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質量M 中心半径a 管半径c のトーラス(ドーナツ型の図形)
の中心軸まわりの慣性モーメントを求めたのですがどうしても
I = (Ma^2)/4 + Mc^2 になってしまいます。

しかし某サイトで紹介されているトーラスの慣性モーメントは
I = (3Ma^2)/4 + Mc^2 となっていました。

おそらく自分の導出方法が誤っているのだろうと思います。
どなたかご教授ください。

A 回答 (2件)

>半径がC、厚さがdrの円盤の質量をdmとすると中心まわりの慣性モーメント


>は dI = (dmc^2)/4 + dma^2

ここが間違っています。
トーラスを輪切りにしていくとき、厚さを一様にスライスすることはできません。トーラスに管の中心を結ぶ円に垂直にスライスすると、トーラスの中心軸に近いサイドの厚さと遠いサイドの厚さが異なることがわかります。
この厚さの違いは、この円板の重心の位置をスライスした断面の円の中心からずらしてしまい(トーラスの中心から見て少し遠くなります)、これはスライス幅をいくら小さくしてもゼロにすることはできません。
平行軸の定理がそのままでは適用できません。
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あなたがどのような考えを元に式を立て、それを解いたかを示してください。


より適切なアドバイスができると思います。

この回答への補足

半径がC、厚さがdrの円盤の質量をdmとすると中心まわりの慣性モーメント
は dI = (dmc^2)/4 + dma^2
またトーラスの密度は ρ= M/2a(πc)^2
ゆえに dm = Mdr/2πa
したがって dI = (Mc^2/8πa + Ma/2π)dr
これをトーラスの全周にわたって積分すると
I = Mc^2/4 + Ma^2

あ、質問文とa,cが逆になってますね。すいません。

補足日時:2009/06/25 02:06
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Q円盤の慣性モーメントが求めれません。

面密度ρの一様な円盤の中心周りの慣性モーメント

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となるのですがどうしてなるのか分かりません。

よろしくお願いします!

Aベストアンサー

慣性モーメントの定義から入りましょう。
回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdJは次式で与えられます。
dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

となるわけです。
ここで、dmは次のように表されます。
dm=ρdA (3)

ρは面密度、dAは円盤の微小要素の面積です。
次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
dA=(半径r+drの円の面積)-(半径rの円の面積) (4)

で求まります。実際にやってみます。
dA=π(r+dr)^2-πr^2
=π(r^2+2rdr+dr^2-r^2)
=π(2rdr+dr^2) (5)

となるんですが、drはめっちゃ小さいんで2乗の項は無視します。
dA=2πrdr (6)

ですね。この式(6)を式(3)に代入します。
dm=2πρrdr (7)

式(7)を式(2)に代入します。
J=∫r^2・2πρrdr
=2πρ∫r^3dr (8)

見にくいんで書きませんでしたが、rの積分区間は0~Rです。
回転軸から端っこまでですから♪
積分を実行すると、
J=(πρR^4)/2 (9)

になります。
ここで、円盤の質量mは次式で与えられます。
m=πρR^2 (10)

式(10)を式(9)に代入すれば出来上がりです♪
J=(mR^2)/2 (11)

慣性モーメントの定義から入りましょう。
回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdJは次式で与えられます。
dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

となるわけです。
ここで、dmは次のように表されます。
dm=ρdA (3)

ρは面密度、dAは円盤の微小要素の面積です。
次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
dA=(半径r+drの円の面積)-(半径rの円の面積) (4)

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Q熱伝導率と電気伝導率の関連性について

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 物質の熱とは格子振動、つまり原子核の振動なんですが、
それを伝えているのは通常電子なんです。
 熱せられ原子が振動しても、原子核同士が衝突する
わけでなないので、その振動(つまり熱)を伝える
担い手になっているのは、原子核の周りの電子及び電磁波なんです。

 ここでいきなり電磁波が出てきて少しフシギかもしれませんが、
電子も原子核を直接ぶつかっているわけではないので、
電子と原子核のエネルギーの交換の担い手としては電磁波が出てくる
のです。


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多ければそれだけ熱は伝わりやすいのです。

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中が中空の球(球殻)の慣性モーメントの求め方がわかりません。
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球の中心を原点とした一般的な直交座標と極座標を考えて下さい。

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Qなぜ熱膨張係数は物質により異なるのでしょうか?

