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CRの並列回路とLが直列に繋がっている回路で、インダクタンスLを一定とし、Rを変化させて、電流の最大値と最小値の比を2とするためにはLとCにいかなる関係があるかという問題なのですが、解き方が分かりません。

式としては、
Z=jωL+1/{(1/R)+jωc}となると思います。
よろしくお願いします。

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A 回答 (6件)

>この問題はベクトル軌跡を用いないと解けない問題なのでしょうか?


>その場合は、簡単にでいいので書き方を教えていただけると幸いです。
ベクトル軌跡を使わないで解く場合は
Z=jXL+(RXC^2-jRXC^2)/(R^2+XC^2)
の|Z|が最大最小のRを求める必要があります。
何となくは分かりますが、ベクトル軌跡では
R//XCのベクトル軌跡は虚軸(縦軸)にj/XCをとり実軸に0~∞に線を引きこれを加えると縦軸上に1/XC、そこから横軸に平行に線を引きます。これでRとXCの合成のアドミッタンスのベクトル図が描けます。つぎにこのアドミッタンスのベクトル図の逆図形を描きます。(直線の逆図形は円になる、この場合は半円です)
これは原点からの距離(1/XC)の逆数、XCを直径とする半円になります。原点を通り、中心の座標が(0,-XC/2)で右半分の半円になります。R=0の時円の下端、R=∞の時円の上端。(Rを0から無限大に変化させると下端から円周上を反時計方向に移動します)
 この半円にjXLだけ中心を縦軸方向に移動させます。
 それが、合成インピーダンスZのベクトル軌跡になります。(Rを可変したときの)
 これよりZの最大最小は原点から考えて、XC/2>XLのとき
 R=0の時Zが最大で、R=∞の時Zが最小になる。ただし最大最小の電流の位相は180°異なる。
 XC/2<XL<XCのときはR=0でZが最大、R=∞でZが最小になる。このときも電流は位相が180°ことなる。
 XL>XCのとき
 R=0でZが最小でR=∞でZが最大になる。
 このときは電流の位相は同相です。
当然Z最大で電流は最小、Z最小で電流は最大になる。
 ベクトル軌跡、ベクトルの逆図形は余り聞き慣れませんが、大変おもしろいので頑張ってください。
 交流回路等の参考書に載ってます。


 
 次にこの半円を+jXL移動させた図形が合成インピーダンスZのべくとる軌跡になります。ここで半円の始まりと
 
「CRの並列回路とLが直列に繋がっている回」の回答画像6
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この回答へのお礼

回答いただきありがとうございます。
詳細な説明ありがとうございました。
わざわざ画像まで用意していただいて感謝感激です。

この画像と説明を元にベクトル軌跡の勉強をしてみようと思います。
この度は長々とありがとうございました。

お礼日時:2009/06/14 23:08

>ようやく答えだけ(途中式なしです)分かったのですが、


答えはωL=2/ωCということでした。
Zのベクトル軌跡からこの場合R=∞の時Zminになり、R=0でZmaxになります。
 ただ最大最小の電流の比が大きさが2ではなく、ベクトル的にも+2の場合はXL/(XL-XC)=2 となりXL=2XCとなりますね。
 大きさの比がが単に2なら(ベクトル的には±2)なら答えはほかに2つ存在します。
 (1)XL/(XL-XC)=-2  ∴XL=2/3・XC
 (2)(XL-XC)/XL=-2  ∴XL=1/3・XC
の様になります。
 私は単純に大きさで考えてました。引っかかってしまいました。 
「CRの並列回路とLが直列に繋がっている回」の回答画像5
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

ただ、自分はベクトル軌跡というものを今いち理解していないのですが、
この問題はベクトル軌跡を用いないと解けない問題なのでしょうか?
その場合は、簡単にでいいので書き方を教えていただけると幸いです。

お礼日時:2009/06/13 22:00

インピーダンスZの式から、明らかに、Zは抵抗Rの増加に伴い単調に


増加することが分かります。
また、電流はインピーダンスに反比例しますから、Rが小さいとき
すなわち、R=0のとき、電流が最大。電源電圧をEとすると、
Imax=E/(ωL)、また、R=∞のとき、すなわち、抵抗がないとき、
電流が最小。 Imin=E/(ωL+1/(ωC))
電流の比を2対1にするには、ωL+1/(ωC)=2ωL
ゆえに ωL=1/(ωC) または、LC=1/(ω・ω)
問題は難しそうに見えても、現象を把握すれば、
難しくありません。
問題の把握が肝心です。ご健闘を祈ります。
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この回答へのお礼

回答いただきありがとうございます。

下の方にも書きましたが
答えはωL=2/ωCということでした。

自分はたった一問の問題にここまで頭を悩ませるのは始めてです。。。

お礼日時:2009/06/13 14:56

No2ですが、XL=XC/2の時には最大最小の比が1:1ですが


XL=XC/3の時は2:1になります。またXL=XC・2/3の時も2:1になります。これはZのベクトル軌跡を描くと
 中心が(0、XL-XC)で直径がXCの右半分の半円になります。これで2:1になることが理解できると思います。(R=0とR=∞で考える)
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>Z=jωL+1/{(1/R)+jωc}となると思います.


