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「1」は、存在しているに決まっていると誰もが思うでしょう。
子供でも、1個のリンゴや1匹の犬などから、「1」を理解していますと言うことができます。
しかし、「1」を理解していることと、「1」が存在していることとは、厳密には違います。
「1」の存在は、証明されていますか?
それとも、「1」の不存在が証明できるのでしょうか?

たとえば、この世には、完全な円形や球形の模型がありません。
すべて近似表現型に過ぎません。
円や球は、概念であって、実在の有無を問わないようです。
「1」も概念であって、実在している必要はないように思います。

「存在」の定義が、違っているために、混乱しているだけでしょうか?
実在していなくても、我々の頭脳・知能において、概念として存在しているということでしょうか?
すると、実数1も純虚数iも、存在という点では、大差無いように思います。如何でしょうか?

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A 回答 (44件中1~10件)

貴方は「1」を使って自分とは何かを探っています、或いは自分が存在しているのかを探っています。

是は全てに対する疑問に見えていますが、本当は「自分自身」に対する疑問と言う事になります。

この事の回答を求めるのなら「禅問答」の中に貴方の答えが存在しています。鈴木大拙博士の本を読んでみて下さい。この答は自分自身で掴む他はないからです。誰の答えでも貴方は納得できません。貴方に疑問を抱かせているものが貴方自身だからです。自分で抱いた疑問は自分で答える他には、その答えには納得できないと思います。

鈴木大拙博士は言っています、疑問が言葉になってきた時には答えは、自分の中に用意されている。自分の中に答えを探ってみて下さい。
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補足:∞は数か?


「実数」ではありません。
実数では0で割ることはできませんので1/0は定義されません。
従って、高校数学で極限を扱うとき∞はひとつの数を表すとはされていません。
では、実数でなく、実数系を拡張して+∞、-∞を数として追加したらどうなるか?
実際、数学でも便宜上そういうことをやる場合があります。(複素数全体に∞を追加することもあります。)
ただし、その場合、実数なら、0で割る以外は加減乗除が自由にできますが、±∞を追加するとどうやっても不自由になります。例えば∞/∞はどう定義してもどこかしら齟齬が出ますので、定義されないとするのが妥当でしょう。だから、その場合は、計算が自由にできなくなるということをわきまえて、慎重に扱う、ということになります。
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ううむ、あまりに難しい議論になってしまいましたので、私の手には負えません(^^; <(_O_)>。

ルベーグ測度とか選択公理とかまで・・・こういう問題は1の存在よりはるかに難しいし。
取り合えず、No.16さんに参照されましたので、一応一言。
人間(猿などのある種の動物にもある程度)には数を数える能力というものがあって、それが数学という学問で精密化されたわけです。だから、「数学的実体」というものが存在すると考えるかどうかで答えが違ってきます。取り合えず、数学的実体が存在するとすれば数学では1は存在すると考えらてれます(というか、数学的実体が存在しないとすると、数学そのものが巨大なナンセンスになるかも(^^;))。
私の書いた集合論による自然数の構成は、あくまで「構成法」です。

数学的には、まず、No.38さんの言うように、自然数というものがどのような性質を持つものかというペアノの公理がまず定式化され、その後に、集合論を使えばこの公理を満たすものを具体的に構成できる(つまり、ペアノの公理を満たす数学的実体が存在する)ということになります。ちなみに、自然数の構成法はこれでなければいけないというわけではなく、他にもいろいろな構成法があります。

では、集合論はいいとして、集合って存在するの?という疑問も出てきます(これがないと、1の構成も無意味になってしまう)が、それに関しては「集合は存在する」という「公理」があります(^^; 証明されるものというよりは、公理として、つまりは大前提なわけです。
ご不満かもしれませんが、まあ、世界中の数学者の共通理解として、この公理は妥当だ、と認められていますので、まあ認めてよいでしょう・・・。
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部分としても全体としても点の存在を証明できないから1の存在も証明できないだろうと言わんとした33です。


いただいたお礼欄のご指摘は勉強になります。しかし解析理論は全然得意じゃないんです。
わたしの回答は仏教思想に近いものです。
1は、無限集合で空集合を含むとする、それだけの考えに発しています。

もっとヴィヴィッドな世界観に則すと、
The birds of the air have nests. のなかで1はどれですか
というと、the birds と the air なのであり、nestsだけが 複数の喚起力を持っていますが、
1の概念の存在としての the birds の存在証明というのは、
「全」鳥類に「言及」することに実現可能性があるか、という言及主体的な問題です。
そして、複数概念の存在としての birds のほうに存在証明を依拠することを余儀なくし、
さらにここには1羽の存在としての a bird の存在も前提とされ、
あとは「観測系にしたがって」、(アミノ基とか、炭素分子とか、有翼動物とか、占断手段とか、焼き鳥とか、)
さまざまな質料の1があり、有用な構造を具備するというわけです。

『ちいさな1』という絵本では、1は自然数たちとうまく仲良くなれず、輪っかと親和性があるのですよ。
ぜひ周囲の子どもたちに読んでやってください。
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>>> No.34 お礼欄


なるほど。二つの写真があっても、同一物の2枚か、別物の1枚ずつかは、分からないでしょうという問いでしょうね?
<<<

写真ではなく、実物でもOKです。
写真のレベル(外側)へと境界線をずらしましたが、基本的にはNo.11の画像(脳内処理)と同等です。

左右の眼で物を見たとき、二重に見えるのは目が悪いからか、本当に2重に世界が存在するのか?

