積分　dx　について

Question

積分のdxについて
・不定積分・・・・・微分の逆操作
・定積分・・・・・・総和Σの極限
であると理解しています。

関数F(x)をf(x)の原始関数とすると、F(x)の微分は、
d/dxF(x)＝f(x)です。

不定積分の場合は、微分の逆操作なので、
d/dxF(x)＝f(x)の両辺を積分すれば、∫d/dxF(x)＝∫f(x)となります。
よって、不定積分は∫f(x)＝F(x)+Cではダメなのでしょうか？
わざわざf(x)dxとして積分する理由がわかりません・・・

微分の逆操作という意味であれば、∫f(x)＝F(x)+Cはとてもしっくりくるのですが・・・

もちろん、式変形を行いd/dxF(x)＝f(x)より、dF(x)=f(x)dxとなり、
両辺を積分すれば、∫f(x)dxが導けることは理解できます。

∫f(x)dxは、F(x)の接線の傾きであるf(x)とdxでの面積の総和となり、
∫f(x)dxが直感的に微分の逆操作というイメージが沸きません・・・
F(x)の接線の傾きであるf(x)とdxでの面積の総和が原始関数となる事を
教えて頂けませんでしょうか？
（もちろん、積分定数分は切片としてズレる事は理解しています。）

そもそも∫○dxは、一対で考えなければならないのでしょうか？
このdxが何で積分するかを表すという考えなのでしょうか？
ということは、
・不定積分・・・・・微分の逆操作→∫f(x)dxのdxは何で積分するかを表すための記号
・定積分・・・・・・総和Σの極限→∫f(x)dxのdxは幅
という解釈で良いのでしょうか？

定積分であれば、面積＝Σ（高さ×幅）となるので、∫f(x)dxは理解できます。f(x)が高さでdxが幅。

※質問内容※
・不定積分は、∫f(x)＝F(x)+Cではダメか。
　ダメな場合、なぜダメなのか。

・∫○dxは一対で考えなければならないのか？

・F(x)の接線の傾きであるf(x)とdxでの面積の総和がなぜ原始関数になるのか？

・不定積分における∫f(x)dxのdxとは”何で積分するか”を表す記号と解釈してよいか？

以上、長々とあほな質問ですがご回答よろしくお願い致しますm(__)m

ちなみに、以前私と同様の質問の方がいらっしゃいました。
http://okwave.jp/qa1415099.html

kabaokaba · Accepted Answer

＞私の質問内容は、不定積分のf(x)dxをどう考えるのかという事なのです・・・

そんなことどっかに書いてあったかなぁ・・・
けどこれに対する答えも書いたはずなんだが・・・

高校レベル・大学初年級レベルでは
単体での「f(x)dx」は定義されません．
あくまでも「∫f(x)dx」で一個です．
勝手にばらしてはいけません．

しかし「イメージ」もしくは「標語的」には
f(x)dxは「小さな区間dx」と「そのときのf(x)」の積で
小さな「長方形」です．
区間が小さいのでその区間内のどのxに対してもf(x)は
大差ないので気にしないという立場です．
＃容易にわかるように「この気にしない」というのは
＃f(x)がかなり都合のよい関数のときだけ成り立つのですが
＃マクロな自然現象の場合，たいていはOKだと思えます．

「基本定理」は「よく使う大事なもの」だから「基本」であり，
証明が難しいから，ある意味直観的な「説明」で先に進むのです．
覚えるしかないというか，
絵を書いて，大雑把に計算してみれば
「当たり前」だってことは理解できませんか？

もちろん厳密に証明するのは難解です．
どうしてって？
小さな区間の取り方は無数にあるし
それを「どんどん小さくする」方法も無数にある．
関数だって連続とか微分可能以外に山ほどある．
たとえば，f(x)=x (xが0ではない) f(0)=10 みたいな
「すっとんでる」関数とかどう扱う？みたいな．
もっといやらしく f(x)=0 (xは無理数) f(x)=1 (xは有理数)
なんて関数もある．
そんな「絵にかけない」ものまで考慮しないといけないので
厄介になるわけです．

