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(1)
A1,A2,A3,…,AmをR上のベクトル空間Lにおける凸集合とする。このとき
ΣAi={x|x=Σai, ai∈Ai, i=1,2,…m}
もまた凸集合である。
(2)
Ai, i∈Iをすべてベクトル空間Lの凸部分集合とするとき∩Aiも凸集合である。
(1)(2)を証明せよ。
というものなのですが分からなくて困ってます。
宜しくお願いします。

A 回答 (3件)

....


「定義に従って」という言葉の意味は理解できますか?
「定義に従って ΣAi が凸集合であることを証明する」ために, 「何を示せばよいか」は分かりますか?
分かるなら「何を示せばよいか」を書いてください.
分からないなら, まず「凸集合」の定義を書いてください.
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定義に従って凸集合であることを示すだけ.


少なくとも, 「何を示せばいいか」はわかるよね?
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この回答へのお礼

ΣAiが凸集合ということですよね?

お礼日時:2009/06/25 00:39

「凸集合」の定義はわかりますか?

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この回答へのお礼

定義は分かるのですがそこからがどうすればいいのか分かりません・・・

お礼日時:2009/06/25 00:02

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Q凸集合

次の問題を教えて下さい。基本的ですいません。
よろしくお願いします。

----------------------------------
以下の集合が凸集合であることを示せ
A={ x^2+y^2≦r^2 }∈R^2 (rは定数)
B={ x^2+y^2≦z } ∈R^3
----------------------------------

Aベストアンサー

(1)
0≦r∈R
A={(x,y)∈R^2|x^2+y^2≦r^2}
{(a,b),(c,d)}⊂A
0≦t≦1
(x,y)=(1-t)(a,b)+t(c,d)
とすると
a^2+b^2≦r^2
c^2+d^2≦r^2
(a^2+b^2)(c^2+d^2)-(ac+bd)^2=(ad-bc)^2≧0

x^2+y^2
={(1-t)a+tc}^2+{(1-t)b+td}^2
=(1-t)^2(a^2+b^2)+2(1-t)t(ac+bd)+t^2(c^2+d^2)
≦(1-t)^2(a^2+b^2)+2(1-t)t√{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}+t^2(c^2+d^2)
={(1-t)√(a^2+b^2)+t√(c^2+d^2)}^2
≦r^2

(2)
B={(x,y,z)∈R^3|x^2+y^2≦z}
(a,b,c)∈R^3
(d,e,f)∈R^3
0≦t≦1
(x,y,z)=(1-t)(a,b,c)+t(d,e,f)
とすると
a^2+b^2≦c
d^2+e^2≦f
(a^2+b^2)(d^2+e^2)-(ad+be)^2=(ae-bd)^2≧0

x^2+y^2
={(1-t)a+td}^2+{(1-t)b+te}^2
=(1-t)^2(a^2+b^2)+2(1-t)t(ad+be)+t^2(d^2+e^2)
≦(1-t)^2(a^2+b^2)+2(1-t)t√{(a^2+b^2)(d^2+e^2)}+t^2(d^2+e^2)
≦c(1-t)^2+2(1-t)t√(cf)+ft^2
=(1-t)c+tf-t(1-t)(√c-√f)^2
≦(1-t)c+tf
=z

(1)
0≦r∈R
A={(x,y)∈R^2|x^2+y^2≦r^2}
{(a,b),(c,d)}⊂A
0≦t≦1
(x,y)=(1-t)(a,b)+t(c,d)
とすると
a^2+b^2≦r^2
c^2+d^2≦r^2
(a^2+b^2)(c^2+d^2)-(ac+bd)^2=(ad-bc)^2≧0

x^2+y^2
={(1-t)a+tc}^2+{(1-t)b+td}^2
=(1-t)^2(a^2+b^2)+2(1-t)t(ac+bd)+t^2(c^2+d^2)
≦(1-t)^2(a^2+b^2)+2(1-t)t√{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}+t^2(c^2+d^2)
={(1-t)√(a^2+b^2)+t√(c^2+d^2)}^2
≦r^2

(2)
B={(x,y,z)∈R^3|x^2+y^2≦z}
(a,b,c)∈R^3
(d,e,f)∈R^3
0≦t≦1
(x,y,z)=(1-t)(a,b,c)+t(d,e,f)
とすると
a^2+b^2≦c
d^2+e^2≦f
(a^2+b^2)(d^2+e^2)...続きを読む

Q凸集合の定義ってなんですか?

