伝熱工学（熱伝導）の問題　円筒座標系における非定常熱伝導 -伝熱工学- 物理学

Q非定常の熱伝導方程式

非定常の熱伝導方程式はどのようにして考えれば良いのでしょうか？

非定常ということは、流入する熱流と流出する熱流の差が時間変化するという式を立てればいいのかなと思ったのですが、合ってるのかよく分かりません。

教えていただけると嬉しいです。

Aベストアンサー

非定常熱伝導では、微小領域に出入りする量として以下の４個を考えます。
(1)　入ってくる熱量 Qin
(2)　出て行く熱量 Qout
(3)　内部で発生する熱量 Qgen
(4)　内部に蓄えられる熱量 Qstr

まず簡単な１次元の熱伝導（細長い棒の伝熱）を考えます。
図１のように、幅 Δx の領域（□）の左側の位置を x [m] として、左側から入ってくる熱量を x の関数とみなして Qin = Q(x) [J/s=W] とします。そして、右側の位置 x + Δx から出て行く熱量を Qout = Q(x+Δx) [W] とします。関数 Q(x) の具体的な形は現時点では分かりませんが、Δx が非常に小さい場合、 Qout = Q(x+Δx) ≒ Q(x) + dQ/dx*Δx と近似できます。これで (1) と (2) が出ました。

　　Q(x) Q(x+Δx)
　　　→□ →
　　　　 Δx

　　【図１】

さて次に、領域（□）の内部に熱源があるとします。その熱源の単位体積あたりの熱量（熱密度）を x の関数として q(x) [W/m^3] とします。すると、領域（□）の内部での発熱量 Qgen [W] は Qgen = A*q(x)*Δx となります。A は熱が通る断面積 [m^2] です（今は１次元なので断面積はないのですが、一定で微小な断面積があるとします）。これで(3) が出ました。

最後の内部に蓄えられる熱量 Qstr ですが、ここに非定常熱伝導特有の現象（熱は急には伝わらない）が入ってきます。
ある体積 V [m^3] の物質に熱エネルギー E [J] （熱量でなくエネルギー）を与えたとき、その物質が何℃になるかというのは、その物質の比重（密度） ρ[kg/m^3] と比熱 cp [J/kg/K] を使って、E = ρ*cp*ΔT*V で表されます（ΔTは温度変化）。ところが、こうなるのは充分な時間 t が経過したときで、瞬間的には dE/dt = ρ*cp*∂T/∂t*V に従って変化します（これを t = 0～∞で積分したのが上の定常状態の式です）。ここで dE/dt というのはエネルギーの時間変化 [J/s] ですが、これは熱量 Q [J/s=W] に他なりません。したがって、領域（□）の内部に蓄えられる熱量 Qstr は、微小領域の体積を V = A*Δx でおきかえれば Qstr = ρ*cp*∂T/∂t*A*Δx となります。これで(1)から(4)までの量が出ました。

(1)から(4)までの熱量のバランスは、入ってくる熱量と内部で発生する熱量から外に出て行く熱量を差し引いたのが、内部に蓄えられる熱量ですから、　Qin + Qgen - Qout = Qstr　です。したがって、 Qin = Q(x)、Qout = Q(x) + dQ/dx*Δx、Qgen = A*q(x)*Δx、Qstr = ρ*cp*∂T/∂t*A*Δx ですから

Q(x) + A*q(x)*Δx - { Q(x) + dQ/dx*Δx } = ρ*cp*∂T/∂t*A*Δx →　-dQ/dx*Δx + A*q(x)*Δx = ρ*cp*∂T/∂t*A*Δx --- [1]

最後に、熱伝導に関するフーリエの法則を利用します。温度勾配があるとき、そこを流れる熱量は温度勾配に比例するという法則で、Q = -A*λ*dT/dx　という式で表されます。Tは温度 [K] ですが、場所 x の関数なので一定ではありません。A は熱が通る断面積 [m^2] です（上でも説明しましたが、今は１次元なので断面積はないのですが、一定で微小な断面積があるとします）。λは物質の熱伝導率 [W/m/K] で、この値が大きいほど、小さい温度勾配でたくさんの熱が移動します。-符号がついているのは、例えば温度勾配 dT/dx が＋のとき（x が増えるほど高温度）、熱は反対方向に移動するからです。Q > 0 というのはx軸方向に流れる熱量、Q < 0 は反対方向に流れる熱量です。多くの熱を移動（加熱や冷却）させるには、熱伝導率が大きな物質を使い、伝熱面積は大きく、温度勾配（温度差）を大きくすればいいわけです。このフーリエの法則を使うと、dQ/dx = -d(A*λ*d^2T/dx)/dx ですから、式 [1] は　-d(A*λ*d^2T/dx)/dx *Δx + A*q(x)*Δx = ρ*cp*∂T/∂t*A*Δx 　となりますが、Aはxによらず一定と仮定しているので偏微分の外に出せます。すると各項に共通してA*Δx が出てくるので、これを消すと

d(λ*dT/dx)/dx + q(x) = ρ*cp*∂T/∂t --- [2]

