(1)  (∂f/∂t)=-c*(∂f/∂x)  右進行波に対応

(2)  (∂f/∂t)=c*(∂f/∂x)  左進行波に対応


について(1),(または(2))から(∂^2*f/∂*t^2)についての方程式の導け


という問題がわかりません。
わかる方おしえて下さい。よろしくお願いします。

A 回答 (1件)

微分の順序は交換できることを用いる。


∂(∂f/∂t)∂x=∂(∂f/∂x)∂t

(1)∂^2f/∂t^2=∂(∂f/∂t)/∂t=∂(-c*(∂f/∂x) )/∂t
=-c∂((∂f/∂x))/∂t=-c∂((∂f/∂t))/∂x
=-c∂((-c*(∂f/∂x)))/∂x
=c^2∂^2f/∂x^2
(2)-c→cで同じ計算。

∂^2f/∂t^2=c^2∂^2f/∂x^2
を波動方程式という。
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Q偏微分方程式 (∂^2 u)/(∂x∂y)=0続き

※つい先ほど、質問させていただいた
偏微分方程式 (∂^2 u)/(∂x∂y)=0
http://okwave.jp/qa/q8116262.html
の続き(後半)です。
また、先週、質問させていただいた
「偏微分方程式 (∂^2 u)/(∂x^2)=0」
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8102140.html
にも関連しています(ややこしくて、すみません)。

u を x と y の関数として、次の偏微分方程式の解 u(x,y) の形を求めよ。

(∂^2 u)/(∂x∂y)=0

模範解答
(∂/∂x)(∂u/∂y)=0 であるから、

     ∂u/∂y = φ(y)
     (φ(y)はyの任意の関数)

である。したがって、

     u = ∫φ(y)dy + θ(x)     ←これに至るまでの過程が分かりません
      = φ_1(y) + θ(x)
     (θ(x), φ_1(y)はそれぞれxおよびyの任意の関数)

となる。

・・・と本に書いてあります。
u = ∫φ(y)dy + θ(x) に至るまでの過程が分かりません。

上記の「∂u/∂y = φ(y)
     (φ(y)はyの任意の関数)
である。」以降を自分なりに解いてみますと:

次に
     (∂/∂y){y・φ(y)} = φ(y)
となることを活かして
     ∂u/∂y = (∂/∂y){y・φ(y)}
と変形する。これを移項して
     ∂u/∂y - (∂/∂y){y・φ(y)} = 0
     (∂/∂y){u - y・φ(y)} = 0
w = u - y・φ(y)とおけば
     ∂w/∂y = 0
となるので、例題の(1)式(http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8102140.html参照のこと)と同様にして
     w = θ(x)
     (θ(x)はxの任意の関数)
u - y・φ(y) = wと戻すと
     u - y・φ(y) = θ(x)
     u = y・φ(y) + θ(x)
(θ(x), φ(y)はそれぞれxおよびyの任意の関数)

・・・となりました。
どのタイミングでu = ∫φ(y)dy + θ(x)にしないといけないのか、
そして、たとえ∂u/∂y = φ(y)の両辺をyで積分したとしても、
なぜいきなりθ(x)が出てきたのか分かりません。

ちなみに本の模範解答のφ_1(y)って、
φ(y)をyで掛けようが割ろうがyの任意の関数であることには変わりはないので、
もしかして私が出した答えのy・φ(y)と同じ意味でしょうか?

いろいろ質問してすみません。どうか教えて下さい。お願いします。

※つい先ほど、質問させていただいた
偏微分方程式 (∂^2 u)/(∂x∂y)=0
http://okwave.jp/qa/q8116262.html
の続き(後半)です。
また、先週、質問させていただいた
「偏微分方程式 (∂^2 u)/(∂x^2)=0」
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8102140.html
にも関連しています(ややこしくて、すみません)。

u を x と y の関数として、次の偏微分方程式の解 u(x,y) の形を求めよ。

(∂^2 u)/(∂x∂y)=0

模範解答
(∂/∂x)(∂u/∂y)=0 であるから、

     ∂u/∂y = φ(y)
     (φ(y)はyの任意の関数)

