なので、行列Aが対称行列であるという条件はとても重要です。

また、半正定値の定義は、上の定義で
『ゼロベクトルではない任意の』 --> 『任意の』
と書き直したものです。
このとき、半正定値行列の固有値はすべて0以上です。(つまり0も許します。)
逆に、対称行列の固有値がすべて0以上なら、その行列は半正定値です。

さらに、負定値の定義は、『ゼロではない任意の』ベクトルcに対して
(cの転置)Ac<0
となることです。
固有値についてはもうわかりますね。

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列...続きを読む

Q2元4次の因数分解が解けません…(泣)

x^3y-xy^3-x^2+y^2+2xy-1=0  (因数分解せよ)

今、解答のなくなってしまった問題集を解いているのですが、この問題だけ解けなくて1時間近く唸っています…。

このまま飛ばしてしまうのも気持ちが悪いので、解けた方がいらっしゃいましたらお暇なときでよいのでご回答ください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

> x^3y-xy^3-x^2+y^2+2xy-1=0  (因数分解せよ)

=0 がないのが正しいでしょう.

お約束どおり,降べきの順に整理しましょう
x^3y-xy^3-x^2+y^2+2xy-1
= y x^3 - x^2 + (2y-y^2) x + y^2-1

で,困ったときには「こうなればいいな」を勝手にでっち上げて
「都合のいいようにいいように」変形してみて
うまくいったら,その答えが正しいかチェックするという
いわゆる「発見的手法」を使ってみましょう.

ここでもし,因数分解できるのであれば
( yx + A(y) )(x^2 + B(y) x + C(y) )
という式で表せるのではないかと考えます.
#ここで x の一次式の方に係数yをつけていますが
#これは二次式の方に係数yをつけても構いません
#が・・,「こうなって欲しい」という願望で
#このようにしています.
#この方が簡単になるという「見込み」です
この式を展開した結果の x^2の係数,xの係数,定数項を考えると
A(y)C(y) = y^1 -1・・・定数項
C(y)y+A(y)B(y) = 2y-y^2・・・xの係数
A(y)+B(y)y=-1 ・・・ x^2の係数

xの係数をみると,yが因数なので,A(y)B(y)もyを因数にもつはず.
一方,定数項をみれば A(y)はyを因数にもてない.
よって,B(y)=yB'(y)とおけるはず.
これより,
A(y)+y^2B'(y)=-1
これより,
A(y)がy^2-1の因数であることと定数項はA(y)からしか出てこないので
A(y)=y^2-1
よって,B'(y)=-1
したがって、C(y)y+A(y)B(y) = 2y-y^2より
C(y)y+(y^2-1)y(-1)=2y-y^2
つまり,C(y)=1

以上より
x^3y-xy^3-x^2+y^2+2xy-1 は
( yx + A(y) )(x^2 + B(y) x + C(y) )
=( yx + y^2 -1 )(x^2 - yx + 1 )
と因数分解されることが「予想される」.
実際,この式を展開すれば, x^3y-xy^3-x^2+y^2+2xy-1 が得られる.

とまあ,こういうことを計算用紙にがんがん書くわけです.
で,実際の解答には
さもいきなり思いついたように書くわけです(^^;

この場合,降べきにした後に
因数定理を使うことを考えて,(y^2-1)/yを代入して0になることを
示すとか,
( yx + y^2 -1 )( x^2 - yx + 1 )
= - ( yx + y^2 -1 )( yx -x^2 - 1 )
と考えて (yx)^2 をいきなり元の式に加えて
因数分解を始めるような書き方があると思います.

もちろん,もっときちんとした(というか,トリッキーな,定石的な
ある意味では正統派な)解があるのかもしれません

> x^3y-xy^3-x^2+y^2+2xy-1=0  (因数分解せよ)

=0 がないのが正しいでしょう.

お約束どおり,降べきの順に整理しましょう
x^3y-xy^3-x^2+y^2+2xy-1
= y x^3 - x^2 + (2y-y^2) x + y^2-1

で,困ったときには「こうなればいいな」を勝手にでっち上げて
「都合のいいようにいいように」変形してみて
うまくいったら,その答えが正しいかチェックするという
いわゆる「発見的手法」を使ってみましょう.

ここでもし,因数分解できるのであれば
( yx + A(y) )(x^2 + B(y) x + C(y) )
という式で...続きを読む


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