となります。これが非定常の１次元熱伝導方程式です。熱伝導率 λ を定数（場所依存なし）として、偏微分の外に出して整理すれば

d^2T/dx^2 + q(x)/λ = α*∂T/∂t --- [2']

となります。α( = ρ*cp/λ ) は温度伝導率で、これが大きいほど熱の伝わりが遅くなります。内部に熱源がない場合は、 q(x) = 0 なので

d^2T/dx^2 = α*∂T/∂t --- [3]

となります。さらに定常状態では、∂T/∂t = 0 なので、式(3)は

d^2T/dx^2 = 0 --- [4]

というラプラス方程式になります。
なお、３次元でも考えは同じで、断面積 A を Δy*Δx として、x方向以外に、y方向とz方向で Qin と Qout を考えれば良いわけです（ Qgen と Qstr は方向がないので同じ値を使います）。その３次元の非定常熱電動方程式は以下のとおりです。
d(λ*dT/dx)/dx + d(λ*dT/dy)/dy + d(λ*dT/dz)/dz + q(x) = ρ*cp*∂T/∂t

非定常熱伝導では、微小領域に出入りする量として以下の４個を考えます。
(1)　入ってくる熱量 Qin
(2)　出て行く熱量 Qout
(3)　内部で発生する熱量 Qgen
(4)　内部に蓄えられる熱量 Qstr

まず簡単な１次元の熱伝導（細長い棒の伝熱）を考えます。
図１のように、幅 Δx の領域（□）の左側の位置を x [m] として、左側から入ってくる熱量を x の関数とみなして Qin = Q(x) [J/s=W] とします。そして、右側の位置 x + Δx から出て行く熱量を Qout = Q(x+Δx) [W] とします。関数 Q(x) の具体的な形は現時点...続きを読む

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Q極座標系の3次元熱伝導方程式の解法

上記の式dT/dt=(a/r^2)(d/dr)(r^2(dT/dr))の解法をご存知の方がいらっしゃいましたら、教えてください。“d”はラウンド・ディーのつもりです。“a”は熱伝導率などを含んだ定数と扱ってよろしいです。

Aベストアンサー

温度 Ts の球の表面が、遠方温度 T∞ の流体で冷却または加熱されている場合、熱伝達係数を h (W/m^2/K）とすれば、球の表面からの伝熱量 q [W/m^2] は、ニュートンの冷却則により
　　　q = h*( Ts - T∞ )
ですが、これは球の表面での温度勾配による伝熱量に等しい（フーリエの法則）ので
　　　q = -k*∂Ts/∂r
が、全ての時間 t に対して、球の表面（ r = D/2 ）で成り立ちます。また、時間 t = 0 では、0≦r≦D/2 の範囲で
　　　T(r,0) = T0
という初期条件を仮定します（最初は球内部の温度は一定）。

この境界...続きを読む

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Q熱伝達率について

熱伝達率について調べると、流れている空気の場合、１１．６～２９０．７ｗ/（ｍ＾２・ｋ）とありますが、下記の条件の場合の熱伝達率は概算値でけっこうですので、分からないでしょうか？
表面積０．０３ｍ＾２の円筒物、温度８０℃、重量２ｋｇ、物質の密度７．８７４×１０＾３ｋｇ/ｍ＾３、体積０．２５６×１０＾－３ｍ＾３、比熱４６１Ｊ/（ｋｇ℃）
１５４０ｍｍ×２７００ｍｍ×３００ｍｍで囲われている室内で、周りの雰囲気温度１７℃、室内には１７℃の空気が２．５ｍ／ｓｅｃで流れている状態内に、８０℃の物体が置かれている。
熱伝達率は、レイノルズ数とプラントル数などにより定義され、実験値や複雑な計算が必要と思われますが、やり方の方向性が知りたいための熱伝達率なので、大体の数値でいいので、教えて頂けないでしょうか

Aベストアンサー

「対流による物体の冷却後の温度」でお答えした inara1 です。
Re や Pr をご存知なのでちゃんとしたお答えをします。

以下に計算方法を書きますが、熱伝達率は 35 ～78 [W/m^2/K] となりました。この値からワークの温度変化を計算すると、20秒間に76.9 ～ 78.6 [℃] に下がることが分かりました。

