誤差を含む数値を足し算した時の誤差については、ここで「集積誤差」とか「累積誤差」とかをを調べて理解したのですが、掛け算の場合はどう考えたら宜しいのでしょうか?
例えば、ある液体を「a±h 倍」に希釈したサンプルの濃度を測定したら「b±i g/L」であった。原液の全量が「c±j L」あるとき、全体に含まれている物質の量を「d±k g」と表わすと、当然 d=a×b×c ですが、誤差の部分 ±k を計算するには、どうしたら良いでしょうか?
なお、このカテゴリーへは初めての書き込みです。不備がありましたら御指摘下さい。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
一般的には,error propagationから推測します.
誤差を含む観測量a±h, b±i, c±jから関数f(a, b, c)を通して得られた値の誤差kは,
k^2 = (∂f/∂a)^2×h^2 + (∂f/∂b)^2×i^2 + (∂f/∂c)^2×j^2
と計算されます.ただし,観測量a, b, cの誤差の相互相関は無いとします(ある場合は,相互相関の項も加えます).誤差論の本をご覧ください.
a×b×cのような簡単な計算値の誤差であれば,上のように計算した場合と,ガウシアン分布を示す乱数で誤差を含むa, b, cの値を発生させて得た誤差の値は概ね合致すると思います.
御回答ありがとうございます。
数学をちゃんと勉強していない私にとっては、
(∂f/∂a)^2×h^2
とかいうのが、いまいちピンとこないのですが、
自力で勉強してみます。
ありがとうございました。
No.2
- 回答日時:
いや, 「そうだろうなぁ」と思って「相対誤差」というヒントも出したつもりだったんですが....
つまり, それぞれを
a(1 ± h), b(1 ± i), c(1 ± j) としたときに, 積は
abc[(1±h)(1±i)(1±j)]
となるんだけど, h, i, j 相互の積は小さいので無視できるとすれば
abc[1±(h+i+j)]
と簡単にできるね, と.
ああ, これで「二乗和平方根で評価できるか」というと微妙ですが.
No.1
- 回答日時:
その h とか i とか j が分かっているなら, d の最大・最小はすぐに分かりますよね. もちろん ± では書けませんが, それはしょうがない.
まあ, どうせ近似を含むのだから「相対誤差」を考えた方が簡単ですが.
早速の御回答をありがとうございます。
質問の仕方が悪かったようです。私が知りたかったのは、足し算の場合の誤差範囲(±)を二乗和平方根で表せるような、統計的な考え方があるか、お尋ねしたかったのです。
±h、±i、±jの誤差を持つ数値を掛け合わせるときに、3つとも+側の範囲一杯に外れる確率は極めて低いので、それは無視するというような考え方で扱えないのかと思いまして。
引き続きの御教示をお願い致します。
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