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積分の値の求め方をご教授下さい。
∫x~3/(x~2+a~2)dxです

A 回答 (4件)

分母の字数をa、分子の字数をbとします。


一般に、a≦bの分数の積分はa>bとなるまで字数を減らしましょう。

(解答)
∫x^3/(x^2+a^2)dx
=∫{x(x^2+a^2)-xa^2}/(x^2+a^2)dx
=∫{x-xa^2/(x^2+a^2)}dx
=∫xdx-a^2∫x/(x^2+a^2)}dx

(第1項)=(x^2)/2+A (Aは積分定数)
(第2項)=-(a^2)/2∫1/(t+a^2)dt (t=x^2と置換した)
    =-{(a^2)log|x^2+a^2|}/2+B (Bは積分定数)

よって、
(与式)=(x^2)/2-{(a^2)log|x^2+a^2|}/2+C (Cは積分定数)
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x = a tanθ で置換するのも、


ワリと素直だったり。
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ヒント)



x~3/(x~2+a~2)=x-(a^2)x/(x^2+a^2)
と分割すれば
容易に積分できます。
∫x~3/(x~2+a~2)dx=(1/2)x^2-((a^2)/2)∫(x^2)'/(x^2+a^2)dx

後はできるだろう。

分からなければ、やったところまでの式の詳細を補足に書いた上で、行き詰って分からない所を質問して下さい。
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素直に分母を t として置換積分.

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