先日、大学の実験で金属の熱膨張係数を調べたのですが、実験後なぜ熱膨張係数は物質によって異なるのか、またなぜ熱膨張係数は温度変化するのかを調べなさいといわれました。
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もし知っている方がいましたら詳しく教えてください。
本の名前やサイトでも結構ですのでお願いします。

Aベストアンサー

固体の中で原子は整然と並んで結晶を作っているわけですが、個々の原子は、結晶の中での安定な位置にとどまろうとしています。ですから、大雑把にいえば、原子同士はバネでつながれているようなものです。有限温度では熱エネルギーのために原子は安定点を中心に振動しています。

ここで、原子同士をつないでいるバネが、力の大きさが変位の絶対値に比例する理想的なバネだったら熱膨張は起こらないのですが、実際の原子同士の相互作用は、安定点から同じだけ離れたとしても、原子同士が近づく方向に動いたときに働く力の方が、原子同士が離れた方向に動いたときに働く力よりも大きくなっています。ファンデルワールス力を与えるレナードジョーンズポテンシャルを御存知でしたら、このことが納得できるのではないかと思います。

したがって、温度が上昇して熱振動の振幅が大きくなると、原子間の平均の距離は(近づくとより強い力がかかるわけですから)、長くなります。要するに温度が上がると、固体は膨張します。これが熱膨張の原因です。

熱振動の振幅が小さければ小さいほど、バネは理想的なバネに近づいていきますから(振り子の振動を解析するときに、振幅が小さければ単振動とみなしてよいのと同じ)、熱膨張係数は温度を下げると小さくなって、絶対零度では零になります。

原子間の相互作用(要するにバネの力)を与えるポテンシャルの詳細は、当然、構成元素や結晶構造によって変わりますから、熱膨張係数は物質によって変わります。

でも、世の中には変な物質があって、磁気的な体積変化と熱膨張がキャンセルして、温度を変えても長さがほとんど変わらないもの(インバーと呼ばれています)や逆に温度を「下げる」と体積が増えるものまであります。

固体の中で原子は整然と並んで結晶を作っているわけですが、個々の原子は、結晶の中での安定な位置にとどまろうとしています。ですから、大雑把にいえば、原子同士はバネでつながれているようなものです。有限温度では熱エネルギーのために原子は安定点を中心に振動しています。

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Q剛体振り子の周期

剛体振り子の運動方程式 I(θの2回微分)=-Mghθ
から、普通に
周期T=2π√(I/Mgh)
と教科書に書いてあるのですけど、この周期Tはどうやって求めたのでしょう?計算の仕方がわからないので教えてください☆お願いします!
T=2π/ωと、ω=(θの微分)を用いるのはわかるんですけど・・・。

Aベストアンサー

これはθに関する微分方程式を解かなければいけません。
すなわち
dθ^2/dt^2 = -Aθ
(A=Mgh/I)
これは、よく教科書に書いてある形の微分方程式なのですが、解き方をここに書くのは、ちょっと面倒なのでご勘弁ください。

代わりに、方程式から周期を求める簡易な方法を紹介します。

θはtの三角関数になることは、わかっているものとします。

そうすると
θ = a・sin(ωt+c)
tで一回微分すると
dθ/dt = ab・cos(ωt+c)
もう1回tで微分すると
I = dθ^2/dt^2 = -a・ω^2・sin(ωt+c)

これらを当初の方程式に代入すれば
-a・ω^2・sin(ωt+c) = -A・a・sin(ωt+c)
よって
ω=√A=√(Mgh/I)
T=2π/ω=2π√(I/Mgh)

Q球の慣性モーメントについて

こんにちは!!工学部に通う大学一年生です。現在大学の物理学で慣性モーメントについて勉強しています。そこで下のような問題を解きました。

「球(質量M、半径R)の1つの直径周りの慣性モーメントを求めよ。

という問題を解いてみて解答を見ると
球の密度をρ=M/(4/3)πR^3とする。球の中心から高さzからz+dzの間にある厚さdzの円盤の質量はρπ(R^2-z^2)dz
よって慣性モーメントはi=(1/2)ρπ(R^2-z^2)dz(R^2-z^2)
これを積分してI=∫idz=(2/5)MR^2
(積分区間は-R≦z≦R)