Kules · Answer

No.1Kulesです。
だいぶ時間が空いたので他の方もいろいろ書かれていますが、
私なりの意見も書かせていただきます。
＞「原始関数を微分したグラフのｘ軸と、？と？で囲まれた部分の面積」はなぜ「原始関数+C」となるのでしょうか？
やはり誤解があるようですね。
私の説明にもあるとおり、「原始関数+C」は面積とはなりません。
例えば長方形の面積を考えると、不定積分というのは「たて」の長さだけがわかっているようなものです。後は横の長さがわかれば面積になりますよ～という状態です。その横の長さを決めるのが積分区間です。
「横の長さがない（わかっていないではなく、決まっていない）長方形」は存在しないです。その面積が求められるはずもありません。

kabaokaba · Answer

>しかし、∫f(x)dxで求まる面積をどの様に考えれば原始関数に結びつける
>事が出来るのでしょうか？ココが一番分かりません。。。

∫f(x)dxではなく，積分区間を決めて∫_a^b f(x)dxです．
面積は確定した値です．

定積分 ∫_a^b f(x)dx を定義する
関数F(t)=∫_a^t f(x)dxを定義する
F(t)を微分するとf(t)になる・・・微分積分学の基本定理

こういう流れです．
この中には不定積分は一切存在しないことに注意です．
「どのように考えれば」というのは
再三説明しているとおりです．
「定積分が面積である」という直観的な定義から
その直観を援用すれば微分を行えば被積分関数がでてくる
ということです．
実際に絵を書いてみればすぐ見えるはずです．

内容は平易なのですが，厳密に証明しようとすると
かなりの難問です．そしてきわめて重要なので
「基本定理」なんです
（微分・積分がでてくるところには，手を変え品を変え
あらゆる形ででてきます．微分幾何ででてくる
ストークスの定理・ガウス・ボンネの定理なんかも
この「基本定理」の進化版だし・・・）

そして，この「基本定理」を考えにいれると
実際に計算に使うには「微分の逆演算」であるところの
「不定積分」なるものを定義して，それを使い倒すのが
きわめて便利であるということです．
あらかじめいろいろな関数の不定積分を求めておけば
計算が極めて安易になるのです．

kabaokaba · Answer

>　dF(x)=f(x)dxより、2xdx（高さ・幅＝面積）のｘに実際に数値を代入した際に、求まる関数＝原始関数という認識で良いでしょうか？
>　2xだけでは只の点に成ってしまうので、それを繋ぐためにdxというｘの微小変化量の極限が必要と理解しました。

ここが違うんです．値を代入することはできません．
そもそも「dF(x)」とか「dx」を
それだけで定義してますか？
あくまで説明の都合上「微小区間dx」とか書きますが，
そもそも「微小区間」って何でしょう？
どんなに小さくても，たとえば[0,0.000000001]なんかでも
これは数学でいう意味での「微小区間」じゃないんです．
この「微小区間」ってのは，
まじめに定義するときわめて複雑なんで普通は
「言葉のアヤ」扱いで「漠然と使う」ものなんです．
いみじくもご自分で「微小変化量の極限」ってかかれてますよね．
翻って，dF(x)って何？ということになります．
これに対して「代入」なんて定義されてますか？

だから
「dF(x)=f(x)dxより、2xdx（高さ・幅＝面積）のｘに実際に数値を代入した際に、求まる関数」
なんてものは（少なくともこのような意味では）存在しません．
そもそも「代入」自体が意味不明です．

これは「記号・記法のお約束」と「説明のための大雑把な話」で
納得するしかありません．
数学的に理解するなら，まずは
大学初年程度の微積の教科書を丁寧に読むしかありません．

dF(x)というのは実はきちんと数学的に定義が可能です．
これがいわゆる「微分幾何」や「多様体論」をやると
でてくる「微分形式」と「外微分」ってものなんですが，
これの定義を真剣にやるのはいろいろを道が長いです．
ものすごく大雑把にいうと
dF(x)ってのは，
点xにおいて，
その点で接する方向に伸ばす接線の傾きを与えるような
線型写像なんです．
ただ，線型写像の値域がグラフの
「接線方向の直線」だったりするので
「普通の意味でその点の値を代入する」というのは
意味がないというか，ちょっと違います．
＃「接ベクトル場の双対空間の元」というのが
＃数学的な定義なんだけども・・・
＃＃けどここでの話にはこういうのは関係ない．