【確認】
円筒物とは中がつまった円柱のことですね？
ご質問のワークの体積と表面積から円柱の直径 R と長さ L を計算すると、以下の2通りの場合がありますが、(1) のほうですね。(2) だと円板になりますので。
　　　(1)　R = 0.0367 [m]、L = 0.242 [m]
　　　(2)　R = 0.116 [m]、L = 0.0242 [m]

【円柱外部を冷却するときのNu数】
円柱を強制空冷する場合、空気を円柱軸に沿って流す場合と円柱側面に冷気を当てる場合では Nu（ヌセルト数）が異なりますが、普通は円柱側面に冷気を当てると思いますので、その場合の実験式は次のようになります。
　　　Nu = C*Re^n*Pr^(1/3) --- (1)
Re はレイノルズ数、Pr はプラントル数で
　　　Re = u*R/ν --- (2)
です。u [m/s] は冷気の流速、R [m] は円柱の直径、ν [m^2/s] は冷気の動粘性係数です。Pr と ν の値は、冷気温度と円柱表面の温度の平均温度での値を使います。Pr と ν の温度依存は[1] で計算できます。

【Nu数の実験式】
C と n は定数で、Re の値によって以下のような値をとります [2]。
　　　　　Re　　　　　　　　　C　　　 n
　　　40～4000　　　　　0.683　0.466
　　　4000～40000　　 0.193　0.618
　　　40000～400000　0.0266　0.806
冷気温度と円筒表面の温度の平均温度が 20℃～80℃の範囲にあるとき、[1] を使って動粘性係数 νを計算すると、3.3×10^(-6) ～ 9.5×10^(-6) [m^2/s] なので、R = 0.0367 [m]、u = 2.5 [m/s] の場合のレイノルズ数は、式(2)で計算すると Re = 9703（20℃）～27500（80℃）の範囲になります。したがって、C と n の値は C = 0.193、n = 0.618 を使えばいいことになります。Re = 9703～27500 に対する Nu は、式(1)で計算すると 50～95 の範囲になります。

【熱伝達率とNu数の関係】
一方、Nu と熱伝達率 h [W/m^2/K] との関係は、円柱の場合
　　　Nu = h*R/kf
で表わされます。kf は冷媒（空気）の熱伝導率 [W/m/K] です（円柱の熱伝導率と区別するために f をつけます）。空気の熱伝導率の温度依存は [3] で計算すると、冷気温度と円筒表面の温度の平均温度が 20℃～80℃の範囲にあるとき、kf = 0.026 ～ 0.030 W/m/K の範囲になります。したがって、R = 0.0367 [m]、u = 2.5 [m/s] の場合の熱伝達率 h は
　　　h = Nu*kf/R = 35 ～78 [W/m^2/K] --- (3)
となります。これは質問文にある空気の熱伝達率の範囲に入っています。

【熱伝達率と円柱温度の関係】
考えている円柱は細長いので、内部の温度分布は一様とみなせます [4]。その場合、円柱が一定の熱伝達率で冷却されたときの円柱温度 T [℃] の時間変化は次式で表わされます。
　　　T = Tc *( T0 - Tc )*exp{ -h*A*t/( ρ*cp*V ) } --- (4)
で表わされます。Tc は冷気温度 [℃]、T0 は円柱の初期温度 [℃]、S は冷却面積（円柱側面の表面積） [m^2] 、t は時間 [sec]、ρは円柱の密度 [kg/m^3]、cp は円柱の比熱 [J/kg/K] です。したがって、 Tc = 17 ℃、T0 = 80 ℃、S = 0.03 m^2、ρ = 7874 kg/m^3、cp = 461 J/kg/K 、V = 0.256×10^(-3) [m^3] のとき、冷気にさらされてから 20sec 後の円柱温度 T20 は以下のようになります。
　　　T20 = 76.9 ～ 78.6 [℃] --- (5)
これは ANo.1 での概算計算結果
　　　Tout = 75.9 [℃]
とほぼ同じです（やはり意外に冷えません）。

この計算はクーラのダクトから17℃の冷気が複数の円柱にまんべんなく当たっている場合ですので、ワークの配列によっては結果が違ってきます（これより冷えることはありませんが）。クーラの冷却能力を倍にした場合は、風速を倍の 5 [m/s] にすればいいはずです。式(4)で冷却時間をもっと長くしてみればどれくらいまで冷えるか計算できますが、ワークが冷やされてくると冷気との温度差がなくなっていくので、熱伝達率が一定でも、単位時間に奪われる熱量が減ってくるので、だんだん温度の下がり方が鈍くなります（式(5)で時間を変えて計算してみると分かります）。

