線形写像の問題です。

以下の問題ですが解けないので困っています。


よろしくお願いします

No.2 ベストアンサー 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2009/05/31 18:56

（１）　次の条件を使います。

　　ａ）　ベクトルｘとＴ（ｘ）の中点は、ベクトルｕと直交する。
　　ｂ）　ベクトルｘとＴ（ｘ）で表される点を結んだ直線は、ベクトルｕと平行。

　これらを式で表すと、次のようになります。
　　ａ）　（　{ T(x) + x }/2　， u ）＝０
　　ｂ）　T(x) - x ＝ k u　（ｋ：実数）

　これらを連立することで、次の答えが得られます。
　　∴　ｋ＝－２（ｘ，ｕ）
　　　　Ｔ(x)＝－２（ｘ，ｕ）ｕ＋ｘ

（２）　行列については、次のように考えます。
　　ａ）　ｘを－θだけ原点を中心に回転させます。
　　ｂ）　回転させたものを　ｙ軸に対して対称移動　させます。
　　ｃ）　対称移動させたものを　＋θだけ原点を中心に回転させます。

　　すると、行列Ａ（２×２の正方行列）は次のようになります。

　　　Ａ＝[ cosθ, -sinθ; sinθ, cosθ] [ -1, 0; 0, 1] [ cosθ, sinθ; -sinθ, cosθ]
　　　　＝[ -cos(2θ), -sin(2θ); -sin(2θ), cos(2θ) ]

　　（　「；」で行を折り返してください。）

No.1 回答者： settheory 回答日時： 2009/05/31 10:27

xを直線l上の点とします。

xとuとの内積が０ということは、xとuが直交してることになります。両方とも原点からのベクトルなので、原点で直交していることがわかります。よって、uの方向を横軸とすれば、lはその縦軸になります。(XY平面のX軸とY軸の関係)　Ｔというのは、平面の点をその縦軸で折り返す操作になります。

uの長さが1より、原点を中心とする、半径１の円周上の点になり、問題文（２）のように表せます。上のことと合わせると、実数平面のX軸、Y軸を角θだけ回転させ、回転させたY軸について線対称になるよう点をうつすというのが、Ｔの意味です。（図を描いてみればわかると思います。）点xからＴ(x)に向かうベクトルが直線lと直交します。そのことからベクトルuと平行になります。ベクトルxをベクトルuに正射影したものを考えれば、xからT(x)に向かうベクトルがわかります。T(x)が求まれば、それを行列に書き直すのは難しくはないと思います。