(1)  (∂f/∂t)=-c*(∂f/∂x)  右進行波に対応

(2)  (∂f/∂t)=c*(∂f/∂x)  左進行波に対応


について(1),(または(2))から(∂^2*f/∂*t^2)についての方程式の導け


という問題がわかりません。
わかる方おしえて下さい。よろしくお願いします。

A 回答 (1件)

微分の順序は交換できることを用いる。


∂(∂f/∂t)∂x=∂(∂f/∂x)∂t

(1)∂^2f/∂t^2=∂(∂f/∂t)/∂t=∂(-c*(∂f/∂x) )/∂t
=-c∂((∂f/∂x))/∂t=-c∂((∂f/∂t))/∂x
=-c∂((-c*(∂f/∂x)))/∂x
=c^2∂^2f/∂x^2
(2)-c→cで同じ計算。

∂^2f/∂t^2=c^2∂^2f/∂x^2
を波動方程式という。
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数学的なモデルで作った地震動の事です

断層モデルを想定、伝搬経路を踏まえた上で地震動を予測する手法

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フィボナッチ数列F[n]は、
F[1]=1,F[2]=1,F[n+2]=F[n+1]+F[n]
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L[1]=1,L[2]=3,L[n+2]=L[n+1]+L[n]
で定義されます。このとき、

exp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

が成り立つそうなのですが、どうしてなのですか?

右辺は、フィボナッチ数列の母関数と似ていてなんとか求められるのですが、左辺をどうして求めていいかわかりません。

なお、式は
http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html
の(68)を参照しました。

Aベストアンサー

↓ここに証明がありますね。
http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf
(2.7 A surprising sum を見てください。)

参考URL:http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf

Q長周期地震動は高いビルほど壊れるんですか?

311の際、長周期地震動でヤクザ出身の石原都知事の
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いのですか?

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Aベストアンサー

超高層ビルが壊れるとは、WTCみたいなことでしょうか?
地震ではあのようには壊れません。

今考えられている最大クラスの地震、例えば南海トラフM9.1とかでは
数十cmほど傾いたりし、内部仕上げがボロボロになるとは予想されますが、
すべて修理すれば大丈夫な範囲です。

中低層の建物が壊れるかどうかはその建物の耐震性能によるでしょう。
いわゆる旧耐震と呼ばれる建物で耐震補強工事のすんでいないものは、
結構危ないと思いますよ。

それが嫌なら、1985年以降にできた建物に住むことです。

Q関数f(x)=2x^3+3px^+3px-3p^/2は、x=αで極大値f(α)を、x=βで極小値f(β)をとる。

関数f(x)=2x^3+3px^+3px-3p^/2は、x=αで極大値f(α)を、x=βで極小値f(β)をとる。ただし、pは実数とする。

という問題で、

1)pのとりうる値の範囲を求めよ。 A. p<0,2<p
2)f(α)+f(β)をpを用いて表せ。 A.f(α)+f(β)=p^3-6p^

まではできました。答えもあっているはずです。ですが、

3)2点(α,f(α)),(β,f(β))を結ぶ線分の中点の軌跡を求めよ。

という問題がどうしても解けません。
どなたかご教授下さい。お願いします。

Aベストアンサー

中点の軌跡の座標を (X , Y) とすると、
X = ( α + β ) / 2
Y = ( f(α) + f(β) ) / 2

α + β = - p
f(α) + f(β) = 問 2)より、

上 2 式から、p を消去すれば、軌跡の方程式が求まります。
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Q地震動の最大加速度について

兵庫県南部地震以前は,地震動の最大加速度は200~300Gal程度だったと思うのですが,それ以降,最大加速度はどんどん大きくなっているように思います。これは,最近地震が大きくなったというよりは,地震計の精度が単によくなったというように思うのですが、どうでしょうか?

Aベストアンサー

#3です。

>デジタルサンプリングの分解能が高くなった
→高周波成分の感度がよくなった。
→最大加速度が大きくなった。
ということでしょうか?