空気の動粘性係数 ν や熱伝導率 kf、それらから計算される Re数やPr数、Nu数は、厳密には円柱温度と冷気温度の平均値での値を使わなければなりません。具体的な計算手順は、最初に、円柱温度を75℃くらいと仮定して、その温度と冷気温度の平均の46℃での物性値を使って計算し、出てきた円柱温度と冷気温度の平均温度を使って空気の物性値を補正し、また円柱温度を計算するということを繰り返せば、最終的な円柱温度が出てきます。しかし、式(5)の温度範囲は、冷気温度と円柱表面の温度の平均温度が 20℃～80℃とした場合の値なので、最終的な円柱温度の値は式(5)の範囲に入っているはずです。

【補足】
[1]　1気圧の空気の Pr 数はと動粘性係数 ν は、室温付近では次式で近似されます。
　　　　　　Pr = 0.713 - 0.0002*t
　　　　　　ν = 1.296×10^(-6) + 1.02×10^(-7)*t
　　　t は空気の温度 [℃] です。
[2]　谷下市松「伝熱工学」裳華房（1986）p.142.
[3]　1気圧の空気の熱伝導率 kf [W/m/K] は、室温付近では次式で近似されます。
　　　　　　kf =0.0243+0.0000741*t
　　　t は空気の温度 [℃] です。
[4]　円柱の体積を V [m^3]、冷却面積（側面）を A [m^2]、円柱の熱伝導率を k [W/m/K]、熱伝達率を h [W/m^2/K] としたとき
　　　h*V/( k*A ) < 0.1
を満たせば内部の温度分布は一様とみなせます。炭素鋼（S53C）の熱伝導率の値はWebでは見つかりませんでしたが、資料 [2] に出ている炭素鋼の値は 54 W/m/K（ 0.5C以下）～36 W/m/K（1.5C）なので、45 [W/m/K] くらいとすれば、この場合、Nu = 50～95、V = 0.256×10^(-3) [m^3]、A = 0.03 [m^2] なので、h*V/( k*A ) = 0.0095～0.016 < 0.1 となって条件を見たします。谷下市松「伝熱工学」裳華房（1986）p.83.

「対流による物体の冷却後の温度」でお答えした inara1 です。
Re や Pr をご存知なのでちゃんとしたお答えをします。

以下に計算方法を書きますが、熱伝達率は 35 ～78 [W/m^2/K] となりました。この値からワークの温度変化を計算すると、20秒間に76.9 ～ 78.6 [℃] に下がることが分かりました。

【確認】
円筒物とは中がつまった円柱のことですね？
ご質問のワークの体積と表面積から円柱の直径 R と長さ L を計算すると、以下の2通りの場合がありますが、(1) のほうですね。(2) だと円板になりますの...続きを読む

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Q空気の熱拡散係数

どうしてもわかりません。
羽毛服が暖かいのは羽毛の間に空気をたくさん含んで外気と身体の間に断熱層があるからといいます。
一方、温度の拡散する速度は、熱伝導方程式の係数、熱拡散係数が大きいほど、早いと理解しています。
しかし、物の本を見ると
密度比熱熱伝導率熱拡散率
Mg/m3J/g/KW/m/Km2/s*10-6
石英2.66 0.80 8.80 4.14
粘土鉱物2.65 0.90 2.92 1.22
有機物1.30 1.92 0.25 0.10
水1.00 4.18 0.57 0.14
空気0.00121.01 0.02520.63
氷0.921.88 2.181.26

でありましてなんと、空気の熱拡散係数は土や水よりも遙かに大きな値です。どうしてもわかりません。でも実際は空気があると温度は変わりにくいように思えますが・・・。
何か勘違いしているのでしょうか？教えてください。

Aベストアンサー

お返事がおそくなりましてすみません。
まず最初にお詫びと訂正です。熱伝導方程式の係数はgyanさんのご指摘のように熱拡散率のみで表現できます。大変失礼をいたしました。

一方で「熱流」の概念を抜きに熱伝導方程式を組み立てられない・解けない場合があることも事実です。温度の分布は同じであっても熱伝導率kが異なれば熱流の大きさが異なってくることに留意ください。従って境界条件の一部が熱流(もしくは熱源の発熱量)で与えられている場合は、熱伝導率の値が分からない限り温度分布を定めることはできません。

gyanさんは熱伝導問題について既に一定の知識をお持ちの方と拝察いたしました。以下は既にご存じの内容と重なる部分もあるかと思いますが、その場合はご容赦頂ければと思います。

