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陰関数の第２次導関数の証明方法

解決済

  • 質問者：hippo-444
  • 質問日時：
  • 回答数：1件

陰関数の第２次導関数の証明のやりかたなのですが、
dy/dx=-f(x)/f(y)
ですので、
d^2y/dx^2 は　d(dx/dy)/dx = d(-f(x)/f(y))/dx
となり、後は
f(x)/f(y)を微分するだけなのはわかるのですが、
一般的な微分公式にあてはめた場合、
-f(xx)f(y)×f(yx)f(x)/f(y)^2
と成るはずなのですが、
答えは
d^2y/dx^2=-( f(xx)f(y)^2-2f(xy)f(x)f(y)+f(yy)f(x)^2 )/ f(y)^3
となり、途中の計算課程が分かりません。
私は何の認識を誤っているのでしょうか？
詳しく教えてください。よろしくお願いします。

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A 回答 (1件)

No.1ベストアンサー

  • 回答者： proto
  • 回答日時：

解き方の方針は合っています。


しかし、結論から言うと
　　(d/dx)Fx = Fxx
　　(d/dx)Fy = Fyx
は成り立たないのです。


多変数関数の合成関数の微分を思い出しましょう。
2変数関数F(x,y)のx,yがそれぞれtの関数であるとき、F(x(t),y(t))をtで微分すると、
　　dF/dt = (∂F/∂x)*(dx/dt) + (∂F/∂y)*(dy/dt)
となりますね。
今回、yはxの関数ですから、先ほどのtがxになったと思って、F(x,y(x))をxで微分してみましょう。
　　dF/dx = (∂F/∂x)*(dx/dx) + (∂F/∂y)*(dy/dx)
　　　　　= Fx*1 + Fy*(dy/dx)
　　　　　= Fx + Fy*(dy/dx)
となりますね。

では本題に戻ります。
FxもFyもx,yについての2変数関数で、さらにyはxの関数ですから、Fx,Fyをxで微分しようと思ったら、合成関数の微分法を適用しなければなりません。
すなわち、
　　(d/dx)Fx = Fxx + Fxy*(dy/dx)
　　(d/dx)Fy = Fyx + Fyy*(dy/dx)
とするのが正しいのです。
この考え方で、 d(-f(x)/f(y))/dxの右辺を根気よく整理していけば正しい式にたどり着くと思いますよ。
    • good
    • 4
    • 件
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この回答へのお礼

ご解答ありがとうございました。
とてもわかりやすく、解答までスッキリと導けました。
確かに合成関数の偏微分法を忘れていて、
自分の弱点も見つけられました。

ありがとうございました。

通報する
お礼日時：2009/07/04 14:39

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Aベストアンサー

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_______________＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
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_____________＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

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とりあえず，もうちょっと偏微分や関数の勉強を
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とりあえず，もうちょっと偏微分や関数の勉強を
頑張ってください．
何か根本的な部分を勘違いしている可能性があります．

>f(x,y)=0はそもそもｘｙ平面上でのことで、３次元ではないのに、
>どうやって“fy(a, b)”を考えることができるのでしょうか？
>fy(a, b)は３次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、

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(2) lim [(x,y)→(0,0)] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2)は極限値は0をとる。


(3) lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+2y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (xy)/(x^2+2y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (xy)/(x^2+2y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+2y^2)は極限値は0をとる。


(4) lim [(x,y)→(0,0)] (x-y^2)/(x^2-y)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (x-y^2)/(x^2-y) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (x-y^2)/(x^2-y) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x-y^2)/(x^2-y)は極限値は0をとる。


(5) lim [(x,y)→(0,0)] (y^2)/(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (y^2)/(x^2+y^2) = 1
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (y^2)/(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方をすると極限値が1つに定まらない。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (y^2)/(x^2+y^2)は極限値を持たない。


