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いつもお世話になっています。
独学でなんとか線形微分方程式や同次型まで理解しています。今

y'+(1/x)y+y^2-1/x^2=0

という方程式を解こうとしています。特殊解はとりあえず1/xが見つかりました。問題は一般解を求めるのですが、試しに最終的に求めたい
線形結合の解yをy=k+1/xとおいて(kが一般解です)代入し、
kとxの微分方程式を作りました。
果たしてここまであっているのかわからないのですが、ここから手が止まっています。また変数変換したりするのでしょうか。
わかる方詳しく教えていただけないでしょうか。お願いします。

※添付画像が削除されました。

A 回答 (2件)

#1さんの正しい置換を借りて,一般解を求めてみます.


与えられた微分方程式は,一階の非線形常微分方程式です.

y'+(1/x)y+y^2-1/x^2=0

u を x の関数として,

y=u/x

とおきます.y=u/x の両辺を x で微分すると

y'=(xu'-u)/x^2

です.y'=(xu'-u)/x^2 と y=u/x を元の微分方程式に入れて,
計算・整理すると,

(xu'-u)/x^2+(1/x)(u/x)+(u/x)^2-1/x^2=0

u'/x-(u/x^2)+(u/x^2)+(u/x)^2-1/x^2=0

u'/x+(u/x)^2-1/x^2=0

u'+(u^2/x)-1/x=0

u'=-(u^2/x)+1/x

u'=(1-u^2)/x

du/dx=(1-u^2)/x

と,#1さんの言われた通りになります.これを積分すると,

du/(1-u^2)=1/x dx

∫du/(1-u^2)=∫1/x dx +C      (C は積分定数)

(1/2)log|(1+u)/(1-u)|=log(x) +C

[(1+u)/(1-u)]^(1/2)=Cx

ここで,u=xy をこの式に適用すると,

[(1+xy)/(1-xy)]^(1/2)=Cx

となります.これが一般解です.

この式:[(1+xy)/(1-xy)]^(1/2)=Cx が元の式を満たすかを計算してみます.
この両辺を x で微分すると,

(1/2)[{(1+xy)'(1-xy)-(1+xy)(1-xy)'}/(1-xy)^2]*[(1+xy)/(1-xy)]^(-1/2)=C

(1/2)[{(y+xy')(1-xy)-(1+xy)(-(y+xy'))}/(1-xy)^2]*[(1+xy)/(1-xy)]^(-1/2)=C

(1/2)[{(y+xy')(1-xy)+(1+xy)(y+xy')}/(1-xy)^2]*[(1+xy)/(1-xy)]^(-1/2)=C

(1/2)[(y+xy'){(1-xy)+(1+xy)}/(1-xy)^2]*[(1+xy)/(1-xy)]^(-1/2)=C

(1/2){2}[(y+xy')/(1-xy)^2]*[(1+xy)/(1-xy)]^(-1/2)=C

[(y+xy')/(1-xy)^2]*[(1+xy)/(1-xy)]^(-1/2)=C

となります.一方,一般解は,

(1/x)[(1+xy)/(1-xy)]^(1/2)=C

なので,これらの2式を用いて C を消去すると,

[(y+xy')/(1-xy)^2]*[(1+xy)/(1-xy)]^(-1/2)=(1/x)[(1+xy)/(1-xy)]^(1/2)

と書けます.更に,計算すると,

(y+xy')/(1-xy)^2=(1/x)[(1+xy)/(1-xy)]

(y+xy')/(1-xy)=(1/x)(1+xy)

y+xy'=(1/x)(1+xy)(1-xy)

y+xy'=(1/x)(1-(xy)^2)

y+xy'=(1/x)-(1/x)(xy)^2

y+xy'=(1/x)-xy^2

ここで,両辺に (1/x) を乗ずると

(1/x)y+y'=(1/x^2)-y^2

(1/x)y+y'=(1/x^2)-y^2

これを移項すれば,

(1/x)y+y'-(1/x^2)+y^2=0

となり,与えられた微分方程式になります.よって,一般解

[(1+xy)/(1-xy)]^(1/2)=Cx

は,与えられた微分方程式を満たすことが確かめられました.
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この回答へのお礼

御丁寧にありがとうございました。

お礼日時:2009/07/03 19:51

y=u/xとすると元の方程式は


u'=(1-u^2)/x
変数分離ができて一般解が求められる。QED
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