「羽毛ジャケットを着ると暖かい」がどういうことか順に考えてみます。この場合過渡応答を考えることもできますが、定常状態で考えれば十分でしょう。
一般に温度場T(x, y, z)が定常状態であり、かつ「全空間で温度一様」というつまらない解でないとすれば、その系には熱源と熱の捨て場(熱浴)が必ず存在します。
簡単のために1次元の定常の熱伝導で考えることにします(下図)。物質Aの熱伝導率kは温度によらない定数とし、熱浴の熱容量は当然ながら無限大とします。また熱浴の温度をT0、熱源の発熱量をP[W]とします。このとき熱源の温度T1は何℃まで上がるか考えてみます。

　　　　　物質A(厚さd)　　外部熱浴(温度はT0で一定)
　　　　→|　→　→　|
　　　　→|　→　→　|
P[W]　→|　→　→　|
　　　　→|　→　→　|
　　　　→|　→　→　|
　　断面積 S
　　　　x=0　　　　x=d　　---→x

(フォントによってはずれて見にくいかも知れません、すみません)
温度分布を与える関数をT(x)とします。今は定常解を考えますから、(∂T/∂t)=0です。よって熱伝導方程式は
α(d^2T/(dx)^2)=0
となります(Tの時間変化は考えず、変数はxだけですので常微分に直してあります)。αは熱拡散率です。
これは容易に解かれてdT/dx=定数、を得ます。
この定数は熱流を考えて初めて決定されます。単位面積を通過する熱流J[W/m^2]は温度勾配と
J=k(dT/dx)
の関係で結び付けられます。kを導入しないと熱流束J(と温度の勾配)の換算ができず、温度分布は定まりません。
一方発熱量がPでそれが断面積Sを通過するのですから、J=P/Sです。
よって
P/S=k(dT/dx)
の関係があり、この両辺を物質Aの厚み分(0～d)まで積分すると熱源(熱源とAとの境界)の温度T1が求まります。d=0の場合にT1=T0になるという境界条件を使うと
T1=Pd/(Sk)+T0
P/S, dが一定だとすると、温度上昇分(T1-T0)は熱伝導率ｋに反比例します。「保温効果」は熱伝導率kの高い低いで決まり、熱拡散率αには直接関係しないことがお分かりいただけると思います。

さて人間の場合はちょっと複雑です。人間は「体表面からの熱の逃げ具合によって、発熱量を変化させ温度を一定に保っている」特殊な熱源です。注意いただきたいのは人間は全身至るところで36℃なのではなく、体表面の温度はそれより低い点です。(そのために体温は腋や舌下で測るのはご存じのとおりです)

　　　　　皮膚層　ジャケット　　外気(温度はT0で一定)
　　　　→|　→　|　→　→　|
　　　　→|　→　|　→　→　|
体内　　→|　→　|　→　→　|
　　　　→|　→　|　→　→　|
　　　　→|　→　|　→　→　|
　　　　　k1, d1　　k2, d2
　　断面積S

最初の例と同様に熱伝導方程式を解いてみます。体内の温度をT1(一定)、皮膚層とジャケットの熱伝導率をそれぞれk1、k2とします。厚みもd1、d2とします。また皮膚表面(皮膚層とジャケットの間)の温度をT2とします。皮膚とジャケットの間には空気層がありますがとりあえず無視します(空気層の影響はジャケットに織り込み済み、と考えてください)。
定常状態ですから同様にdT/dx=定数　という解を得ます。発熱量は不明ですのでとりあえずPとすると
P/S=k1(dT/dx)　　・・・皮膚層内
P/S=k2(dT/dx)　　・・・ジャケット内
であり、それぞれ積分して
T1-T2=P d1/(k1 S)
T2-T0=P d2/(k2 S)
を得ます。辺々足すと
T1-T0=(P/S)×(d1/k1+d2/k2)
となり、T2-T0=P d2/(k2 S)を辺々割って整理すると
(T2-T0)/(T1-T0)=1/{1+(k2 d1/(k1 d2)}
を得ます。T1とT0が一定の値であっても、k2が小さくd2が大きいほど体表面の温度T2が高くなる(T1に近くなる)ことが分かります。ゆえに羽毛ジャケットを着ると暖かいのです。この場合でも同様に体表面の温度を決めているのは熱伝導率k2(と厚さd2)であり、熱拡散率は直接に含まれないことに留意ください。

「数式では確かにそうなのだが、どうも感覚的に納得できない」ということであれば、さらに以下をお読みください。

「小さい熱伝導率のため熱は伝わりにくいのですが、空気のもつ体積熱容量が他の物質に比べてもっと小さい、つまり、その場で貯熱しうる熱が少ないので、温度は早く伝わると言うことと思えるのです。」というgyanさんの理解はまったくその通りです。
一方で、「熱」は伝わりますが厳密に言えば「温度」は直接には伝わらないという点を再確認ください。熱が伝わった結果として初めて温度が上がる(下がる)ことは申し上げるまでもなくご存じだと思います。