したがって，
>上の式よりdF(x)は面積という事ですよね。
というほど単純なものではないんです．
あえてこれをいうなら標語的な「微小面積」です．

そして，問題なのは
複数のものをごっちゃにしていることです．
積分を考えたときの「面積」と
「微小量の極限」は別物です．
「微小量の極限」ってのは定義の上では積分とは
一切関係ありません
そして，F'(x)=f(x)という関係があるときに
初めて、dFはf(x)と微小区間による「微小面積」になるんです．
＃これが微積分学の基本定理のキモ
ただし「微小」という謎の言葉がついているので
普通の感覚での関数とか値を代入ってのはご法度です．
きちんと定義するまでは
dxとかは「そういう記法」「積分とかするための記号」くらいで
考えるしかありません．
微分方程式をとくときに
平気でdf/dxとかで「約分」とかしますが，
あれは「合成関数の微分」「逆関数の微分」とかを
積分に組み合わせるとうまく約分したときと同じに書ける
ということがわかってるから，許可される操作なのです．
無分別にやってるわけではなく，また
無分別にしていいことではありません．

kabaokaba · Answer

んーー・・・
微積分学の基本定理を理解していないって
ことでしょうか．

まず，誤解があるようですが，
積分ってのは，数学の構築上は
「定積分がメインで，不定積分はサブ」
なんです．
高校だと逆なんですけどね．

定積分を区分求積で定義すると
記号の自然さ，dxの必要性は自明でしょう．
微小区間dxに関数の値f(x)をかけて
それを寄せ集めると∫_a^b f(x)dxになるわけです．

考えている区間[a,b]で，上端を変数tにしてしまうと
F(t)=∫_a^t f(x)dx
という関数ができます．
ここで「積分の変数x」と「区間の上端のt」で違う記号を
使っているのは単に混乱を防ぐためだけです．
別に同じ記号を使っても構いませんがそのときは
同じxでも異なるものだと認識しないといけません．

この関数F(t)を微分すると，f(t)がでてくるんです．
これは極めて簡単に「説明」できます．
微分の定義に素直に従うだけです
まず，F(t+h)-F(t)を計算します．
そもそもF(t)ってのは
x軸上の[a,t]とf(x)での「面積」でした．
だから，F(t+h)ってのは[a,t+h]とf(x)での「面積」です．
したがって，
F(t+h)-F(t)というのは，図を書けば明らかですが
f(x)と[t,t+h]の「面積」です
（ここで簡単のために暗黙に h>0 としてますが，
h<0でもほぼ同様です）．
f(x)と[t,t+h]の「面積」というのは
微分することを考えてるんだから，hは十分小さいとして考えて
大ざっぱにいえば，横がh（区間の幅），高さがf(t)の長方形です
つまり
F(t+h)-F(t)ってのは，だいたい f(t)h なんです．
hで割ってあげれば
(F(t+h)-F(t))/h はほとんど f(t) です．
ここで，hを0にしていく極限をとれば
その「相違」はどんどん消えていくので
F(t)のtによる微分F'(t)はf(t)になります．
つまり，

ここで，
F'(t)=G'(t)であるならば，G(t)=F(t)+C Cは定数
となることです．
平均値の定理で証明できます．つまり，
微分して同じなら差は定数しかないということ．

F(t)=∫_a^t f(x)dxでF'(t)=f(t)
でしたが，aを別の値Aとかに変えても
G(t)=∫_A^t f(x)dxでG'(t)=f(t)
なんです．
ということは，G(t)=F(t)+C とかけるのです．
そこで不定積分の登場です．
計算しようとすれば
「微分してf(x)になる関数」がでてくるんだったら
それを記号化してしまえ！ということで
F'(x)=f(x)であるときに
∫f(x)dx = F(x)+C
と書いてしまおうということです．
ここで，定積分のときの区間をはずしてしまったのは
単に微分の逆をしよう！と決めたから，
区間は関係なくなったからで，Cで「不定」性を残しているのは
微分してf(x)になる関数は一個ではなく，定数分の差が
あってもいいからです．
記号を似せているのは，定積分と形をそろえて
わかりやすくするため，
そして「何で積分する」のか明示するためです．

あらたに，G'(x)=f(x)となる関数を
なんでもいいので一個もってきましょう
一方∫a^t f(x)dx = F(t) としていたのでした．
F(t)=G(t)+Cとかけます．
F(a)=0ですので，C=-G(a)です．
一方，F(b)=∫a^b f(x)dx です
F(t)= G(t)+C = G(t) - G(a)なので
G(b) - G(a) = F(b) = ∫a^b f(x)dx
つまり，
∫a^b f(x)dx = G(b) - G(a)
なのです．

