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2つの2次形式
F(x,y) = 7x^2 + 2√3xy + 5y^2
G(x,y) = x^2 + y^2

が存在するとき、F/G の最大値と最小値を求めよ。という問題について

Fを行列の対角化を用いて2次形式の標準形に直すことを利用して求める
らしいのですが、今ひとつ教科書の解説が要領を得ず理解しがたいです。

Fを標準形に直すことと、この関数の最大値・最小値を求めることにどんな
関係があるのでしょうか?

教えて!goo グレード

A 回答 (6件)

2次形式の標準形に直すことを利用してやってみましょう。


x=(x y)^T
A=((7 √3)^T (√3 5)^T)
とすると
F = x^T A x
G = x^T x
です。Aの固有多項式(7-t)(5-t)-3=0を解いてt=4または8で固有値が分かり、それに対応する固有ベクトルが
p1=(1/2)(1 -√3)^T
p2=(1/2)(√3 1)^T
だから
P=(p1 p2)
を使って対角化できます。
B=P^T A Pを計算するとB=((4 0)^T (0 8)^T)になるのでF=4X^2+8Y^2になることが分かります。ただし
x=(1/2)(X+√3Y)
y=(1/2)(-√3X+Y)
です。同じ変換でG=X^2+Y^2になることも分かります。ちなみにこの変換は原点を中心とした60度の回転です。
F/G=(4X^2+8Y^2)/(X^2+Y^2)の最大、最小は簡単に求まり、最大値=8で最小値=4ですね。
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この程度なら、判別式だけで片がつく。



F/G =kとして分母を払うと、(7-k)x^2+2√3*xy+(5-k)y^2=0 ‥‥(1)
7-k=0の時は自分で考えてもらうとして、7-k≠0のときは、xは実数から判別式≧0.
その結果、(k^2-12k+32)y^2≦0. y^2≧0より、k^2-12k+32=(k-8)*(k-4)≦0 → 4≦k≦8 ‥‥(2)
後は、最大値と最小値を与えるxとyの値を(1)と(2)から求めるだけ。
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行列を使わない方法だと


x=r*cos(t),y=r*sin(t)(0<=t<=2π,r>=0)とおくと
F/G=f(t)=7(cos(t))^2+(2√3)sin(t)cos(t)+5(sin(t))^2
={1+cos(2t)}+(√3)sin(2t)+5
=6+2sin(2t+π/6)
最大値=6+2=8,最小値=6-2=4
このときの
t や m=y/x は分かると思いますので自分で求めて下さい。

自分で提案し習った方法は、教科書をよく読んで自力でやってください。
それでも分からないなら、質問者さんのやった解答の詳細を補足に書いた上で行き詰ったところを質問するようにして下さい。

自分で解ける簡単な方法をまず身につけることが大切ですね。
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計算ミスの指摘には感謝するが、そんな事は自慢じゃないが、いつもの事。

。。。w

別解を示しておく。

x=r*cosθ、y=r*sinθ、0≦θ<2π、r≠0とする。
P=F/G=7(cosθ)^2+2√3(cosθ*sinθ)+5(sinθ)^2=5+2(cosθ)^2+√3*sin(2θ)=6+cos(2θ)+√3*sin(2θ)=6+2sin(2θ+π/6)。|sin(2θ+π/6)|≦1より、4≦P≦8.
等号成立は?
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とりあえず、#1のかたは計算ミスをしていますね。


x=y=1でF/G=(12+2√3)/2=6+√3
ですからね。

せっかく行列を使うなら、次の定理を使いましょう。
定理の名前は忘れました。

f = (x^T A x)/(x^T x)の最大値最小値は実対称行列Aの固有値の中での最大、最小のものと一致する。
(xはn次元の実数の縦ベクトル、Aはn×n行列の実対称行列、x^Tはxの転置)

これを使ってしまえば
ベクトルを
[x,y]^T
A =[[7,√3][√3,5]]
とすれば、上の式がF/Gになるので、最大値と最小値は
Aの固有値になります。

計算ミスをしていなければ、
Max 8
min 4
だと思います。
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わざわざ行列を持ち出す必要もない。



xとyのどちらかが0の場合は、自分で考えてもらうとして、x≠0、y≠0として、話を進めよう。

y/x=tとすると、t≠0で、P=F/G=(5t^2+2√3*t+7)/(t^2+1)=5+2(√3*t+1)/(t^2+1)。‥‥(1)
(√3*t+1)=mとすると、m≠1で、P=(6m)/(m^2-2m+4)=6/{m+4/(m)-2}。 ところが、|m+1/m|≧4 (等号成立は?)から、-1≦P≦3.

計算に自信なし、チェックしてね。
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