である。したがっ...続きを読む

Aベストアンサー

>「∂u/∂y = φ(y) (φ(y)はyの任意の関数)である。」

>u = ∫φ(y)dy + θ(x)     
>←これに至るまでの過程が分かりません

過程などありません。
yについての不定積分だから
原始関数:∫φ(y)dy
に積分定数を加えただけです。yについての不定積分なので
xについての任意関数θ(x)が積分定数となります。
ただそれだけのことです。

>      = φ_1(y) + θ(x)
(θ(x), φ_1(y)はそれぞれxおよびyの任意の関数)>
上述の原始関数:∫φ(y)dyは積分形なので改めて
原始関数φ_1(y)で置き換えただけです。

>次に
>     (∂/∂y){y・φ(y)} = φ(y)
>となることを活かして
とはなりません。
(∂/∂y){y・φ(y)} = φ(y)+yφ'(y)
ですよ。
なので、あなたの折角の苦労も無駄でしたね。

Qばらつきのある作業の繰り返しについて

質問させて頂きます。
ばらつきのある作業を行っており、
各作業のばらつきをσ値として管理しています。
各作業は、一つのフローであり、一つの作業のばらつきが
最終ばらつきを大きくします。

例えば、
一つ目の作業のばらつきσが50
二つ目の作業のばらつきσが70
であった場合、
上記二つの作業による最終ばらつきは
どのように計算させるのでしょうか?

また、作業が二つではなく、三つ以上の場合は
どのように考えればよいのでしょうか?

ご回答頂けますようお願い致します。

Aベストアンサー

一つ目の作業と二つ目の作業が独立なら、分散の加法性が成り立つと考えられます。

最終ばらつき=(50^2+70^2)^0.5=86

n段階からなる作業の最終ばらつきは、
(σ1^2+σ2^2+σ3^3+・・・+σn^2) ^0.5
但し、全て作業のばらつきは独立であること。

Q∂f/∂x=∂f/∂yの表される解を考えてみました

∂f/∂x=∂f/∂y ・・・・・・・(1) の解について

(1)を満たす解f(x,y)はz=x+yとしてf(x,y)=C(z) (C(z)はzについて微分可能な任意関数)である。
しかしこの解がそれ以外で表されるか否かというのを考えてみました。

(考察)
f(x,y)が(1)の解であるならば、zを任意の定数として固定してy=-x+zのとき
合成関数の微分法を用いて
df(x,-x+z)/dx=0 である。
これをf(x,-x+z)について解くと、f(x,-x+z)=C(z) (C(z)はzのみに依存する任意関数)

すなわち df(x,-x+z)/dx=0 ⇔ f(x,-x+z)=C(z) 
                  ⇔ f(x,y)=C(x+y)  ・・・・・・・・・・・(2)
しかし(1)に代入するとC(x+y)はx+yについて微分可能でないといけないことが分かるので
結局(2)は
 df(x,-x+z)/dx=0 ⇔ f(x,y)=C(x+y) (C(x+y)はx+yについて微分可能な任意関数) ・・・・・・(2)'

となる。
逆に(1)を満たす解の中でf(x,y)=C(x+y)の形以外の適当なx,yに依存する関数F(x,y)を考える。
y=-x+z(zは任意定数)と制限されれば x+yのみに依存する任意関数C(x+y)をとっても
F(x,y)≠C(x+y)であるから (2)'からdF(x,-x+z)/dx≠0    
つまりy=-x+zのとき
dF(x,-x+z)/dx=∂F/∂x+dy/dx・∂F/∂y=∂F/∂x -∂F/∂y≠0 で
このときF(x,y)は(1)を満たさない。