2題よろしくお願いします。
1.平面上の集合kが凸集合である定義を述べよ。
2.xy平面上の凸集合、凸でない集合をそれぞれ例示せよ。
この2題です。さっぱり分かりません。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

つまりy=xのような直線は凸集合
n角形で一つの辺が内側にはいりこんでいれば凸集合ではない。
ん?まてよ…
さらに盛った目玉焼きを上からだけみると凸集合だ。(へこみがない場合です)
しかし、横からみると凸集合ではない。
つまり、目玉焼きは3次元的にみると凸集合ではない。
どうも線形計画法の問題みたいですね。

Q行列の正定・半正定・負定

行列の正定・半正定・負定について自分なりに調べてみたのですが、
イマイチ良くわかりません。。。
どなたか上手く説明していただけないでしょうか?
過去の質問の回答に

>cを列ベクトル、Aを行列とする。
>(cの転置)Ac>0
>となればAは正定値といいます。
>Aの固有値が全て正であることとも同値です。

とあったのですが、このcの列ベクトルというのは
任意なのでしょうか?
また、半正定は固有値に+と-が交じっていて、
負定は固有値が-のみなのですか?

どなたかお願いしますorz

Aベストアンサー

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列ではないAの固有値がすべて正だからといって、
(cの転置)Ac>0とは限りません。
例えば、
A =
[ 1 4 ]
[ 0 1 ]
とすると、Aは対称行列ではなく、固有値は1です。
しかし、
(cの転置) = [ 1, -2]
とすると、
(cの転置)Ac = -3 < 0
となってしまいます。(実際に計算して確かめてください。)
なので、行列Aが対称行列であるという条件はとても重要です。

また、半正定値の定義は、上の定義で
『ゼロベクトルではない任意の』 --> 『任意の』
と書き直したものです。
このとき、半正定値行列の固有値はすべて0以上です。(つまり0も許します。)
逆に、対称行列の固有値がすべて0以上なら、その行列は半正定値です。

さらに、負定値の定義は、『ゼロではない任意の』ベクトルcに対して
(cの転置)Ac<0
となることです。
固有値についてはもうわかりますね。

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列...続きを読む

QMATLABにて場合分け関数を定義したい

MATLABの超初心者です.
関数f(x)を定義域により,違う関数で定義したいと考えています.
つまり,
f(x)= f1(x) if x<=5
= f2(x) if x>5

という感じです.なにぶん初心者のため,何を調べればよいのやら途方に暮れています.アドバイスお願いします

Aベストアンサー

いろんなレベルがあるけど x に配列を要求しないなら,
function [y] = foo1(x)
if (x<=5)
y = cos(x);
else
y = sin(x);
end

みたいで良いし, x に配列が入る場合は,

function [y] = foo2(x)

I = find(x<=5);
J = find(x>5);
y = zeros(size(x));
y(I) = x(I).^2 - 2;
y(J) = -2*x(J).^2 + x(J) + 20;

の様な関数でどないでしょう.

Q数学のハット記号の意味がわかりません!

参考書にいきなり出て来た、関数の上に載っている"^"記号の意味が分かりません。
調べようにもどの本に載ってるのかもわからず、
ネットで調べようにも記号は調べられず、
ハットで検索しても関係ないものばかり出てくるのでわかりません。
どなたかハット記号の意味を教えてください。

Aベストアンサー

リアプノフ指数の話なら、
?dot{r(t)}=?hat{G}(t)r(t)
のGはヤコビアン行列じゃねーでしょうか。するとハットは行列をスカラーと区別するために付けてる記号かも知れません。だとすると最後の
hat{U}(0)=?hat{1}
の右辺は1じゃなくて単位行列。

Q凸集合での命題を証明したいのですが…

実数体Rに於いて,A,B⊂R^n を凸集合とする時、
(1) もし、AとBが閉集合ならA+B:={x+y;x∈A,y∈B}は閉集合とは限らない。
(2) もし、AがコンパクトでBが閉集合ならA+Bは閉集合。

という命題を証明したいのですが滞ってます。

凸集合の定義は
「集合Sについて任意の2つのベクトル x,y∈S と正の実数s (0≦s≦1) について,
sx+(1-s)y∈S
が成立するとき,Sは凸集合であるという」
閉集合の定義は
「{Π[1..n][ai,bi];ai,bi∈R(i=1,2,…,n)}の元を閉集合という」
コンパクトの定義は
「集合YをX(⊂R^n)の開被覆とする時、Yの有限個の開集合でXを覆える。」

(1)の反例はどのようなものが挙げれるでしょうか?
そして、(2)はどのようにして示せますでしょうか?

Aベストアンサー

すみません,Aの定義に
-π/2 ≦ x ≦ π/2
を入れ忘れました.つまり,

A= {(x,y)∈R^2 |-π/2 ≦ x ≦ π/2, y ≧ |tan(x)|}

放物線みたいなのが一つあるだけです.

Q∀B⊂R^nに対し,Bを含む最小の凸集合Aが存在の証明

[問]Rは実数体で∀B⊂R^nに対し,Bを含む最小の凸集合Aが存在する事を示せ。
[証]
Bを含む凸集合の共通部分A:=∩[C∈{C;B⊂C:凸集合}]C
を考えたのですが
∀x,y∈A,∃C∈{C;B⊂C:凸集合} such that x,y∈C.
所が∀λ∈[0,1],λx+(1-λ)y∈Cは言えるが
λx+(1-λ)y∈Aとは必ずしも言えないと思います。
どうすればλx+(1-λ)y∈Aが言えますでしょうか?