方眼紙に波形を適当に書いて等間隔に読み取ってみればわかると思いますが、刻みが粗いほどちょうど読み取る部分にピークがクル確率が悪くなります。
また補足にあるように、高周波成分を取り込みやすいので、その影響により大きな加速度が記録できます。

一様建築が専門なので#2さんへの補足についても回答しておきます。
建築基準法では補足にあるように数百ガル程度の加速度しか想定しておりません。つまり2000galクラスは地震外力としては考慮しておりません。

加速度による耐震設計は加速度に質量をかけると力になること、また加速度計の開発が進んだことにより、加速度を指標とすることが最初に確立されましたので、現在まで使用されています。
しかし最近の研究では、地震による建物の影響は加速度ではなく、振動エネルギーで評価するほうが妥当であると考えられています。
そのため、最近の地震観測では、エネルギーと対応のよい速度を計測することも行われています(速度の2乗がエネルギーに比例すると考えられています)。

加速度と速度の間では微積の関係があります。
加速度を積分すれば速度になります。この作業は加速度の波形の面積を求める作業ともいえます。高周波の影響はピークは高くても幅が小さいため積分してしまうと、低周波に埋もれてしまいます。

また地震応答については、建物の固有振動数との影響が関係し、建物の固有振動数よりかなり高い周波数成分については、応答倍率が小さくなることからあまり影響しません。

そのため、加速度における高周波成分はあまり建物に影響しないと考えられています。

#3です。

>デジタルサンプリングの分解能が高くなった
→高周波成分の感度がよくなった。
→最大加速度が大きくなった。
ということでしょうか?

方眼紙に波形を適当に書いて等間隔に読み取ってみればわかると思いますが、刻みが粗いほどちょうど読み取る部分にピークがクル確率が悪くなります。
また補足にあるように、高周波成分を取り込みやすいので、その影響により大きな加速度が記録できます。

一様建築が専門なので#2さんへの補足についても回答しておきます。
建築基準法では補足にあるよ...続きを読む

Qx^4-4x^3+5x^2-4x+1=0でx+1/x=tとする時、 tで表すと?

宜しくお願い致します。

4次方程式x^4-4x^3+5x^2-4x+1=0…(*)に於いてx+1/x=tとする時、 
(*)をtで表すと?
という問題なのですがどのようになるんでしょうか?

Aベストアンサー

4次方程式(あるいはそれ以上の偶数次の方程式)で、係数の並びが

a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + b*x + a = 0 ‥ (1)

のような並びになっているもの(係数の並びから俗に回文的に
『シンブンシ方程式』とも呼ばれることも)ではいつもすることですが
中央の x の次数、つまり x^2 で全体を割ります。
そうすると (1) は

a*x^2 + b*x + c + b/x + a/x^2 = 0 ‥ (2)

のように変形できます。
ここで頭と尻尾を組み合わせるように (2) を並び替えます。

(a*x^2 + a/x^2) + (b*x + b/x) + c = 0
a(x^2 + 1/x^2) + b(x + 1/x) + c = 0 ‥ (3)

更に、一般に (x^2 + 1/x^2) = (x + 1/x)^2 - 2 が成り立ちますから
これを (3) に代入すれば

a(x + 1/x)^2 + b(x + 1/x) + c - 2 = 0 ‥ (4)

ここで t = x + 1/x を (4) に代入すれば、t に関する
2次方程式に変形できます。

----------------------------------------------------------------

実際の出題では、恐らく

4次方程式 x^4 - 4x^3 + 5x^2 -4x + 1 = 0 …(*) に於いて

(a) x + 1/x = t とするとき、(*) を t で表せ。
(b) t に関する2次方程式を解け。
(c) 4次方程式 (*) に於ける解をすべて求めよ。

となっていると思います。

上の変形を参考にやってみて下さい。

4次方程式(あるいはそれ以上の偶数次の方程式)で、係数の並びが

a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + b*x + a = 0 ‥ (1)

のような並びになっているもの(係数の並びから俗に回文的に
『シンブンシ方程式』とも呼ばれることも)ではいつもすることですが
中央の x の次数、つまり x^2 で全体を割ります。
そうすると (1) は

a*x^2 + b*x + c + b/x + a/x^2 = 0 ‥ (2)

のように変形できます。
ここで頭と尻尾を組み合わせるように (2) を並び替えます。

(a*x^2 + a/x^2) + (b*x + b/x) + c = 0
a(x^2 ...続きを読む

Q長周期地震動って?