したがって(1)を満たす解はz=x+yとして
f(x,y)=C(z) (C(z)はzについて任意の微分可能な関数)でしか表せない事が分かった。

この説明方法に誤り、アドバイスあれば指摘してください。
問題は(1)の解でy=-x+zと制限すれば必ずdf(x,-x+z)/dx=0なるという情報が分かっている。
F(x,y)をy=-x+zで制限されたときF(x,-x+z)/dx ≠0だから(1)はこのとき満たされないため
f(x,y)=C(x+y)のみしか表せないと考えたのであるが、それでよいかどうか。


fが(1)の解 ⇒ y=-x+zのとき df(x,-x+z)/dx=0
これより  y=-x+zのときdF(x,-x+z)/dx≠0 ⇒ Fは(1)の解でない 
だから
(1)の解はf(x,y)=C(x+y)のみというのが自分の考え。

∂f/∂x=∂f/∂y ・・・・・・・(1) の解について

(1)を満たす解f(x,y)はz=x+yとしてf(x,y)=C(z) (C(z)はzについて微分可能な任意関数)である。
しかしこの解がそれ以外で表されるか否かというのを考えてみました。

(考察)
f(x,y)が(1)の解であるならば、zを任意の定数として固定してy=-x+zのとき
合成関数の微分法を用いて
df(x,-x+z)/dx=0 である。
これをf(x,-x+z)について解くと、f(x,-x+z)=C(z) (C(z)はzのみに依存する任意関数)

すなわち df(x,-x+z)/dx=0 ⇔ f(x,-x+z)=C(z) 
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Aベストアンサー

よいと思います。
(x,y) から (x,z), z=x+y へ
変数変換して考えたのですね。

(x,y) から (z,w), z=x+y, w=x-y へ
変換して考えてみても、x を共用しないので
解りやすいかもしれません。

Q長周期地震動は高いビルほど壊れるんですか?

311の際、長周期地震動でヤクザ出身の石原都知事の
都庁は揺れてましたが、新宿などの高いビルほど壊れ易
いのですか?

高層ビルが壊れるほど揺れたとしたら、10階建て前後の
マンションとか、あるいは2階建ての一戸建て、木造や鉄
筋の違いはありますが、やはりそれらも一緒に壊れてしま
うのでしょうか?

Aベストアンサー

超高層ビルが壊れるとは、WTCみたいなことでしょうか?
地震ではあのようには壊れません。

今考えられている最大クラスの地震、例えば南海トラフM9.1とかでは
数十cmほど傾いたりし、内部仕上げがボロボロになるとは予想されますが、
すべて修理すれば大丈夫な範囲です。

中低層の建物が壊れるかどうかはその建物の耐震性能によるでしょう。
いわゆる旧耐震と呼ばれる建物で耐震補強工事のすんでいないものは、
結構危ないと思いますよ。

それが嫌なら、1985年以降にできた建物に住むことです。

Q偏微分方程式 ∂u/∂x = u^2

u を x と y の関数として、次の偏微分方程式の解 u(x,y) の形を求めよ。

∂u/∂x = u^2

模範解答
1/(u^2) (∂u/∂x) = 1 と変形して

     - 1/u = x + φ(y)

を得る。これより

     u = -1 / { x + φ(y) }
     (φ(y)はyの任意の関数)
 
・・・と本には書かれていますが、
1/(u^2) (∂u/∂x) = 1 と変形してから

     -1/u = x + φ(y)

を得るまでの過程を正式にどう書くのかが分かりません。
自分なりにやってみますと:

     1/(u^2) (∂u/∂x) = 1

両辺をxで偏積分(?)する

     ∫{ 1/(u^2) (∂u/∂x) } ∂x = ∫1∂x
     ∫{ 1/(u^2) } ∂u = x + φ(y)
     ∫{ u^(-2) } ∂u = x + φ(y)
     (1/-1) u^(-1) + C = x + φ(y)
     -u^(-1) + C = x + φ(y)
     -1/u + C = x + φ(y)
     -1/u = x + φ(y) - C

積分定数Cをφ(y) で吸収・合併(!?)