目が正常だとしても、量子力学系でのエンタングルメントについては、離れた「二つ」の量子が「一つ」の塊として振る舞う(様に見える)。
実際には「二つ」に見えるモノ(量子)は「一つ」で、認識主体(人間)の錯覚で「二つ」に見えているだけなのか?
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90% …

アリは「一匹、二匹」と数えるけれど、軍隊蟻のレベルでは、蟻の群れ全体を「一つ」として考えなければならなくなる。

どこに「1」を持っていくかは、対象物と認識者との関係において決定される。
認識者が不在でも、相互作用する同士の「レベル」でも「1」という概念は異なる。
原子同士は電子の電荷を「1」という概念で関係し合い、素粒子同士はクォークの数が「1」という単位になる。このレベルでは、電荷は1/3とか2/3とかいった単位で現れる。

無論「内在する」と捉えても、存在レベルではOKですが、存在論レベルでは片手落ちになるだけではなく、誤認しているかどうかすら、不明になってしまうと思います。
「「1」は、存在していますか?」の回答画像40
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他に詳しい人ばかりなので、あまり付け足しにならないですが。


もう誰か言われてるかも・・

1という概念は抽象的ですので、抽象を実在と捉えるかどうかじゃないでしょうか?
この世はものでできてますから、宇宙の端から端まで具体的なところばかりです。なんで、抽象的な1はあり得ませんし。

ん~と、抽象概念は、徹底的に具体的な世界に住む人間から見ると、それは極限として定義されます。
なので、極限をどう扱うか? という話とも言えるかなー。
極限なので、それは、具体の世界とつながっているとも言えるし、極限だから存在しないとも言える。
そういう性質が、極限の性質だと思います。
それは、主観と客観の関係そのものです。

そういう質問ではないのかな~?よくわかりませんが。
>「存在」の定義が、違っているために
と書かれてますが、言い換えると、クオリアみたいな抽象性、あるいは主観を実在と見るかどうか?
のことを言われてますか?
そうなると、実在や、存在、という言葉の定義次第で、それはあったり無かったりします。
???
僕も何を書いているのか~。
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1はペアノの自然数の公理系(URL参照)で自然に発生する概念です。


0をそれより小さな自然数が存在自然数として定義し、0の一つ上の数字が1です。

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2% …
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 No.35に補足がありました。



>∞/∞=1で正解でしたでしょうか?それとも、解なしでしたでしょうか?それとも、どちらに決めてもいいような自由度がありましたでしょうか?

 要するに、「ばらばらにしたあと、もう一度全部をかき集めて」という操作は、等分か包含に当たるのだから、除法が使えるじゃないか――という事でしょうか。
 まず、∞は数ではないですよね?

 強引に、数にしてみましょうか。例えば、∞=1/0です。これが数としての意味を持つかどうか。1×0=2×0ですよね、両辺を0で割ると1=2になる。どうしてこうなるか、ゼロ除算が可換ではないからでしょう。そこでもう少しイマジネーションを働かせる。
 0の0乗は0なのかどうか。
 組み合わせ論からすれば、これを1にしておいた方が都合が良い。
 例えば負でない整数の集合P={a,b,c}, Q={α,β} について、PからQへの写像は全部で8通り(2の3乗個)となる。整数だから0でも良いわけですが、この背景には空集合から空集合への写像が1つだけあるという前提に基づいている。
 やはり、対象をどう捉えるか? という事ではないでしょうか。
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この回答へのお礼

実数ではない。実数からの拡張分野ということで、その意味では、虚数と同じですが、テーマの「1」から反れましたので、深追いはしないこととします。

お礼日時:2009/06/25 16:33

>点だと、0次元幾何ですから、数論に対応させると「0」の話で、「1」の話ではないと思いました。

違っていたら、ご指摘ください。

 回答した内容はそうなのですが、少し補足が必要だろうと思いました。確か題意は、不存在の証明でしたね。

 まず、引用されたNo.33のご回答を、よくお読みください。自然とのコミットの仕方には、大きく分けて二通りあると、僕は思うんです。事実に基づく物理は、言わば分析の科学です。比較研究のひとつであり、それは文体にも現れる。「点の存在を――」と書き始められる文章には、回答者の明確な目的と、その目的から決してわたしは逸脱しないという、頑なな意思が伺えるのではないでしょうか。端的に言えば、公理から始まる数学と物理とでは、事情が違うという事でしょう。