となっていました。解答の流れと計算はわかるのですが、i=(1/2)ρπ(R^2-z^2)dz(R^2-z^2)の式に何故(1/2)がつくのかわかりません。
教えてくださいm(_ _)m

Aベストアンサー

同じ問題を解いているサイトがありました。
http://www14.plala.or.jp/phys/mechanics/35.html

1/2は円盤の慣性モーメントの表現として含まれています。

半径r、質量mの円盤を中心を通る面に垂直な軸の周りに回転させるときの慣性モーメントが(1/2)mr^2であるということです。1/2がなければmr^2になりますね。これは距離rの所に質量mがあるという場合です。円盤ではなくてリングの場合になります。
1/2がついているということは円盤の場合、中心からの距離がr/√2の所に質量が集中しているとしたときと同等だということです。質量が広がりを持って分布している物体の回転を、同じ質量を持った、回転について同等な質点の回転に読み直しています。半径rよりも小さい所に質量が分布していますから当然前に着く数字は1よりも小さくなります。球の場合は円盤の場合よりも多くの質量が中心の近くに分布していますから前に付く数字は1/2よりも小さくなります。2/5<1/2ですね。3/5とか4/5が出てくればおかしいということが分かります。
慣性モーメントを単に積分で定義された量とだけで理解しているとこういうチェックが出来ません。

運動方程式 力=質量×加速度
に対応する回転に関する運動方程式は
モーメント=慣性モーメント×角加速度
です。この式は
力=質量×加速度 の両辺に回転半径rをかけたあと
加速度=半径×角加速度
と書き換えれば出てきます。
(rの掛け算は本当はベクトル積ですが普通の掛け算で書いています。)

同じ問題を解いているサイトがありました。
http://www14.plala.or.jp/phys/mechanics/35.html

1/2は円盤の慣性モーメントの表現として含まれています。

半径r、質量mの円盤を中心を通る面に垂直な軸の周りに回転させるときの慣性モーメントが(1/2)mr^2であるということです。1/2がなければmr^2になりますね。これは距離rの所に質量mがあるという場合です。円盤ではなくてリングの場合になります。
1/2がついているということは円盤の場合、中心からの距離がr/√2の所に質量が...続きを読む

QNをkgに換算するには?

ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?一応断面積は40mm^2です。
1N=9.8kgfなので、「40kg=N×0.98」でいいのでしょうか?
ただ、式の意味がイマイチ理解できないので解説付きでご回答頂けると幸いです。
どなたか、わかる方よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんにちは。

kgfはSI単位ではないですが、質量の数値をそのまま重さとして考えることができるのがメリットですね。


>>>
ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?

なんか、日本語が変ですね。
「ある試験片に40kgの重りをつけた時の引っ張りの力は何Nの力で引っ張るのと同じですか?」
ということですか?

・・・であるとして、回答します。

40kgのおもりなので、「おもりにかかる重力」は40kgfです。

重力は万有引力の一種ですから、おもりにも試験片にも、地球からの重力はかかります。
しかし、試験片の片方が固定されているため、見かけ、無重力で、試験片だけに40kgfの力だけがかかっているのと同じ状況になります。

試験片にかかる引っ張り力は、

40kgf = 40kg×重力加速度
 = 40kg×9.8m/s^2
 = だいたい400N

あるいは、
102グラム(0.102kg)の物体にかかる重力が1Nなので、
40kg ÷ 0.102kg/N = だいたい400N


>>>1N=9.8kgfなので、「40kg=N×0.98」でいいのでしょうか?

いえ。
1kgf = 9.8N
ですね。


>>>一応断面積は40mm^2です。

力だけでなく、引っ張り応力を求めたいのでしょうか。
そうであれば、400Nを断面積で割るだけです。
400N/40mm^2 = 10N/mm^2 = 10^7 N/m^2
1N/m^2 の応力、圧力を1Pa(パスカル)と言いますから、
10^7 Pa (1千万パスカル) ですね。

こんにちは。

kgfはSI単位ではないですが、質量の数値をそのまま重さとして考えることができるのがメリットですね。


>>>
ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?

なんか、日本語が変ですね。
「ある試験片に40kgの重りをつけた時の引っ張りの力は何Nの力で引っ張るのと同じですか?」
ということですか?

・・・であるとして、回答します。

40kgのおもりなので、「おもりにかかる重力」は40kg...続きを読む

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。


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