(6) lim [(x,y)→(0,0)] (x^2-y^2)/(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (x^2-y^2)/(x^2+y^2) = -1
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (x^2-y^2)/(x^2+y^2) = 1
上記より、異なる近づけ方をすると極限値が1つに定まらない。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x^2-y^2)/(x^2+y^2)は極限値を持たない。


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まず、x→yの順に近づける。
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次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (xy)/(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+y^2)は極限値は0をとる。


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まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (x^2y)/(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (x^2y)/(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x^2y)/(x^2+y^2)は極限値は0をとる。


もし、導き方がおかしいようなら、ご指摘いただければと思います。
以上、ご指導のほどよろしくお願いします。

以下の8問の2変数関数の極限値を求めてる問題を解いてみたのですが
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【問題】
次の極限値は存在するか。存在する時には、その極値を求めよ。

(1) lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/√(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (xy)/√(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (xy)/√(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/√(x^...続きを読む

Aベストアンサー

訂正
(1)は式に絶対値をつけとかんといかんかった。
|(xy)/√(x^2+y^2)|=|x|/√(x^2+y^2)・|y|/√(x^2+y^2)・√(x^2+y^2)
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Aベストアンサー

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの（1/4）円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe＾-x＾2　をｘ方向に積分すると、
∫[0→a]e＾-x＾2dx
正方形の領域だからe＾-y＾2 をｙ方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e＾-x＾2dx=∫[0→a]e＾-y＾2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e＾-(x＾2+y＾2)dxdy
={∫[0→a]e＾-x＾2dx}＾2
という関係が出ますね。
だから、e＾-(x＾2）を積分する代わりにe＾-(x＾2+y＾2)を積分してその√を取れば解が得られるという論法を利用するんですね。
四角形の領域で
I=∫[x,y:0→a]e＾-(x＾2+y＾2)dxdy
を積分するにはちょっとなんで、四角形に接する大小の円で挟み撃ちを考えるんですね。
半径aの(1/4)円では、
極座標変換して、(x＾2+y＾2)=r＾2, dxdy=rdrdθ
=∫[0→a]e＾-(r＾2)dr∫[0→π/2]dθ
=(1/2)(1-e＾-a＾2)(π/2)=(π/4)(1-e＾-a＾2)
同様に、半径√2aの(1/4)円では、
=(π/4){1-e＾-(2a＾2)}
だから、
x:0→a
√{(π/4)(1-e＾-a＾2)}＜∫[0→a]e＾-(x＾2)dx
＜√{(π/4){1-e＾-(2a＾2)}}
が回答ですね。これ以上は数値表を参照ですね。
a→∞ であれば、
∫[0→∞]e＾-(x＾2)dx=(√π)/2
が回答になりますね。
広域積分でも検索すれば参考になるかも。

ガウス分布に使いますね。
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∫[0→a]e＾-x＾2dx
正方形の領域だからe＾-y＾2 をｙ方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e＾-x＾2dx=∫[0→a]e＾-y＾2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
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={∫[0→a]e＾-x＾2dx}＾2
という関係が出ますね。
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Qz = x^y　の偏微分

z = x^y　の偏微分


こんにちは。
数学の偏微分に関しての質問です。


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宜しくお願いします。

Aベストアンサー

>偏微分というのがどういう事なのかをまず理解してないのも一つなのですが。
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yで偏微分するときはxを定数と見做してyの微分をする。
ただ、これだけのことです。

z=x^y=e^(ylog(x))

z_x≡∂z/dx=e^(ylog(x))*∂(ylog(x))/∂x
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Q2変数関数の極値について

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回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

Dの定義式は何でしょうか？
停留点候補を(p,q)とすると
D(p,q)=fxy(p,q)^2 - fxx(p,q)fyy(p,q)
でいいですか？

>偏導関数が0となる点を調べたところ
>x軸とy軸という解が出ました。

停留点候補は
(0,a),(b,0)　(a, bは任意の実数)

>この場合どうすればいいかわからないので
D(0,a)=D(b,0)=0 　(a, bは任意の実数)