今日の宮城の地震で東京では観測されたようですが、20階以上の建物でよく揺れたと聞きました。

でも、7階建の6階にいたのですが、震度2のところ、かなり長く揺れました。
しかも免震構造らしいです。

この長周期地震動というのは、どのくらいの高さの建物から被害が大きくなるのでしょうか?
また、例えば今日の場合は20階建のビルの何階にいても同じような揺れになるのでしょうか?
それとも、20階以上がとくに酷いのでしょうか?

Aベストアンサー

阪神大震災の経験者です。

神戸市役所、西市民病院 三宮界隈の6-10階建てのマンションやビルが崩壊したのはまさしく長周期振動の影響です。
3-6階の部分が腰砕けのように崩れ落ちていました。

大地が揺れる方向と同じ方向で揺れている限りは さほど揺れに対して影響は有りませんが、
例えば大地が右に揺れているときに 建物が付いて右に揺れます。
しかし 高層住宅の場合にはその揺れは未だ上階には伝わりません。

最上階に伝わった頃には 既に左に向かって大地は動いています。
そうすることで 常時逆方向に最上階は動いていることになります。

これは遠方で有ればある程 その波長に旨く乗っかった建物は 何時までも揺れ続ける訳です。
それは高さと関係します。 
また揺れがいかに小さくても遠方になるほど池に投げた石の波形のようにゆっくりまた どこかの硬い岩盤から跳ね返った波も加わって何時までも揺れは収まらない訳です。
そして その波とは逆々に動く場合に長周期振動が発生します。

したがって 20階建てであれ 40階建てであれ 場所と 揺れ方で 全く違う結果になります。

ちなみに震源地から30Kmほど離れた六甲アイランドの高層住宅20数階建ての建物の最上階近くでは、家財道具が飛び交ったと聞いています。
我が家は震源地から僅か3Kmの処です。
地盤の関係で東に走った揺れは60kmも先まで影響を及ぼしましたが、 僅か3km北側に有る我が家の家財で壊れたものは炊飯器くらいでした。

遠方ほどその影響が有りますが、高さについては一概には言えないと思います。

小さい子供のフラフープ遊びもその原理です。

阪神大震災の経験者です。

神戸市役所、西市民病院 三宮界隈の6-10階建てのマンションやビルが崩壊したのはまさしく長周期振動の影響です。
3-6階の部分が腰砕けのように崩れ落ちていました。

大地が揺れる方向と同じ方向で揺れている限りは さほど揺れに対して影響は有りませんが、
例えば大地が右に揺れているときに 建物が付いて右に揺れます。
しかし 高層住宅の場合にはその揺れは未だ上階には伝わりません。

最上階に伝わった頃には 既に左に向かって大地は動いています。
そうすることで 常時逆...続きを読む

Q∂f/∂x=∂f/∂yの表される解を考えてみました

∂f/∂x=∂f/∂y ・・・・・・・(1) の解について

(1)を満たす解f(x,y)はz=x+yとしてf(x,y)=C(z) (C(z)はzについて微分可能な任意関数)である。
しかしこの解がそれ以外で表されるか否かというのを考えてみました。

(考察)
f(x,y)が(1)の解であるならば、zを任意の定数として固定してy=-x+zのとき
合成関数の微分法を用いて
df(x,-x+z)/dx=0 である。
これをf(x,-x+z)について解くと、f(x,-x+z)=C(z) (C(z)はzのみに依存する任意関数)

すなわち df(x,-x+z)/dx=0 ⇔ f(x,-x+z)=C(z) 
                  ⇔ f(x,y)=C(x+y)  ・・・・・・・・・・・(2)
しかし(1)に代入するとC(x+y)はx+yについて微分可能でないといけないことが分かるので
結局(2)は
 df(x,-x+z)/dx=0 ⇔ f(x,y)=C(x+y) (C(x+y)はx+yについて微分可能な任意関数) ・・・・・・(2)'

となる。
逆に(1)を満たす解の中でf(x,y)=C(x+y)の形以外の適当なx,yに依存する関数F(x,y)を考える。
y=-x+z(zは任意定数)と制限されれば x+yのみに依存する任意関数C(x+y)をとっても
F(x,y)≠C(x+y)であるから (2)'からdF(x,-x+z)/dx≠0    
つまりy=-x+zのとき
dF(x,-x+z)/dx=∂F/∂x+dy/dx・∂F/∂y=∂F/∂x -∂F/∂y≠0 で
このときF(x,y)は(1)を満たさない。