ここで，思い出してください．
G(x)はG'(x)=f(x)となる関数であれば何でもいいのでした．
つまり，G'(x)はf(x)の不定積分の「どれでも」いいんです．
大事なのは「微分してf(x)になる」というだけなんです．
ということで，微積分学の基本定理
f(x)=F'(x)となる任意の関数F(x)（つまり原始関数）を用いて
∫a^b f(x)dx = F(b) - F(a)
となる
がでてくることになります．
記号はあえてFに戻しました

>「原始関数を微分したグラフのｘ軸と、？と？で囲まれた部分の面積」はなぜ「原始関数+C」となるのでしょうか？
これは上記で説明しました．
ただし面積は「原始関数＋Ｃ」ではあるのですが
Ｃは特定の値になります．

>結局のところ微分幾何を勉強しないと分からないのでしょうか？
微分幾何はまったく関係ありません．
これは初歩的な微積分の問題です．
微分幾何は微積分を理解したうえでの分野です．

Kules · Answer

えっと、今から本当ともウソともつかないことを言います。
高校数学をする上でならこの程度の認識で十分ですが、もっと本格的に数学をやるつもりならこの程度じゃダメだよってことを言います。
（私自身この程度の認識で高校数学は特に問題ありませんでしたが、大学に入ってからかなり苦労しました。）
ではいきます。
＞不定積分は、∫f(x)＝F(x)+Cではダメか。
ダメです。
＞ダメな場合、なぜダメなのか。
これは続きの質問
＞∫○dxは一対で考えなければならないのか？
＞不定積分における∫f(x)dxのdxとは”何で積分するか”を表す記号と解釈してよいか？
とも関係し、その解釈でよいとなればdxを抜かすことがまずいことだということはわかりますね？
ちなみに大学に入ると∬dxdyとか∬∫dxdydzのように、変数を変えて何回も積分することも出てきます。その際どの変数で積分するかを書いておいた方がいいだろうなって気がします。
＞F(x)の接線の傾きであるf(x)とdxでの面積の総和がなぜ原始関数になるのか？
まず、これまた適当かつ乱暴な解釈ですが、
「不定積分と定積分の関係は、導関数と微分係数の関係と同じだ」と思ってみてください。すなわち、
導関数の変数に具体的な値を代入することで微分係数になるということは導関数は微分係数の考えをもっと一般化したもの、汎用性の高い形に書き換えたものだな、という認識を不定積分と定積分の関係にも持ってやろう、ということです。そう思ってやると、定積分と不定積分は「具体的な数字を入れたか否か」の違いだな、ということになります。
不定積分は定積分の区間を変えるたびに真面目に計算をするのが面倒だから値を入れるだけで答えがお手軽に出せる便利なものだ、と思ってやれば、
＞不定積分における∫f(x)dxのdxとは”何で積分するか”を表す記号と解釈してよいか？
という解釈と同時にdxはやっぱり幅だな、と考えてやることもできます。
さらにこう考えてやると、初めの疑問であった
＞F(x)の接線の傾きであるf(x)とdxでの面積の総和がなぜ原始関数になるのか？
も解決同然です。つまり、不定積分は定積分の計算を楽にできるように作ったものなので、面積を求める一歩手前の状態ということです。
面積というのは囲まれた範囲でしか求められず、縦方向はグラフとｘ軸で囲むとして、横は何かで囲まなければいけません。その囲むものこそが積分区間なのです。
不定積分はその囲む場所を教えてくれてないので、
「グラフと、ｘ軸と、？と？で囲まれた部分の面積」という状態で止まっているようなものです。したがって不定積分(原始関数)は面積とは言えません。

強引な解釈かつ長文で申し訳ないです。雰囲気だけでも掴んでいただけたら幸いです。

積分 dx について

＞私の質問内容は、不定積分のf(x)dxをどう考えるのかという事なのです・・・

この回答への補足

No.1Kulesです。

>しかし、∫f(x)dxで求まる面積をどの様に考えれば原始関数に結びつける

> dF(x)=f(x)dxより、2xdx（高さ・幅＝面積）のｘに実際に数値を代入した際に、求まる関数＝原始関数という認識で良いでしょうか？

んーー・・・

えっと、今から本当ともウソともつかないことを言います。

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