極値の定義に基づいて判定すればいいでしょう。
極小値の定義（狭義の定義）：
　(x0,y0)の近傍の任意点(x,y)に対してf(x0,y0)＜f(x,y)を満たすとき
　(x0,y0)でf(x,y)は極小値f(x0,y0)をとるという。

極大値の定義（狭義の定義）：
　(x0,y0)の近傍の任意点(x,y)に対してf(x0,y0)＞f(x,y)を満たすとき
　(x0,y0)でf(x,y)は極大値f(x0,y0)をとるという。

これらの定義を使えば f(x,y)=x^3*y^2について

停留点候補
(0,a),(b,0)　(a, bは任意の実数)
のいずれについても（狭義の意味での）極値を取らないことが分かります。
∵f(0,a)=0=f(0,y)=0 (y≠a),
f(0,a)=0＜f(x,a)=x^3*a^2 (x>0,a≠0),
f(0,a)=0＞f(x,a)=x^3*a^2 (x<0,a≠0),
　 極大値、極小値の（狭義の）定義も満たさない。
∵f(b,0)=0=f(x,0) (x≠b),
　 f(b,0)=0＜f(b,y)=b^3*y^2 (y≠0,b>0)
　 f(b,0)=0＞f(b,y)=b^3*y^2 (y≠0,b<0)
　 極大値、極小値の（狭義の）定義も満たさない。
また停留点(0,0)について
　　f(0,0)=0=f(0,y) (y≠0)
　　f(0,0)=0=f(x,0) (x≠0)
　　f(0,0)=0＜f(t,t)=t^5 (t>0)
　　f(0,0)=0＞f(t,t)=t^5 (t<0)
　 極大値、極小値の（狭義の）定義も満たさない。
以上から、（狭義の意味で）極値が存在しないことが言えます。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/極値

Dの定義式は何でしょうか？
停留点候補を(p,q)とすると
D(p,q)=fxy(p,q)^2 - fxx(p,q)fyy(p,q)
でいいですか？

>偏導関数が0となる点を調べたところ
>x軸とy軸という解が出ました。

停留点候補は
(0,a),(b,0)　(a, bは任意の実数)

>この場合どうすればいいかわからないので
D(0,a)=D(b,0)=0 　(a, bは任意の実数)

極値の定義に基づいて判定すればいいでしょう。
極小値の定義（狭義の定義）：
　(x0,y0)の近傍の任意点(x,y)に対してf(x0,y0)＜f(x,y)を満たすとき
　(x0,y0)でf(x,y)は極小値f(x0,y0)をとると...続きを読む

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Aベストアンサー

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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『Ｅ』のみ説明します。
・回答者 No.1 ～ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Ｅxponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか？
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは？
　2.43×1/(10の19乗)で、
　2.43×1/10000000000000000000となり、
　2.43×0.0000000000000000001だから、
　0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何？下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては？

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『Ｅ』のみ説明します。
・回答者 No.1 ～ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Ｅxponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか？
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

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Q2変数テイラー展開が分かりません。

見ていただきありがとうございます。

問題はこちらです。
次の関数f（x，y）のx=0、y=0におけるテイラー展開を3次の項まで求めよ。

f（x，y）=1/ルート（4ーx^2ーy^2）

解き方、解答ともに分かりません。

もし分かる方がいましたら回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

以下の参考URLに定義式と解き方の例がありますので、よく読んでやってみて下さい。
http://markun.cs.shinshu-u.ac.jp/learn/biseki/no_9/cont09_3.html
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/100ksk.html
http://gandalf.doshisha.ac.jp/~kon/lectures/2005.calculus-II/html.dir/node35.html
ただ、ひたすら、3階までの偏導関数を求めてx=y=0を代入し、定義式に代入するだけです。

やってみて分からなければ、やった途中計算を書いたうえで、行き詰ってわらない箇所の質問して下さい。

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