したがって(1)を満たす解はz=x+yとして
f(x,y)=C(z) (C(z)はzについて任意の微分可能な関数)でしか表せない事が分かった。

この説明方法に誤り、アドバイスあれば指摘してください。
問題は(1)の解でy=-x+zと制限すれば必ずdf(x,-x+z)/dx=0なるという情報が分かっている。
F(x,y)をy=-x+zで制限されたときF(x,-x+z)/dx ≠0だから(1)はこのとき満たされないため
f(x,y)=C(x+y)のみしか表せないと考えたのであるが、それでよいかどうか。


fが(1)の解 ⇒ y=-x+zのとき df(x,-x+z)/dx=0
これより  y=-x+zのときdF(x,-x+z)/dx≠0 ⇒ Fは(1)の解でない 
だから
(1)の解はf(x,y)=C(x+y)のみというのが自分の考え。

∂f/∂x=∂f/∂y ・・・・・・・(1) の解について

(1)を満たす解f(x,y)はz=x+yとしてf(x,y)=C(z) (C(z)はzについて微分可能な任意関数)である。
しかしこの解がそれ以外で表されるか否かというのを考えてみました。

(考察)
f(x,y)が(1)の解であるならば、zを任意の定数として固定してy=-x+zのとき
合成関数の微分法を用いて
df(x,-x+z)/dx=0 である。
これをf(x,-x+z)について解くと、f(x,-x+z)=C(z) (C(z)はzのみに依存する任意関数)

すなわち df(x,-x+z)/dx=0 ⇔ f(x,-x+z)=C(z) 
     ...続きを読む

Aベストアンサー

よいと思います。
(x,y) から (x,z), z=x+y へ
変数変換して考えたのですね。

(x,y) から (z,w), z=x+y, w=x-y へ
変換して考えてみても、x を共用しないので
解りやすいかもしれません。

Q長周期地震動について教えて下さい。

長周期地震動について教えて下さい。
先日テレビでも特集をやっていたようですが、被害が大きいとされる東京に住んでいます。
これは高層ビルで長く揺れるということですか?

今13階建ての4階に住んでいますが、先ほど東北で震度4で、自分の住んでる所は震度1の地震でしたが、かなりゆっくり長く揺れ、いろんなものが大きく揺れました。

どのようなビルの何階が被害が大きいのか、判る方教えて下さい。

Aベストアンサー

地震ってのは地中を伝わる波です。その波の波長が長く、周期が長い地震のことを長周期地震といいます。
周期が長いと小さい物体は揺れにくく、大きい物体は揺れやすくなります。つまり、大きい物体であるビルはよく揺れるということになります。
一概に何階がよく揺れるとは断定できませんが、一階よりかは高層になればなるほど揺れは大きくなります。
ただ、崩れるとかはないので、家具をしっかり固定しておけば、被害は少なくすむと思います。

Q公式d(g(x)*f(x))/dx=f(x)*dg(x)/dx+g(x)*df(x)/dxに関する初歩的質問

この公式は私のような人間には実に深遠な印象を与えますが、いまf(x)をx,g(x)をx^2として、y=x^3を考えてみるとdy/dx=x*2x+x^2*xが3x^2となって、初心者でも計算できる公式になります。このように初心者が簡単な例で、難しい公式の正しさを納得できますが、このような納得の仕方と正当な数学学習との接点はどこかにあるのでしょうか。以前にも似た質問をさせていただきましたが、演繹と帰納との関係でもあるのかとも思い、再度質問させていただきました。

Aベストアンサー

こんにちは。

A)公式d(g(x)*f(x))/dx=f(x)*dg(x)/dx+g(x)*df(x)/dx
から
C)(x^3)’= 3x^2
を導くのと、

B)公式(x^n)’= nx^(n-1)
から
C)(x^3)’= 3x^2
を導くのとで、
同じ結果が得られたということですよね。


つまり、
A→C (CはAからの帰納)

B→C (CはBからの帰納)
は、
「それぞれ正しい」ということです。


言い換えれば、
CはAの十分条件であり、Bの十分条件でもあるということです。
あるいは、
AはCの必要条件であり、BもCの必要条件であるということです。


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