 属性を定めず、従って明晰さを避け、アナロジーの世界を彷徨う(僕のような)人物には、とうの昔に無くした「何か」を感じさせる良回答だと思います。確かに実像と虚像とは「存在」というくくりにおいて、大差なく感じられる。けれど、そう感じられる事こそが、何より「不存在」を例証していると僕には思えます。回答しておいて何ですけど、どうやら僕は、質問者様に慰められたような感じがしました。
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この回答へのお礼

http://qanda.rakuten.ne.jp/qa4654628.html

不存在証明の質問もまだ開けていますので、
興味があれば、覘いて見てください。

お礼日時:2009/06/25 16:57

>しかし、「1」を理解していることと、「1」が存在していることとは



 ぐぅ、と音を上げそうな質問ですけど、可測と非可測の問題でしょうか。

>たとえば、この世には、完全な円形や球形の模型がありません

 図形のはなしだとすれば、わかりやすくするために、一辺が「1」である正方形を例にあげましょう。ところで、この図形の面積は「1」になる――このように世間では言われているが、実はそうではなく、そう思い込んでるだけで、この図形の面積はそうじゃなくて「0」になるんだよと――質問の主旨は、おそらくこういう事なのだろうと思います。
 違うでしょうか。

 だとすれば、その通りだと僕は思います。
 正方形の面積は、言い換えてみれば図のなかを埋め尽くす点(x,y)の集合だと考えることができる。この正方形のなかの点(x,y)が、ともに有理数であるような点だけを集めた集合を考えると、当然、面積は「0」になる。
 どうしてそうなるか。
 僕らが面積を「1」だと呼ぶのは、暗黙のうちにその正方形を埋め尽くす点(x,y)が、実数である場合を想定している。ところが有理数は、自然数と同様に数が少ない。可算無限個の有理数に対して、実数は非可算無限個もある。その点の「数の多さ」に比べたら、有理数の数なんて無視してもよろしいと、こういうわけで「0」になるんでしょう。

 あるいは、
 この「数の多さ」というのは、正方形を埋める点を要素とする集合の、その要素の数ということになり、面積はその集合との関数で表される。だとすれば、ある面積を持った図形を分割してばらばらにしたあと、それらを無くさないようにもう一度全部を合わせれば、元の面積に等しくなるはず――であろうと思われる予測は、実際には、時として裏切られる場合があるよと、質問者様は仰っているのでしょうか。

 だと思って、可測と非可測の問題なのかなと先に書きました。
 ある面積の図形をばらばらにしたあと、もう一度全部をかき集めてみても、その面積は元と同じにはならない――そういう点の集合を非可測集合と呼ぶようです。全体がわからないと部分要素がわからず、部分要素がわからないと全体がわからないというようにはならない――集合のことです。ルベーグ測度とかで検索されれば、出てくるでしょう。

 僕が思うに、点の存在というのは、対象をどのような選択公理で考えるかによって、自ずと決定されるのではないでしょうか。無限集合を対象とする場合、選択公理を認めればひとつの球を有限個に分割して、それぞれを集めて元の球と同じ体積の球をふたつ作ることが可能になる。こういう現実はあまり想像したくないものですから、僕らは可算選択公理で考えて、自然な解決が可能な世界に留まっているのでしょう。

 少し喩えは変わりますが、分割過程に生活感を覚えるのは、電卓を用いたときです。普通電卓で1÷3×3を順に押すと、答えは「1」にならない。関数電卓で演算すれば、「1」になる。選択公理にはこういう違いがあると思います。

この回答への補足

線も平面も、無限の点の集合だという設定から、矛盾が生まれ、論理的に破綻するという例示だと思いました。
「ばらばらにしたあと、もう一度全部をかき集めてみても、その面積は元と同じにはならない」「非可測集合」「ルベーグ測度」「可算選択公理」大変参考になる回答をいただきまして、有難うございました。

ただ、∞/∞=1で正解でしたでしょうか?それとも、解なしでしたでしょうか?それとも、どちらに決めてもいいような自由度がありましたでしょうか?

補足日時:2009/06/25 12:44
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この回答へのお礼

No.33の回答に対して、代わりに大変適切なヒントを書いていただき、有難うございました。

「点の存在を証明することができれば、1の存在証明になるかと思います。全体性の証明のためには部分要素の存在の証明が、部分要素の証明のためには全体の存在の証明が必要だと思われますが、全体も部分要素もどちらも仮設的な概念ではないでしょうか。」

点だと、0次元幾何ですから、数論に対応させると「0」の話で、「1」の話ではないと思いました。違っていたら、ご指摘ください。

1次元の線分や2次元の平面図形を0次元の点で構成させようとすると、必ず「無限」を扱うことになります。これが、手に負えない原因ですよね。有限の存在にとっては、無限を理解できても、無限の存在を手に入れられないと思います。たとえば、円周率を書き上げることは、事実上、不可能なはずです。0.99999・・・と同じでしょう。

お礼日時:2009/06/25 11:46
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