     -1/u = x + φ(y)

・・・となりました。まず、考え方はこれで合ってますでしょうか?
そして、正式にはどう書くのでしょうか?
教えてください。お願いします。

u を x と y の関数として、次の偏微分方程式の解 u(x,y) の形を求めよ。

∂u/∂x = u^2

模範解答
1/(u^2) (∂u/∂x) = 1 と変形して

     - 1/u = x + φ(y)

を得る。これより

     u = -1 / { x + φ(y) }
     (φ(y)はyの任意の関数)
 
・・・と本には書かれていますが、
1/(u^2) (∂u/∂x) = 1 と変形してから

     -1/u = x + φ(y)

を得るまでの過程を正式にどう書くのかが分かりません。
自分なりにやってみますと:

     1/(u^2) (∂u/∂x) = 1

両辺をxで偏積分(?)する

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Aベストアンサー

∂u/∂x = u^2

u^(-2)∂u/∂x=1 (1)

をみて

∂u^n/∂x =nu^(n-1)∂u/∂x  (2)

を連想します。

uの次数が合うためには

n=-1

∂u^(-1)/∂x=-u^(-2)∂u/∂x=-1

すなわち

∂u^(-1)/∂x=-1

これより

u^(-1)=-x+p(y)

u=-1/(x-p(y)) ( -p(y)=φ(y)とすればよい。)

質問者のやり方ももちろんあっています。


> xで偏積分(?)する

通常

「xで積分する」と言っています。

Q地震動の最大加速度について

兵庫県南部地震以前は,地震動の最大加速度は200~300Gal程度だったと思うのですが,それ以降,最大加速度はどんどん大きくなっているように思います。これは,最近地震が大きくなったというよりは,地震計の精度が単によくなったというように思うのですが、どうでしょうか?

Aベストアンサー

#3です。

>デジタルサンプリングの分解能が高くなった
→高周波成分の感度がよくなった。
→最大加速度が大きくなった。
ということでしょうか?

方眼紙に波形を適当に書いて等間隔に読み取ってみればわかると思いますが、刻みが粗いほどちょうど読み取る部分にピークがクル確率が悪くなります。
また補足にあるように、高周波成分を取り込みやすいので、その影響により大きな加速度が記録できます。

一様建築が専門なので#2さんへの補足についても回答しておきます。
建築基準法では補足にあるように数百ガル程度の加速度しか想定しておりません。つまり2000galクラスは地震外力としては考慮しておりません。

加速度による耐震設計は加速度に質量をかけると力になること、また加速度計の開発が進んだことにより、加速度を指標とすることが最初に確立されましたので、現在まで使用されています。
しかし最近の研究では、地震による建物の影響は加速度ではなく、振動エネルギーで評価するほうが妥当であると考えられています。
そのため、最近の地震観測では、エネルギーと対応のよい速度を計測することも行われています(速度の2乗がエネルギーに比例すると考えられています)。

加速度と速度の間では微積の関係があります。
加速度を積分すれば速度になります。この作業は加速度の波形の面積を求める作業ともいえます。高周波の影響はピークは高くても幅が小さいため積分してしまうと、低周波に埋もれてしまいます。

また地震応答については、建物の固有振動数との影響が関係し、建物の固有振動数よりかなり高い周波数成分については、応答倍率が小さくなることからあまり影響しません。

そのため、加速度における高周波成分はあまり建物に影響しないと考えられています。

#3です。

>デジタルサンプリングの分解能が高くなった
→高周波成分の感度がよくなった。
→最大加速度が大きくなった。
ということでしょうか?