┠───────┨
┃　　　　　　　┃
┗━━━━┓┏━┛
　　　　　 △
　　　　　 △
　　　┃　　　　　　　┃
　　　┠───────┨
　　　┗━━━━━━━┛

さて今図のように、上下に二つの水槽を用意し上の水槽の底に孔をあけて下の水槽に水を落とします。上下の水槽の大きさは同じだとします。
(1)水槽は小さいが、孔も小さい
(2)水槽は大きいが、孔も大きい
という二つのケースを考えます。水槽の底面積と孔面積の比は同じとします。最初の水位も同じだとすると、下の水槽の水位の時間変化も(1)(2)で全く同じです。
水位-温度
水流-熱流
容積-熱容量(体積比熱)
と置き換えれば、熱伝導の問題と同じであることがお分かりいただけると思います。
(1)が「熱伝導率も比熱も小さい」、(2)が「熱伝導率・比熱とも大きい」に相当します。熱拡散率は熱伝導率と(体積)比熱の比ですから、その比が一定であるなら「温度の伝わり易さ」(正確な物理用語でないですが)は同じということになります。
なお「底面は大きく、孔は小さい」水槽が、熱拡散率が低い場合に相当することは申し上げるまでもありません。

さて、今度は上の水槽に一定の割合で水を注ぐとします。この場合は(1)(2)で上側の水槽の水位変化に違いが現れます。(1)は水位が急上昇するのに対し、(2)はそれほどは上がりません。熱の問題に翻訳すれば、外部から熱を供給したときに「(1)はすぐに温度が上がり、(2)はあまり温度が上がらない」ということになります。
つまり、外部から熱が加えられない場合は熱拡散率(=底面積と孔面積の比)だけで水位の変化は決まりますが、外部から熱が加えられる場合は、加えられる熱量(上側水槽に注がれる水)と孔の大きさ(熱伝導率)の関係によって温度分布が異なってくることになります。あるいは、上側水槽の水位が一定になるように注ぐ水量を調節するならば、(1)の方が水量は少なくて済む、とも言えます。
もうお気づきかと思いますが、空気は(1)の「水槽も孔も小さい」に相当するわけです。ですから温度(水位)はすぐに変化しますが、外部から無理やり熱流(水流)を放り込もうとしてもなかなか伝わらないわけです。あるいは逆に外気が熱を奪おうとしても、出口が小さいために熱はゆっくりしか奪えない、ということになります。
熱流の大小によって皮膚表面の温度が変わってくることは上で述べた通りです。

*ジャケットを全く着ない場合には体表面の温度=外気温になるのでは?　という指摘もあるかと思いますが、これはそうはなりません。図では外気を、全体が温度一定の熱浴のように描きましたが、実際には皮膚近傍の空気層(境界層)の中に温度勾配が生じます。ジャケットを着た場合にはその温度差が小さいので上記では無視して計算しています。

お返事がおそくなりましてすみません。
まず最初にお詫びと訂正です。熱伝導方程式の係数はgyanさんのご指摘のように熱拡散率のみで表現できます。大変失礼をいたしました。

一方で「熱流」の概念を抜きに熱伝導方程式を組み立てられない・解けない場合があることも事実です。温度の分布は同じであっても熱伝導率kが異なれば熱流の大きさが異なってくることに留意ください。従って境界条件の一部が熱流(もしくは熱源の発熱量)で与えられている場合は、熱伝導率の値が分からない限り温度分布を定めることはでき...続きを読む

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Q大気、空気の熱伝達係数について

空気の熱伝達係数を教えてください。
なぜ知りたいかというと。。。

高所に行くと気圧が下がりますよね？それによって空気の密度も下がります。すると例えばエンジンや発電機からの放熱にも影響を与えると思います。
いろいろ調べた僕なりの考えは、おそらく空気の密度が下がることによって熱伝達係数が変化して、いわゆる対流熱伝達の式から求められる熱流の値が変化するのだと考えています。これによって１気圧のときと例えば0.5気圧のときの放熱のされ方の違いがわかると思います。これを求めるには空気の熱伝達係数を知らなければ求めることが出来ません。どうか教えてください。さらに気圧の変化による放熱の変化をずばり具体的に数値で知っている方いらっしゃいましたら教えてくださいお願いします。

Aベストアンサー

電子機器の話はわかりませんが、空気中の熱の移動は伝導ではなく対流によるものが殆どです。
魔法瓶のように真空（低圧）による断熱を使っている製品もありますが、1000、2000ｍ程度では、どうなんだべ？(´・ω・｀)

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Q【Ｅｘｃｅｌ】3軸以上のグラフを作成できますか?

