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問題は以下のURLにまとめました.
4題あるのですが,1問だけでも全然かまいません.
また,解くためのコツやアドバイスでもいただけたら大変助かります.

問題URL:http://fragrance.ninja-web.net/

よろしくお願いします.

A 回答 (1件)

後でその質疑応答を見た人が参考にできるように,


質問文はここに書く/添付するようにしてください.
特に,解決した後に消すやり方は,質疑応答が資産とならず,
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より具体的には,禁止事項の
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以下解答です.

(1)
二次形式を作るので非対称な A ではなく,
対称な B = (A + A^T)/2 を考えます.
(Ax,x) = (Bx,x) が成り立つことに注意してください.

B の固有値は 1, 1-√5, 1+√5 となります.
それらに対応する(正規化された)固有ベクトルを u, v, w として
任意の x について,x を x = f1 u + f2 v + f3 w と展開しておきます.
ただし f1 = (u,x), f2 = (v,x), f3 = (w,x) です.すると
(Ax,x) = (Bx,x) = f1^2 + f2^2 (1-√5) + f3^2 (1+√5)
となるので,固有値の符号に注意して f2, f3 を適当に定数倍することで
(Ax,x) = (Bx,x) = f1^2 - f2^2 + 2 f3^2
とできます.
Sylvesterの標準形の近辺を勉強してください.

(2) ただ計算するだけです.
A を行で掃きだすことにより,適当な正則行列 T を用いて
T A = |1 -1 0|
   |0 2 1|
   |0 0 0|
とできることがわかります.
よって T A = O を解いて Ker A = Ker (T A) = span { (1,1,-2) } を得ます.
次に A を列で掃きだすことにより,適当な正則行列 S を用いて
A S = | 1 0 0|
   | 0 1 0|
   |-1 -1 0|
とできることがわかります.よって
Im A = Im (A S) = span { (1,0,-1), (0,1,-1) } = span { (1,1,-2), (1,0,-1) }
となるので,条件を満たす基底として {(1,1,-2), (1,0,-1)} が取れます.

(3) 線型空間の条件を確認するだけです.
u, v ∈ V, a, b ∈ R を取ると
A^m (a u + b v) = a (A^m u) + b (A^m v )
で,両辺 m → ∞ とすれば
lim A^m (a u + b v) = 0
を得ます.

(4) V = Ker A, W = Im A であり,これらが線型空間なのは (2) で使っていますが,
それを確認する,という問題なのだと思います.
V: 任意の u, v ∈ V, a, b ∈ R を取ると
A (a u + b v) = a (A u) + b (B v) = 0 ∴ (a u + b v) ∈ V
W: 任意の u, v ∈ W, a, b ∈ R をとると u = A x, v = A y なる x, y を取って
a u + b v = a (A x) + b (A y) = A (a x + b y) ∈ W.
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