方眼紙に波形を適当に書いて等間隔に読み取ってみればわかると思いますが、刻みが粗いほどちょうど読み取る部分にピークがクル確率が悪くなります。
また補足にあるように、高周波成分を取り込みやすいので、その影響により大きな加速度が記録できます。

一様建築が専門なので#2さんへの補足についても回答しておきます。
建築基準法では補足にあるよ...続きを読む

Q定数係数の同次一階線形偏微分方程式のサイト

宜しくお願い致します。

定数係数の同次一階線形偏微分方程式の解き方の載っているサイトをご存知の方いらっしゃいましたらお教え下さい。

Aベストアンサー

ココ↓
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/diffpub/node1.html
のサイトの「偏微分方程式の3つの解法」あたりが参考にならないでしょうか。。。

参考URL:http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/diffpub/node1.html

Qばらつきの度合いを数値にする

統計学はまったくの素人なのですが、
数値のばらつきの度合いをエクセルを使って表す方法があったら教えてください。例えば

(1) 3 3 3 2 3 4 3 3 3 3
(2) 3 5 2 3 1 2 6 2 4 2

(1)より(2)のほうがばらつきが大きいことを数値で表現できるでしょうか。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

「ばらつき」の度合にどう言う数値が使われるか調べましたか。
基本統計量の中に
(1)標準偏差 偏差平方和
(2)分散 偏差
(3)最高ー最低
(4)四分位
(5)歪度・尖度
などのうち((4)以下は厳密には、分散に関するものではないでしょう。)標準偏差が使われる例が多いが
エクセル関数では
STDEV
STDEVP
DEVSQ
VAR
VARP
があり
エクセル関数 統計の中の関数を調べてください。
またどんなものかは、WEBで関数名を入れて照会すれば多数解説が出てきます。OKWAVEで質問しての回答よりずっと豊富。
STDEVとSRDEVPの定義式の分母の違いは、先生の統計の授業で話を良く聞いてください。わかりにくい箇所です。

Q偏微分方程式と常微分方程式

物質濃度をC、時間をt、座標をx、物質の分子拡散係数をνとすると分子拡散による物質濃度の時空間変化は以下の偏微分方程式によって記述される。これについて以下の問いに答えよ。
∂C/∂t=ν((∂^2)C/∂x^2)

(1)C(x,t)=X(x)T(t)と仮定することにより、X(x)およびT(t)に関する常微分方程式をそれぞれ導出せよ。
(2)(1)での2つの常微分方程式の一般解をそれぞれ求めよ。
(3)上記拡散方程式は一般に放物型と言われる偏微分方程式に分類される。これとは別の楕円型と言われる偏微分方程式を1つ、数式で記述せよ。


困っているのは(2)の問題です。

以下のようなwebサイトを見つけました。

http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/partial/

これに沿って問題を解いていったとき、一般解をどのようにするべきか迷いが生じました。今回の問題では初期条件や境界条件はないため、一般解はλが正、ゼロ、負のとき全ての場合の一般解を求めなければならないということですか?

後もう1点、もしよければ、楕円型の微分方程式として有名な物理現象、あるいは式を教えていただけないでしょうか?

ヨロシクお願いしますm(_ _)m

特に(2)の問題に関する質問、ヨロシクお願いします。。。

物質濃度をC、時間をt、座標をx、物質の分子拡散係数をνとすると分子拡散による物質濃度の時空間変化は以下の偏微分方程式によって記述される。これについて以下の問いに答えよ。
∂C/∂t=ν((∂^2)C/∂x^2)

(1)C(x,t)=X(x)T(t)と仮定することにより、X(x)およびT(t)に関する常微分方程式をそれぞれ導出せよ。
(2)(1)での2つの常微分方程式の一般解をそれぞれ求めよ。
(3)上記拡散方程式は一般に放物型と言われる偏微分方程式に分類される。これとは別の楕円型と言われる偏微分方程式を1つ、数式で記述せよ...続きを読む

Aベストアンサー

>一般解はλが正、ゼロ、負のとき全ての場合の一般解を求めなければならないということですか?
境界条件が何も与えられてないのであれば、そうですね。
正負は同じ形になるので場合わけしないでもいいですが、少なくともゼロは分けないとだめですね。

楕円型の代表例は、Poisson方程式です。非圧縮性流体の定常流の圧力分布とか、空間電荷が与えられたときの電位とか、いろんなところででてきます。あるいは、斉次なポアソン方程式(ラプラス方程式)の解は調和関数といいますが、正則な複素関数とか。


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