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X>0の時、不等式 X-X^2/2<log(1+X)<X
が成り立つことを示せと言う問題を教えてください。
分けて考えたらよいのですか?

A 回答 (1件)

(1)x-(x^2)/2<log(1+x) (x>0)の証明


f(x)=log(1+x)-(x-(x^2)/2) と置く。この関数がx>0でf(x)>0であることを示す。
f'(x)=1/(1+x)-1+x=x^2/(1+x)>0 (x>0)
f(0)=log1-0+0=0
x>0でf(x)は狭義の単調増加でf(0)=0であることから、x>0のときf(x)>0となる。

もう一つの不等式も同じ方針で解けます。
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