Ｅｘｃｅｌでグラフを作成する場合
Ｙ軸が２本で平面のグラフまでは
標準で用意されていると思うのですが、

例えば下のようなＸ軸が共通でＹ軸が３本以上必要となる（吸塵率「％」・粉塵量「個」・騒音レベル「ｄＢ」）
表をグラフ化する場合
どのようにすればいいのでしょうか?

銘柄　　　吸塵率％　排気中粒子　駆動音平均
手軽　　　　16.3%　　　　　　0個　　　　54dB
排気０　　　13.4%　　　 4000個　　　　60dB
ＪＥＴ　　　　35.3%　　　 1000個　　　　62dB
かるワザ　67.5%　　　　　　0個　　　　63dB

（表記中の固有名称その他は現実のそれとは何ら関係なく・またデータも説明用に一時的に作成されたものとする）

Aベストアンサー

　散布図でダミーのY軸を作成作れば、３軸でも４軸でも可能です。ただ、その軸をどのように配置するかという問題があります。
　また、３軸なら「三角グラフ」、４軸なら「Jチャート」というグラフもあります。２つとも散布図を工夫すれば、Excelで作成可能です。

　しかし、今回の表の場合は、作成元のデータを加工して、スネークプロット(縦の折れ線グラフ)またはレーダーチャートを作成したらいかがでしょうか。

　データの加工は、偏差値・達成率・最大値の対する比率などを使って基準を揃え、評価が高いほど値が高くなるように調整します。

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Q金属パイプが熱膨張・収縮すると内径は？

金属を加熱/冷却すると膨張/収縮しますが、それがパイプ状であった場合、あるいは金属塊に穴があいているような場合、その内径はどのように変化するでしょうか。日常的な温度範囲（冷凍庫～熱湯ぐらい）での質問です。

Aベストアンサー

　均一に熱されたとすれば加熱すると内径が大きく、冷却すると小さくなります。拡大・縮小コピーを考えていただくとイメージしやすいかと。

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Qヌセルト（ヌッセルト）数の経験式について

強制対流熱伝達（流体は空気）におけるヌセルト数を求める式を探しているのですが、なかなか見つかりません。
ヌセルト数は物体の形状や流れの状態によって式が違うようで、水平平板上の式は見つけたのですが、その他の形状（円管など）の式が見つかりません。
どなたか教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>質問するのは初めてなもので返信遅れてしまいました
いえいえ、１週間以上（時には永久に）反応がないのことも多いので、当日は即返です。

【円管内流れのReとNuの定義】 [1]
円管内部の平均流速を Um [m/s] としたとき、Re数は次式で定義されます。
　　　Re ≡ ρ*Um*D/μ
ρ は流体の密度 [kg/m^3]、μ は粘性係数 [kg/s/m = N・s/m^2]、D は円管の内径 [m] です。
一方、円管のNuは
　　　Nu ≡ h*D/k
で定義されます。h は熱伝達係数 [W/m^2/K] 、k は流体の熱伝導率 [W/m/K] です。層流の場合、発達流れのNuは一定ですが、乱流では Reや Pr に依存します。

【円管内乱流のNu式】 [1]
発達流れに対する、滑らかな円管内乱流のNuにはいろいろな経験式があります。

　　　（１）　Nu = 0.023*Re^(4/5)*Pr^n　--- Colburnの式 [2]
　　　（２）　Nu = 0.027*Re^(4/5)*Pr^(1/3)*( μ/μs )^0.14 　--- Sieder and Tateの式 [2]
　　　（３）　Nu = ( f/8 )*Re*Pr/[ 1.07 + 12.7*√( f/8 )* { Pr^(2.3) - 1 } ] 　--- Petukhovの式
　　　（４）　Nu = ( f/8 )*( Re - 1000 )*Pr/[ 1.07 + 12.7*√( f/8 )* { Pr^(2.3) - 1 } ] 　--- Gnielinskiの式 [2]

（１）は流体の温度変化が比較的小さく、 0.7 ≦ Pr ≦ 160、10000 ≦ Re、10 ≦ L/D で成り立つ式です（ L は管の長さ [m] ）。n の値は、流体を加熱するときは n = 0.4、冷却するときは n = 0.3 です。この式は壁面温度一定の場合も、熱流束一定の場合にも使えます。空気の Pr は 0.7 程度なのでこの式が使えます。

（２）は流体の温度変化が大きく、流体の粘性が大きく変わる場合の式です。μ は流体の平均温度（入口温度と出口温度の和の半分）での粘性係数で、μs は壁面温度での流体の粘性係数になります。この式は壁面温度一定の場合も、熱流束一定の場合にも使えます。

