固有値と固有値ベクトルの求め方

Question

A＝　０-i
  　　i０　　（ゼロと複素数iの行列）
という２×２行列の複素数の行列の固有値と対応する長さ１の固有ベクトルを求めよ。という問題が出たのですが、固有ベクトルがわかりません。０になってしまいます。どのように出すか、どなたか教えてください。よろしくお願いします。

info22 · Accepted Answer

#3です。
A#3の補足について
>-iｘ2=ｘ1,　iｘ1=ｘ2（λ＝１の時）という式をだしました。
>でも最初の式を次の式に代入するとｘ2=ｘ2となりｘ2=0となってしまいます。最初の2つの式は同じ式ですので、代入する意味がありません。
-iｘ2=ｘ1　の両辺にiをかけると2番目の式になることに気がつかないといけませんね。（独立な式は１つということです。）

片方の変数は自由に与えても構いません。たとえばx1=α（任意の定数）とおくとx2は自動的に決まりますね。
(x1,x2)=(x1,ix1)=x1(1,i)=α(1,i)
固有ベクトルはαを適当に決めてやればいいので、α=1として、(1,i)とすれば良いでしょう。

固有ベクトルが単位ベクトルとなるものを求めるなら、
α|(1,i)|=α√(1^2+1^2)=α√2=1　とすれば良いから
α=1/√2　とすれば、単位ベクトルの固有ベクトルとなります。
α(1,i)=(1,i)√2=(1/√2,i/√2)

arrysthmia · Answer

＞ ｘが固有値であることとｃｘが固有値であることは同値なのですね。
＞ ありがとうございました！！

ご指摘の通り、
「x が固有ベクトルであることと、cx が固有ベクトルであることは、同値です。」
のミスプリです。丁寧な校正を、ありがとうございました。

arrysthmia · Answer

＞ なぜ固有ベクトルは長さを問わないのですか？

行列 A の固有値 λ に対する固有ベクトルのひとつが x であるとは、
Ax = λx が成立することですが、

0 でない任意のスカラー c を持ってくると、
A(cx) = λ(cx) も、これと同値な式です。

つまり、
x が固有値であることと、cx が固有値であることは、同値です。

c は、何でも勝手に採って構いませんが、
複素線型空間での話なら、c は複素数ですから、
|c| は任意の実数とすることができ、
「大きさが一番小さいベクトル」は存在しません。

arrysthmia · Answer

←No.3 補足
おや、FAQ かと思ったら、それ以前の問題でしたか。

落ち着きなさい。
x2 = x2 の解は、x2 = 0 ではありません。
x2 に何を代入しても、その式は成り立ちます。

(1)　-i x2 = x1
(2)　i x1 = x2

(1) を (2) へ代入して「解は任意」という答えが得られる
のは、もともと (1) と (2) が同一の式だからです。
(1) の両辺を i 倍すると、(2) の式になりますね？

２個の未知数に対して、１本の方程式なので、
解には１パラメータ分の自由度が残ります。
(2) より、(x1, x2) = (z, i z) ただし z は任意の複素数。

固有ベクトルは、長さを問わないので、
(x1, x2) // (1, i) という形の解が出てくるのは、当然です。

(z, i z) の長さが 1 になる z の求め方は、
No.2 に書きました。

info22 · Answer

質問はやった解答の詳細を補足に書いた上で、行き詰ってわからない箇所だけ質問して下さい。

自力解答を示さないで宿題やレポート等の課題を丸投げすることはマナー違反です。
なのでヒントとなる固有値と固有ベクトルを求める方法が載っている参考URLを紹介しておきます。

参考URL：http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/urawaza/eigenvector.htm

arrysthmia · Answer

普通に計算してゆきましょう。

Ａ の特性方程式の根として
固有値 ±1 が求まり、

固有値 -1 に対する固有ベクトルは
(x, y) // (i, 1) と解る。

固有ベクトルを単位ベクトルにするには…
…ここですね。

「０になってしまいます」は、
固有ベクトルの長さが 0 になってしまいます
という勘違いでしょう？

複素ベクトルの内積は、
(a, b)・(x, y) = a x + b y　ではなく、
(a, b)・(x, y) = (aの共役) x + (bの共役) y
ですから、
| (i, 1) |^2 = (i, 1)・(i, 1) = (-i) i + 1・1 = 2
より、
| (i, 1) | = √2
です。

Tacosan · Answer

いや, 0 になるわけがないんだが....
固有値がいくつになって, それぞれに対してどのように計算したのか書いてもらえますか?

固有値と固有値ベクトルの求め方

#3です。

＞ ｘが固有値であることとｃｘが固有値であることは同値なのですね。

＞ なぜ固有ベクトルは長さを問わないのですか？

←No.3 補足

この回答への補足

質問はやった解答の詳細を補足に書いた上で、行き詰ってわからない箇所だけ質問して下さい。

この回答への補足

普通に計算してゆきましょう。

いや, 0 になるわけがないんだが....

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＞ｘが固有値であることとｃｘが固有値であることは同値なのですね。

＞なぜ固有ベクトルは長さを問わないのですか？