Aベストアンサー

共通部分だから。∃C じゃなくて∀C ですね。
そして論理記号の使い方がかなりあやふやと見ました。普通に日本語で論述しましょう。

QMatlabでforやifを使わずに条件に合う行番号の抜き出し方

仮にA=[1 0 1 0 0 1]の行ベクトルがあったとします。
forやifを使わずにAにおいて1が入っている行番号(この場合では1,2,5)を抜き出すにはどうしたらいいのでしょうか。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

index = find(A == 1);

で大丈夫かと。

Qmatlabで複数条件のif文を行列計算で行うには?

matlabで複数条件のif文を行列計算で行うには?

matlabではfor文などは行列計算で回したほうが高速化できると聞きました。
for文でのやりかたはわかったのですが、複数条件でのif文ではどのように書けばよいのでしょうか?

自分のプログラムは以下のようなものです


for i=1:100
for j=1:100
theta_kari=atan(abs(B(j,i))/abs(A(j,i)));
if A(j,i)>=0&&B(j,i)>=0
theta(j,i)=theta_kari;
elseif A(j,i)<0&&B(j,i)>=0
theta(j,i)=theta_kari+(pi/2);
elseif A(j,i)<0&&B(j,i)<0
theta(j,i)=theta_kari+pi;
elseif A(j,i)>=0&&B(j,i)<0
theta(j,i)=theta_kari+(pi/2*3);
end
end
end

よろしくお願いします

matlabで複数条件のif文を行列計算で行うには?

matlabではfor文などは行列計算で回したほうが高速化できると聞きました。
for文でのやりかたはわかったのですが、複数条件でのif文ではどのように書けばよいのでしょうか?

自分のプログラムは以下のようなものです


for i=1:100
for j=1:100
theta_kari=atan(abs(B(j,i))/abs(A(j,i)));
if A(j,i)>=0&&B(j,i)>=0
theta(j,i)=theta_kari;
elseif A(j,i)<0&&B(j,i)>=0
theta(j...続きを読む

Aベストアンサー

matlab的に一番速いのは

theta = atan(abs(B./abs(A)) + (A<0 & B>=0)*pi/2 + (A<0 & B<0)*pi + (A>=0 & B>=0)*(pi/2*3);

ですかね。

Qn単体が閉集合であることの証明

一般的な位置にある ( n+1 ) 個の点、a_0 , a_1 , … , a_n ∈ R^m をとります。
このとき、n単体 |a_0a_1…a_n| を

|a_0a_1…a_n| = {(λ_0)(a_0) + (λ_1)(a_1) + … + (λ_n)(a_n) | λ_0 + λ_1 + … + λ_n = 1 , λ_i ≧0 }

で定義します。

さらに |a_0a_1…a_n| の元 x = (λ_0)(a_0) + (λ_1)(a_1) + … + (λ_n)(a_n) に対して、(n+1)個の実数の列 (λ_0 ,λ_1 , … ,λ_n) をxの重心座標と呼びます。

このとき、重心座標を考える事によってn単体が R^mの閉集合となる事がすぐ分かる…らしいのですが、私にはどうしてそうなるのかがよく分かりません。


補集合が開集合となるのが閉集合の定義ですが、定義からどうしめしてよいのかが分かりません。
重心座標を使う、という事なので、次のような関数

 f:|a_0a_1…a_n| → R^(n+1) 、 
  (λ_0)(a_0) + (λ_1)(a_1) + … + (λ_n)(a_n) |→  (λ_0 ,λ_1 , … ,λ_n)

を考えて、この連続性を示すのかと思いましたが、この連続性もどう示したらよいのか分かりません。

2単体や3単体、4単体まではイメージも出来るのでそれが閉集合となっていることは直感的には分かるのですが、それ以上となるとイメージが出来ずに困っています。

分かる方がいましたら回答よろしくお願いします。

一般的な位置にある ( n+1 ) 個の点、a_0 , a_1 , … , a_n ∈ R^m をとります。
このとき、n単体 |a_0a_1…a_n| を

|a_0a_1…a_n| = {(λ_0)(a_0) + (λ_1)(a_1) + … + (λ_n)(a_n) | λ_0 + λ_1 + … + λ_n = 1 , λ_i ≧0 }

で定義します。

さらに |a_0a_1…a_n| の元 x = (λ_0)(a_0) + (λ_1)(a_1) + … + (λ_n)(a_n) に対して、(n+1)個の実数の列 (λ_0 ,λ_1 , … ,λ_n) をxの重心座標と呼びます。

このとき、重心座標を考える事によってn単体が R^mの閉集合となる事がすぐ分かる…らしいのですが、私にはどうしてそ...続きを読む

Aベストアンサー

その文脈であれば、

{(λ_0 ,λ_1 , … ,λ_n) ∈R^(n+1)|λ_0 + λ_1 + … + λ_n = 1 , λ_i ≧0 }

のコンパクト性と、コンパクトの連続像がコンパクトとであることを使えということかと。


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