それから|Z|を求め
d|Z|/dR=0でωLと1/ωCの関係を求めると
ωL=1/2ωC の関係が出てきます。
しかし、この場合Rの如何に関わらず電流の大きさは一定です。
電流比が2ではなく1ではないのでしょうか。
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この回答へのお礼

回答いただきありがとうございます。

ようやく答えだけ(途中式なしです)分かったのですが、
答えはωL=2/ωCということでした。
もう自分はちんぷんかんぷんになってしまいたした・・・
問題も確認した所、やはり電流比は2となっていました。

お礼日時:2009/06/13 14:50

 質問文から読み取れる限り、立式はお書きになられた通りの



Z = jωL + 1/{(1/R) + jωc}

で良いと思います。

 で、電流が最大の時の抵抗値をR1、最小の時の抵抗値をR2とすると、電流が最大のときは

Z = jωL + 1/{(1/R1) + jωc}

 電流最小値は最大値の1/2だからインピーダンスは単純に2倍なので

2*Z = jωL + 1/{(1/R2) + jωc}

 さて、R1=0とすれば、Cの両端を短絡すると云う事なのでLのみの回路になります。
 で、R2=∞とすれば、RCの並列回路のうちR側に電流は流れない=Rのみ回路から取り外したLCの直列回路、と云う事になります。

Z = jωL

2*Z = jωL + 1/jωc

 ここから先はもう難しくないですよね。
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この回答へのお礼

お答えいただきありがとうございました。
考え方は分かりました。

ただ、電流が最大の時と最小の時の考え方がいまいち分かりません。
自分はLC直列の場合は共振周波数の場合、インピーダンスが0になって電流が無限になると習ったのですが、今回の場合共振周波数とはかかれてないですけど、
Lのみの回路よりインピーダンスが大きいことになるでしょうか?

出来れば、最大と最小の場合のインピーダンスの求め方を教えていただくとうれしいです。

お礼日時:2009/06/12 08:39

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|I-E/(2R)|=E/(2R)
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なんか、いろいろと変です。

まず、並列回路の構成要素が抵抗 R と リアクタンス X だとすると、力率は Z/R にはなりません。しかも「 Z/R 」では複素数だし。
下のほうでは、これが R/Z となって分子分母が逆転しているし。

また、当然ながら、そのときの並列合成インピーダンスは
 Z = R + jX
ではありません。


まず、並列回路の構成要素が抵抗 R と リアクタンス X であるときの合成インピーダンス Z を求めましょう。

 1/Z = 1/R + 1/jX
より
 Z = jR*X/(R + jX) = jR*X*(R - jX) / (R^2 + X^2)
   = (R*X^2 + jR^2 *X) / (R^2 + X^2)
になります。

次に、この並列回路の力率を求めます。

電圧 V のとき、電流は
 I = V/Z = V * (X - jR)/RX
従って、電力は
 W = V*I = V^2 (X - jR)/RX

皮相電力は
 |W| = [V^2 √( X^2 + R^2) ] / |RX|
有効電力は
 P = V^2 /R
よって、力率 f は
 f = P/|W| = |X| / √( X^2 + R^2) = |X| / |Z|   ①
となります。(分母は Z そのものではなく Z の絶対値、分子は |X| です)


次に、この並列回路とインピーダンスが等価な直列回路の力率を求めます。この直列回路では
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の直列接続ということになります。
 流れる電流を I1 とすれば
全体の電圧
 V1 = I1*Z = I1* (R*X^2 + jR^2 *X) / (R^2 + X^2)
従って、回路全体の電力は
 W1 = V1*I1 = I1^2 * (R*X^2 + jR^2 *X) / (R^2 + X^2)

皮相電力は
 |W1| = [I1^2 √[ (R*X^2)^2 + (R^2 *X)^2) ] / (R^2 + X^2)
   = I1^2 * |RX| / √(R^2 + X^2)
有効電力は
 P1 = I1^2 R*X^2 / (R^2 + X^2)
よって、力率 f1 は
 f1 = P1/|W1| = |X| / √( X^2 + R^2) = |X| / |Z|
となります。

