こんにちは。
よろしくお願いいたします。

関数の増減。最大、最小に関して
f'(x)=k(x-A)^a(x-B)^b(x-C)^c・・・
(kは0以外。A,B,Cは異なる実数)
のとき、aが奇数ならx=Aの前後でf'(x)の符号が変わるので
f(x)はx=Aの前後で極大、極小ですが・・・

と参考書にかかれているのですが、このとき、(x-B)^bなどの符号は考えなくていいのでしょうか?

A 回答 (2件)

>aが奇数ならx=Aの前後でf'(x)の符号が変わるので


>f(x)はx=Aの前後で極大、極小ですが・・・
この記述は「x=Aの前後で」つまりx=Aの近傍(x=Aに非常に近いxの範囲)において当てはまる。
ということだけを言及しているだけです。

>(x-B)^bなどの符号は考えなくていいのでしょうか?
考える必要はないですね。
>A,B,Cは異なる実数
とあるので、B,C,…はAの近傍にないと考えてよく、xが Aより僅か小さいx(A-またはA-0で表す)とAより僅か大きいx(A+またはA+0で表す)の2つの値に対して
(x-B)^bなどの符号は変化しません。
つまりx=Aの近傍のxの範囲でxが変化しても
(x-B)^bなどの符号は(A-B)^bなどの符号になるだけで符号自体は変化しません。

良く分からなければ具体例
f'(x)=5{(x-1)^3}*{(x-2)^5}*{(x+3)^2}
でx=A=1の近傍(前後)のx=0.9やx=1.1で
{(x-2)^5}や{(x+3)^2}の符号が変わるか確認してみれば
納得がいくでしょう。
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この回答へのお礼

よく分かりました。詳しく説明してくださって感謝しています。ありがとうございました。

お礼日時:2009/06/01 12:55

A, B, C がすべて異なるなら A の前後で x-B の符号は一定.

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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2009/06/01 12:54

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