数と式（整数問題）の入試の出題範囲について

高校数学の学習内容（数と式、整数問題）と大学入試の出題範囲についての質問です。

高校の授業では、「式の計算」「式の証明」「因数分解」「方程式と不等式」「複素数と方程式」などを習いますが、大学受験の問題には、不定方程式や倍数に関する問題などがよく出ています。私には、学校で習う範囲の問題と思えないのですが、基礎的なレベルから入試レベルの整数問題が解けるようになるまでの間に何があるのかわかりません。何をどのように勉強すればいいのかわかりません。難しい問題の解答の解説を読んでも理解できないです。基礎固めはできていますが、高校レベルの勉強だけしているようでは入試には通用しないのですか？

相談内容をうまく説明できなくて申し訳ありませんが、どなたかアドバイスお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： tksmsysh 回答日時： 2009/06/21 01:05

確かに、高校の数学教科書での整数の取り扱いは皆無といってよいほど少ないです。

大学によって整数問題の難度はだいぶ違いますが、一般的に大学入試数学の整数問題は難易度高めです。
整数問題を好んで出題する大学言えば、東大、京大、一橋などです。

では、対策をどうすべきかと言いますと、まずは志望校で出題される整数問題の傾向を調べましょう。
先ほども申したように、大学によって、不定方程式や剰余に関する問題を好む大学もあれば、漸化式や数学的帰納法を出したり、格子点、ガウス記号を交えたりする大学もあります。
これらは同じ整数に関係するものでも、解法には大きな違いがあります。(特に、漸化式と格子点は注意！)
よって、過去問研究が一つのキーワードになります。

しかし、質問者さんの様子を鑑みるに、どうやら解説のレベルが高く感じられるようですね。
でしたら、まずは倍数と剰余の問題をマスターすることをお勧めします。
そのための一助となる参考書として、
「佐々木隆広の整数問題が面白いほどわかる本」
「細野真宏の数と式〈整数問題〉が本当によくわかる本　数III」
があげられます。

特に、(個人的ではありますが)佐々木さんの本は上記の倍数に関する問題から始まり、最終的にはガウス記号を含む問題まで網羅していて、整数初心者にはおススメです。私も愛用していました。
細野さんの方は、佐々木さんのよりもややレベルが上です。が、練習問題がやや多いです。

この2冊のうち1冊を何度もやりましょう。たぶん佐々木さんの方は集中してやれば1～2日で一通り解けきれます。

そして、物足りなくなり、いよいよ入試問題に対応した問題を解きたくなったら、「マスターオブ整数」をお勧めします。
ただし、もの問題集は非常に難易度が高く、解説で戸惑う個所が出てくるかもしれません。
また、この本に掲載されている問題については、すべて解ける必要はないと思います。数学コンテストレベルの問題もあるからです。

最後に、これは受験科目全般について言えることですが、入試では100点を取る必要はありません。解ける問題を確実に取ることです。
整数問題は「解けた！」と思っていても、実は論理の飛躍が見られたり、必要条件に過ぎなかったりと、減点されやすいものです。
だから、あまり神経質にならず、落ち着いて解くよう心がけてください。以上です。

この回答へのお礼

丁寧にアドバイスしていただけて感激しました。本当にありがとうございます！対策について具体的に教えていただき本当に助かりました。早速、佐々木さんの整数問題の本をアマゾンで購入して取り組んでみたいと思います（≧▽≦）

お礼日時：2009/06/21 18:07

No.2 回答者： naniwacchi 回答日時： 2009/06/21 01:20

「不定方程式や倍数に関する問題」というのは、問題集などによっては「整数問題」と題され、パズルのように見える問題ですね。

この手の問題については、確かに教科書ではあまり触れられていないかもしれません。
整数問題は、単一の単元（「式の計算」など）に収まるようなものではないからです。
厳しい言い方をすれば、もっとも応用力を試される問題のカテゴリなのです。

やはり、問題集の問題を解いて慣れていくしかないと思います。
解説が理解できないというのは、「解説を読む」のではなく「解説も解いて」みて下さい。また、いくつか具体的な数をとって計算してみることも大事です。（そこから推測を立てていく場合もありますから）

参考になれば、幸いです。

この回答へのお礼

教えていただいてありがとうございます☆　これまでは、参考書中心の勉強でしたが、教えていただいたように問題集をがんばって何度も解いていきたいと思います！＊＾＾＊

お礼日時：2009/06/21 18:15