式（１）、（２）は簡便ですが誤差が25%と大きいので、式（３）、（４）が提案されています（これらは誤差10%）。式（３）は0.5 ≦ Pr ≦2000、10000 ≦ Re ≦ 5×10^6、10 ≦ L/D で成り立つ式です。物性値は流体の平均温度（入口温度と出口温度の和の半分）での値を使います。

式（４）は式（３）より小さな Re での近似式で、0.5 ≦ Pr ≦2000、3000 ≦ Re ≦ 5×10^6、10 ≦ L/D で成り立ちます。物性値は流体の平均温度（入口温度と出口温度の和の半分）での値を使います。

式（３）、（４）に出てくる f は乱流での管摩擦係数で次式で表されます。
　　　f = 1/{ 0.790*ln( Re ) - 1.64 }^2
これは 3000 ≦ Re ≦ 5×10^6 での近似式です。
f と平均流速 Um、圧力勾配 dP/dx との関係は
　　　f*ρ*Um/( 2*D ) = -dP/dx
になります。

【断面が円形以外の場合】 [1]
管断面が円形以外の場合、上式の D （内直径）の代わりに、等価直径 Dh を使います。
　　　Dh ≡ 4*A/P
A は内部の断面積で、円形なら A = π*( D/2 )^2 = π*D^2/4、Pは内面の周囲長で、円形なら P = 2*π*( D/2 ) = π*D　なので、円形なら Dh = D となります（こうなるように Dh の定義式は 4 がかかっている）。

[1]　F.P.Incropera and D.P.DeWitt "Fundamentals of Heat and Mass Transfer" 5th edition, John Wily & Sons (2002), Chapter 8 (Internal Flow).
[2] 右URL（Excelファイル）の 77行目以降に式が出ている　http://www-physics.lbl.gov/~gilg/DavidStuff/Pixel%20Mech/Pixel%20Cooling/vvc6f14lqd.xls

>質問するのは初めてなもので返信遅れてしまいました
いえいえ、１週間以上（時には永久に）反応がないのことも多いので、当日は即返です。

【円管内流れのReとNuの定義】 [1]
円管内部の平均流速を Um [m/s] としたとき、Re数は次式で定義されます。
　　　Re ≡ ρ*Um*D/μ
ρ は流体の密度 [kg/m^3]、μ は粘性係数 [kg/s/m = N・s/m^2]、D は円管の内径 [m] です。
一方、円管のNuは
　　　Nu ≡ h*D/k
で定義されます。h は熱伝達係数 [W/m^2/K] 、k は流体の熱伝導率 [W/m/K] です。層流の場合、発達流...続きを読む

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Q水の比熱の変化

水の比熱はその温度によって変化すると聞いたのですが本当ですか？
本当ならば水の比熱は何度の時に最小の値を示しますか？

Aベストアンサー

これしかないですね、↓(英語です)
http://www.engineeringtoolbox.com/water-thermal-properties-d_162.html
Specific Heatの項を見て下さい。
100℃以上の状態については良く分かりません。^^;

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Q円管内の層流のヌセルト数について

H20年のエネルギー管理士（熱）の試験で、
「ヌセルト数の相関式は、層流の場合は（　　）式となる」
とありました。

電気書院の模範解答集においてこの括弧内は
「レイノルズ数にもプラントル数にも依存しない」
となっています。
また、あるサイトでも円管内の層流ではヌセルト数は一定と書いています。

エネルギー管理士試験講座　熱分野II　のテキストでは
円管内の層流のヌセルト数の式がReとPrの式で載っています。
Num=3.65+[0.190{(D/L)Re Pr}^(4/5)]/[1+0.117{(D/L)Re Pr}^7/15]

となれば正解は
「レイノルズ数にもプラントル数にも依存する」
となるように思えるのですがどちらが正しいのでしょうか？

正しいほうを解説を加えて教えて頂けると嬉しいです。

Aベストアンサー

Nu一定というのは、流速が非常に遅い場合、あるいは管の内径と長さの比（内径/長さ）が非常に小さい場合の極限値です。
以下の式
　　　um = 3.65 + [ 0.190*{ (D/L)*Re*Pr}^(4/5)] / [ 1+ 0.117*{ (D/L)*Re*Pr }^7/15 ] --- (1)
で (D/L)*Re*Pr が非常に小さいとき、第二項の分子は 0 に漸近し、分母は 1 に漸近するので、 um は 3.65 に漸近します。 (D/L)*Re*Pr が非常に小さいというのは、Re （流速）や、管の内径と長さの比（D/L）が非常に小さい場合に相当します。

円管に限らないのですが、管路に流体を流...続きを読む

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