つまり、上の並列回路の力率①と同じです。

なお、直列の場合には、②③のように、直列の抵抗を R1、リアクタンスを X1, 流れる電流を I1 で書けば
全体の電圧
 V1 = I1*Z = I1* (R1 + jX1)
従って、電力は
 W1 = V1*I1 = I1^2 * (R1 + jX1)
皮相電力は
 |W1| = I1^2 √(R1^2 + X1^2) = I1^2 * |Z|
有効電力は
 P1 = I1^2 *R1 = I1^2 * R1
より、力率 f1 は
 f1 = P1/|W1| = R1 / |Z|
となります。

ただし、ここでいう R1 は直列の抵抗②であって、②で使っている並列回路の R とは違います。

質問者さんの画像で言えば、直列の合成インピーダンス 2 - j2 に対応した
 R1 = 2
 X1 = -2
であって、このとき直列回路の力率は
 力率 = R1 / √(R1^2 + X1^2) = 2/ √[ 2^2 + (-2)^2 ] = 2/√8 = 1/√2 = √2 /2  ④
です。

そして、上の並列回路の合成インピーダンスが 2 - j2 になるためには、②③より
 R1 = R*X^2 / (R^2 + X^2) = 2
 X1 = R^2 *X / (R^2 + X^2) = -2
になる必要があるので、これを解けば
 R = 4, X = -4
になります。
 このときの並列回路の力率①は
  f = |X| / |Z| = 4 / √(4^2 + 4^2) = 1/√2 = √2 /2   ⑤
で、直列回路の力率④と同じになります。


結局のところ、異なった回路や図で、違った意味の R や Z を共通に使って混乱や誤解をしているということのようです。

なんか、いろいろと変です。

まず、並列回路の構成要素が抵抗 R と リアクタンス X だとすると、力率は Z/R にはなりません。しかも「 Z/R 」では複素数だし。
下のほうでは、これが R/Z となって分子分母が逆転しているし。

また、当然ながら、そのときの並列合成インピーダンスは
 Z = R + jX
ではありません。


まず、並列回路の構成要素が抵抗 R と リアクタンス X であるときの合成インピーダンス Z を求めましょう。

 1/Z = 1/R + 1/jX
より
 Z = jR*X/(R + jX) = jR*X*(R - jX) / (R^2 + X^2)
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>X/(X^2+R^2)とZ/Rとどう結び付くのでしょうか

?? 力率は複素インピーダンスの実数成分を複素インピーダンスの絶対値で割ったもの。
複素インピーダンスの極表示の角度をθとすると cosθです。

Re(Z) = |Z|cosθ
Im(Z) = |Z|sinθ

という関係なので cosθ=Re(Z)/|Z|で力率が求まるのです。

アドミタンスを使っても同じ。
複素数の逆数は極表示で角度の符号が逆転するだけなのです。

Y=1/Z = |Y|cosθ' + j|Y|sinθ'={Re(Z)-jIm(Z)}/{Re(Z)^2-jIm(Z)^2}
={|Z|cosθ-j|Z|sinθ}/{Re(Z)^2-jIm(Z)^2}

→|Y|=1/{Re(Z)^2-jIm(Z)^2}=1/|Z|, θ=-θ'

なので、力率は Re(Y)/|Y| で求まります。

Re(Y)/|Y|=(1/R)/√((1/R)^2+(1/X)^2)
=X/√(X^2+R^2)

本来の定義からR/Z とか Z/R とかに逸れていってしまう心理が
どうもよくわかりません。

なぜこんなものに引きずられてしまうのでしょう?

>X/(X^2+R^2)とZ/Rとどう結び付くのでしょうか

?? 力率は複素インピーダンスの実数成分を複素インピーダンスの絶対値で割ったもの。
複素インピーダンスの極表示の角度をθとすると cosθです。

Re(Z) = |Z|cosθ
Im(Z) = |Z|sinθ

という関係なので cosθ=Re(Z)/|Z|で力率が求まるのです。

アドミタンスを使っても同じ。
複素数の逆数は極表示で角度の符号が逆転するだけなのです。

Y=1/Z = |Y|cosθ' + j|Y|sinθ'={Re(Z)-jIm(Z)}/{Re(Z)^2-jIm(Z)^2}
={|Z|cosθ-j|Z|sinθ}/{Re(Z)^2-jIm(Z)^2}

→|Y|=1/{Re(Z)^2...続きを読む


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